12.4 离散型随机变量及其分布列(2013.1.10)

【1】在10件产品中有4件次品.①从中抽2件,则2件都是次品概率为________;②从中不放回抽两次,每次1件,则两次都抽出次品的概率是___________;③从中有放回抽两次,每次1件,则两次都抽出次品的概率是_______.山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义离散型随机变量及其分布列概率古典概型随机变量正态分布概率的基本性质互斥事件对立事件相互独立事件概率离散型随机变量

3σ

原则两点分布超几何分布二项分布期望、方差独立重复试验概率几何概型条件概率随机模拟法求概率常见分布性质(6条)定义估计概率,求图形的面积,体积等非负性;定值性;对称性;单调性;最值性;几何性

1.离散型随机变量的分布列

(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.(2)设离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn

,X取每一个值xi(i＝1,2,…,n)的概率P(X＝xi)＝pi,则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.1.离散型随机变量的分布列具有性质:①pi

_____0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝____.

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的___________．概率之和2.如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0<p<1,q＝1－p,则称离散型随机变量X服从参数为p的____________.两点分布一、选择题二、填空题题号1234答案CCCCA组

专项基础训练题组8.某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲、乙、丙参加了一所中学的招聘面试，面试合格者可以正式签约，毕业生甲表示只要面试合格就签约，毕业生乙和丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是1/3，且面试是否合格互不影响，求：

(1)至少有1人面试合格的概率；

(2)签约人数X的分布列．三、解答题一、选择题二、填空题题号123答案DBCB组专项能力提升题组三、解答题7．(2011·北京宣武二模)在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．某考生有4道题已选对正确答案，其余题中有两道只能分别判断2个选项是错误的，还有两道题因不理解题意只好乱猜．

(1)求该考生8道题全答对的概率；

(2)若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生所得分数的分布列．∴X的分布列为课堂热点问题精讲“X=1”表示只取一次就取到合格品“X=2”表示第一次取到次品,第二次取到合格品解析:X的所有取值为：1,2,3,4．“X=3”表示第一、二次取到次品,第三次取到合格品例1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,每次取出的产品都不放回此批产品中.设各个产品被抽到的可能性相同,求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数X的分布列．解：所需抽取的次数X的分布列如下:“X=4”表示第一、二、三次取到次品,第四次取到合格品.X1234P例1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中,一件一件地抽取产品,每次取出的产品都不放回此批产品中.设各个产品被抽到的可能性相同,求出直到取出合格品为止时所需抽取的次数X的分布列．可考虑有顺序或无顺序

【1】袋子中有4个红球,2个白球，一次摸出一球,共摸3次，记ξ为摸出的三个球中白球的个数.若每次摸出的球不放回，求ξ的分布列.补偿练习例2.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是1/3,每次测试时间间隔恰当,每次测试通过与否互相独立.(1)求该学生考上大学的概率；

(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X,求X的分布列.解:(1)记“该学生考上大学”为事件A,其对立事件为Ā,X2345P故X的分布列为：(2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.

【2】某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中2次就停止射击，否则一直射击到子弹用完,求耗用子弹数ξ的分布列．解：ξ的所有取值为：2、3、4、5“ξ=2”表示前二次都射中，它的概率为：“ξ=3”表示前二次恰有一次射中，第三次射中，“ξ=5”表示前四次中恰有一次射中，或前四次全部没射中随机变量ξ的分布列为：同理5432补偿练习

【2】四个大小相同的小球分别标有数字

1,

1,

2,2,把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们标注的数字分别为x，y，记ξ=x+y.

设“函数f(x)=x2-ξ

x-1在区间(2,

3)上有且只有一个零点”为事件A，则事件A发生的概率为_______．山东金榜苑文化传媒集团步步高大一轮复习讲义

二项分布及其应用条件概率P(B|A)0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)

(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝___________，P(AB)＝_______________＝___________.(3)若A与B相互独立，则______,_______,______

也都相互独立．

(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则________________.2．相互独立事件

(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称______________________.A,B是相互独立事件

忆一忆知识要点A与B相互独立

3．二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有_____种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为

_______________________________(p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为__________，记为__________.两二项分布X～B(n,p)一、选择题二、填空题题号123答案ABBA组

专项基础训练题组4.(2011·湖南)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形

OHE(阴影部分)内”，则

(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝________.在第1次抽出次品的条件下,剩下的99件产品中有4件次品,所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出次品的概率为解法1:设第1次抽出次品的事件为A,

第二次抽出次品的事件为B,

则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为AB.5.100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1张.在在第1次抽出的是次品后,第二次抽出次品的概率为______.所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出次品的概率为5.100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1张.在在第1次抽出的是次品后,第二次抽出次品的概率为______.解法1:设第1次抽出次品的事件为A,

第二次抽出次品的事件为B,

则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为AB.所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出次品的概率为5.100件产品中有5件次品,不放回地抽取2次,每次抽1张.在在第1次抽出的是次品后,第二次抽出次品的概率为______.解法1:设第1次抽出次品的事件为A,

第二次抽出次品的事件为B,

则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为AB.

【3】某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,则现年为20岁的这种动物活到25岁的概率为_______.解:设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示“活到25岁”(即≥25)则所求概率为0.8演练反馈

【2】如图所示,电路中A,B,C,D这4个开关能够闭合的概率都是0.5,且互相独立,则灯亮的概率为________.解:

A,B看成一个系统M,其系统被接通的概率为

C,D看成一个系统N,其系统被接通的概率为

M,N看成一个系统P,其系统被接通的概率为ξ012P不用条件概率的意义去解，而是利用古典概率的求法.解:先后两次出现的点数中有5,说明基本事件为{(5,1),(5,2)，(5,3)，(5,4),(5,5),(5,6),(1,5)，(2,5),(3,5),(4,5)，(6,5)}共有11个;事件“方程x2+bx+c=0有实根,且先后两次出现的点数中有5”包含的基本事件有{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5)}共有7个.所以，所求概率为12.5二项分布及其应用题号答案1234离散型随机变量分布列的性质解:由分布列的性质知:0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.

首先列表为：离散型随机变量分布列的性质

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.(2)若X是随机变量，则2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量,求它们的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．2X＋113579P0.20.10.10.30.3(1)2X＋1的分布列:(2)|X－1|的分布列|X－1|0123P0.10.30.30.3求离散型随机变量的分布列【例2】袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

(2)随机变量X的分布列；

(3)计分介于20分到40分之间的概率．求离散型随机变量的分布列在解决概率分布问题时要逐渐将问题回归到分布列上来,这样所求的概率就可由分布列中相应取值的概率累加得到．

(2012·丹东模拟)袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取,…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用X表示取球终止时所需要的取球次数．

(1)求袋中原有白球的个数；

(2)求随机变量X的分布列；

(3)求甲取到白球的概率．(3)甲取到白球的概率为超几何分布问题

【例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是7/9.(1)求白球的个数；

(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列．超几何分布问题

对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：

(1)该顾客中奖的概率；

(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．间接法：27分类讨论思想在概率中的应用

(10分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

(2)求随机变量ξ的分布列．27分类讨论思想在概率中的应用

(10分)在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，记ξ＝|x－2|＋|y－x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；

(2)求随机变量ξ的分布列．

(1)解决本题的关键是正确求出随机变量的所有可能值及对应的概率．

(2)随机变量ξ的值是x，y的函数,所以要对x,y的取值进行分类讨论．

(3)分类不全面或计算错误是本题易错点.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．掌握离散型随机变量的分布列，需注意

(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．

(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．预祝各位同学，2013年高考取得好成绩!【1】某创业基地为提高大学生的自主创业的成功率，特开设了4个扶持项目(A,B,C,D)供大学毕业生选择，每人必须且只需选1个项目，现有甲、乙、丙3名毕业生来基地选项目．回答下列问题：（1）求这3名毕业生选中的项目互不相同的概率；（2）求恰有2个项目没有被这3人选中的概率；