12-15振动波动习题课

大物期中考试时间：11月2日（第9周）周六晚19:00-21:00考试范围：气体动理论，热力学基础，振动和机械波考试方式：闭卷.A.Ovsj¢r例:频率为500Hz的音源以

=4.0rad·s-1作圆周运动,r=8m,OA=16m.求:(1)A处的人收听到的频率

与

的关系.(2)听到的最高频率和最低频率是多少?解:.P点的速度投影到AP方向,p变换到

角的关系有两种方法求

max和

min:(1)驻点求极值(2)几何作图习题课振动

1.谐运动的运动学方程,速度、加速度表达式

2.谐运动中的各物理量振幅A、周期T、频率

、角频率

、相位(t+

)初相位

3.谐运动中的三要素的确定

4.同方向、同频率简谐运动的合成仍为简谐运动,其中:同相:k=0,±1,±2,±3…...反相:k=0,±1,±2,±3…...

5.简谐运动的能量

1.符合什么规律的运动是简谐运动?判断下列物体(物理量)的运动是不是简谐运动?

(1)完全弹性球在钢板上的上下跳动;(2)活塞的往复运动;

(3)如图所示,一小球在半径很大的光滑凹球面上滚动(滚动距离很短);

(4)长为l,质量为m的均质细杆,顶端悬挂在固定的光滑轴上.今将其下端稍微偏离平衡位置(角度很小),使其摆动;

(5)一质点做匀速圆周运动,它在直径上投影的运动;

(6)由交流发电机发出的50Hz的交流电;提示：简谐运动不是一般的往复运动,要判断一一个物理量是否作简谐运动必须严格按照接简谐运动的运动学或动力学特征是否得到满足来判定.讨论分析:

2.若F代表质点所受合外力,M代表刚体所受合外力矩,x是质点位移,

是刚体离开平衡位置的角,v

是质点运动速度,k、k1、k2、A、B、D、J为正常数.在下列各式中,哪种情况质点(或刚体)作谐运动(或角谐运动)?

(1)F=–k

–

k1

x;

(2)F=–k1

x2

;

(3)F=–kv

;

(5)M=–D

;

(6)x=Asin2Bt;

(7)v=A–B

x2;

(4)F=k

x;

(8)x=5sin(

t+/2);

(9)x=e

At5cos

t;一作简谐振动的质点某时刻位移为x,系统的振动势能恰为振动动能的n倍,则该振动的振幅A=

一弹簧振子作简谐振动,当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时,其动能为振动总能量的倍

15/16一弹簧振子周期为T．现将弹簧截去一半，仍挂上原来的物体,则新的弹簧振子周期为一弹簧振子周期为T．现将弹簧截去五分之二，仍挂上原来的物体,则新的弹簧振子周期为

1.如图,长方形物体B质量m,横截面积S,放入密度为

的液体中,同时由劲度系数为k的弹簧吊起,使之部分露出液面.起始时B静止不动.现将沿竖直方向向下压x后放手,求物体B的运动方程(忽略摩擦力,分别取向上向下为x轴正方向).kB

计算题解：设平衡时物体浸入水中为a,弹簧伸长为x0,取x轴向上为正,由平衡位置向下压x取液面为x=0x=0kB

x=0

2.如图质量m,长为l的均质细杆A,可绕通过其端点O1的水平轴在竖直平面内自由转动.在离轴O1为处的正上方有一劲度系数为k的弹簧B悬挂在O2与A相连.平衡时杆A处于水平位置,现令杆转过一个小角度

0后,由静止释放,求运动学方程.

BAO2O1解：设平衡时弹簧伸长x0,当杆由平衡位置转过小角度

,3.练习册p111所需最短时间

0求已知3.如图分别为简谐运动的位移–时间(x-t)曲线和速度–时间(v-t)曲线,试分别写出它们的简谐运动方程.x(m)t(s)AA/21xA解(1)又v(m/s)t(s)vm2-vm-vm/2v(2)解析法xv(m/s)t(s)

vm2-vm-vm/2vx由速度振幅矢量推位移振幅矢量

6cm

4.质量为0.2kg的圆盘B,悬挂在弹簧的下面,弹簧伸长

2cm,另有圆C环从盘上方6cm处自由落下与盘B做完全非弹性碰撞,碰撞时间极短,环落到盘上开始计时,坐标取向下为正,空气阻力不计,求:kBC(1)盘的运动学（振动）方程;(2)用旋转矢量法求从开始运动到首次回到最初位置所用的时间.解：(1)C与B碰撞前6cmkBC(2)

5.倾角为

的固定斜面上放一质量为m物体B,由细绳跨过定滑轮与劲度系数为k的弹簧相连如图,弹簧下端固定在地面.滑轮可视为均质圆盘,半径R,质量M,绳与轮不打滑,摩擦力忽略不计.

(1)求证:B的振动是简谐运动;

(2)在弹簧不伸长,绳子不松的状态下将物体B由静止释放并开始计时,取沿斜面向下为x轴正方向,求B的振动方程.m

RMBk解：(1)能量微分法，平衡时为重力势能零点m

RMBk是谐振动！(2)m

RMBkxk1k214.7p95*14.12xS平衡时下压x

1.掌握平面简谐波波函数的物理意义.掌握由质点的谐振动方程或某时刻的简谐波波形曲线等已知条件建立简谐波波函数的方法.

2.理解波长、周期、频率、波速等概念的含意,并掌握它们之间的关系.

3.理解波的干涉现象.掌握波的相干条件.能运用相位差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件.

4.理解驻波的特性及其形成条件.了解驻波与行波的区别.

5.理解波的能量传播特征以及能流、能流密度等概念.一教学要求习题课机械波

1.波动是振动的传播过程振动在一个周期(T)内传播的距离称为波长(

)

2.简谐振动的传播过程形成简谐波平面简谐波的运动学方程称为波动方程,或波函数.当坐标原点x=0处简谐振动的方程为当波以波速u向x正方向传播,则平面简谐波函数:二基本概念和规律

3.波动过程是能量的传播过程单位体积内波的能量,即能量密度为:或:单位体积内波的平均能量,即平均能量密度为:平均能流密度——波的强度为:

4.波的干涉

(1)波的干涉条件:频率、振动方向相同、相位差恒定.

(2)相干区域各点振动的振幅其中:k=0,1,2,3

(3)相干加强和减弱的条件当

10=

20时,干涉点的相位差

由波程差

=r2-r1决定,如果r1=

r2,由相位差

=

20-

10即由波源初相差决定.

5.驻波两列相干波在同一直线上相向传播,叠加形成驻波.方程为波节位置波腹位置

6.多普勒效应1、一平面简谐波的表达式为

=Acos

(x,t),其中

(x,t)=

(t–x/u)

,试说明三课堂讨论题各代表什么意义.波长是描述波动的空间个周期性的物理量.对波长的定义常有如下三种说法:

2.关于平面简谐波波长定义的讨论

(1)是振动在一个周期内传播的距离;

(2)是同一波线上相位差为2

的两个振动点之间的距离;

(3)是同一波线上相邻的振动步调一致的两点间的距离;试分析上述说法是否一致.

3.关于叠加原理和干涉条件的讨论

(1)波的相干条件是什么?有人说两列波不满足相干条件不能叠加，对不对？

(2)两列简谐波叠加的区域内,各点的运动是简谐运动,但运动方向与该点的分振动不相同,这两列简谐波是否相干波?它们的频率和相位差怎样？两频率相同,振动方向相互垂直的简谐振动叠加.当

=0,时…...(3)波的能量与振幅的平方成正比,两列振幅相同的相干波叠加后加强点的振幅加倍,能量便为分振动的4倍,这是否违反了能量守恒定律？

4.关于驻波和行波的特征与区别的讨论(1)驻波和行波中各质元的相位分布有什么特征?有没有相位的传递?(2)驻波和行波中各质元的能量如何变化?有没有能量的传播?

(3)驻波和行波的波形有什么特征?有没有波形的传播?驻波的能量当个质点振动达到最大位移时，各质点动能为零，驻波能量为势能，波节处形变最大，势能集中在波节。

y/

x较大

y/

x最小当个质点振动达到平衡位置时，各质点势能为零，驻波能量为动能，波节处速度为零，动能集中在波腹。始终不动

(4)对如图的平面简谐波t时刻的波形曲线,下列各结论哪个是正确的?

xABC①B处质元的振动动能减小,则其弹性势能必增大;答：质元的振动动能和弹性势能是同相位的，同时增大，同时减少。②A处质元回到平衡位置的过程中,它把自己的能量传给相邻的质元,其能量逐渐减小.答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大，所以A处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。

③A处质元回到平衡位置的过程中…..

④B处质元振动动能增大,则波一定沿x负方向传播;xABC

答：B

处质元振动动能增大,则它将向平衡位置移动，作图，可知波一定沿x负方向传播;⑤B处质元振动动能减小,则C处质元振动动能一定增大;答：B处质元振动动能减小,可知波一定沿x正方向传播，作图看出C处质元远离平衡位置，则振动动能一定减少。⑥C处质元t时刻波的能量(动能与势能之和)是10J,则在(t+T)时刻(T为周期)该处质元振动动能一定是5J;答：

动能与势能在任意时刻都相等，又t时刻波的能量与在(t+T)时刻(T为周期)的能量应该相同，所以在(t+T)时刻C处质元振动动能一定是5J;

5.在一根很长的细杆中传播着纵波,某一时刻的波形曲线如图,试分析图中A、B、C、D、.…各点哪些对疏部，哪些对应波的密部。

xBAECDFGHIxAECGIBDFH密部疏部密部疏部疏部

=0的各点相对形变最大，对应疏部和密部；

最大的各点相对形变为零，是疏部和密部的分界线.打开练习册P108-10S1S2P2

2.2

S1S2干涉相消or线振幅之比角振幅之比.l2l1=1.20练习册P110填空7四课堂计算题

10.一平面简谐波t

=0.1s时的波形曲线如图,求:

(2)画出O点的振动曲线和旋转矢量.x(m)

(m)u=4m/sO0.11.01.80.2

(1)写出此波的波函数.解:(1)由题读图知u=4m/s,

=1.6m

=2

=2

u/=5

a=5

(0.1–0.2/4)+

0=/2aaa点：当t

=

0.1s,x

=

0.2m时,

a=0,(d

/dt

)a<0a'A=0.14mAcos(0.5+/4)=–0.1a'点：A0求什么?

0=/4波函数选x=1有问题？M0t(s)

(m)0.10.40.30.2O

(2)波函数t

(m)O0.1O点振动方程为:

=0.14(5

t+

/4)

11.T=4s,

=4m图为原点的振动曲线..

t1234o(1)原点的振动方程。(2)沿x轴正向传播的波函数。(3)t=1s波形图解:(1)T=4s(2)类12:一平面简谐波沿x轴正向传播,振幅A=10cm圆频率

=7rad·s-1

，此时x=20cm处b质点的振动状态为当t=1.0s时,x=10cm处a质点的振动状态为设该波波长

10cm.求波函数.解：波函数一般表达式为要确定u和

0!

当t=1.0s时联立解得落后

abOt=1.0s

10cmoror

<10cm试k

abOt=1.0s波函数为

abOt=1.0s

典型题.如图在x=0点有一平面简谐波源,其振动方程为:产生的波沿x轴正、负方向传播,位于x=–3

/4处有一个波密介质反射平面MN,

(1)写出反射波的波函数;

(2)写出合成波的波函数;

(3)讨论合成波的平均能流密度.

第一步：写出入射波函数；第三步：写出反射波波函数.第二步：写出入射波在反射点的振动方程，考虑有无半波损失，然后写出反射波在反射面处的振动方程。

/4NOM

/2-

/4-

/2x解：(1)或直接

则反射波的波函数为

/4NOM

/2-

/4-

/2x

(2)由原点O的向左波函数(3)在O点左侧：平均能流I=0;与反射波叠加在原点右侧行波在O点右侧：平均能流为原来的4倍。

/4NOM

/2-

/4-

/2

x驻波S1S2PRQx0解：(1)取坐标如图所示,由题知:

=2m处处干涉相消!13.S1、S2位于x轴上,它们的坐标分别是x1=0

,x2=20.5

m,是同一介质中的两个波源,它们激起的平面波沿x轴传播,波速200m/s,频率为

=

100Hz,振幅A=5.0cm,初相差

10-

20=/2.求:

(1)x轴上因干涉而静止和加强的各点的位置;

(2)x1=0.5m与x2=1.5m处的相位差;x1=0.5m与x2=2.5m处的相位差;

(3)x<0,与0<x<20.5m,x>20.5m三个区域的能流密度(波的强度)各是多少?两波在S1

左侧的任一点P的相位差：处处干涉加强S2

右侧的任一点Q的相位差S1与