5.1 方阵的特征值与特征向量

第五章相似矩阵§5.1方阵的特征值与特征向量§5.2矩阵相似对角化§5.3Jordan标准形介绍*§5.1方阵的特征值与特征向量一、问题的引入二、基本概念三、特征值与特征向量的求解方法四、特征值的性质五、特征向量的性质一、问题的引入矩阵的特征值与特征向量理论有着非常广泛的应用，如工程技术领域中的振动问题和稳定性问题，数学领域中方阵的对角化、微分方程组的求解、线性方程组的迭代法求解等问题都会用到该理论。一、问题的引入引例种群增长模型设x

代表某种群C

的数量，y

代表某种群D

的数量，初态为一年后的状态为：即则第k

年后的状态为：问题如何计算？(工业增长模型)(某国的工业增长水平)(该国的环境污染程度)一、问题的引入1.初步设想若存在一个可逆矩阵P，使得则进一步有且这两个向量必须线性无关且这两个向量必须线性无关2.简单分析一、问题的引入寻找一个可逆矩阵P，使得即记则对二阶方阵A寻找两个向量它们被

A

左乘后正好等于自己的某个倍数一、问题的引入3.一般性问题的提出对于方阵A，求向量X

和(实)数l

，使得比如，对于矩阵则有令从而有二、基本概念定义设A

为n

阶方阵，如果存在数l和n

维非零向量X则称数l

为方阵A

的特征值，非零使得A

X=

l

X，向量X称为A

的属于特征值l

的特征向量。比如，若X

是矩阵A

的属于特征值l

0的特征向量，(2)属于同一个特征值的特征向量不是惟一的。则也是A

的属于特征值l

0

的特征向量。1.特征值与特征向量注意(1)特征值l可以为零；由有该方程组有非零解的充要条件是分析二、基本概念1.特征值与特征向量2.特征多项式记定义则称为方阵

A

的特征多项式；称为方阵A

的特征方程。特征多项式

是l的n

次多项式，

特征多项式“具体”形式其中，称为

A

的迹，即记为由于特征方程在复数范围内恒有解，且其解的个数为特征方程的次数，步骤(1)求解特征方程得到特征值。值(重根按重数计算)。(2)设

l=l

i

是方阵A

的一个特征值，则X就是

A

的求解齐次线性方得到非零解程组对应于特征值l

i

的特征向量。三、特征值与特征向量的求解方法因此

n

阶方阵有

n

个特征例求矩阵的特征值与特征向量。解(1)

A

的特征多项式为故

A

的特征值为(单根)(单根)(2)当时，求解得基础解系为故

A

的属于特征值的所有特征向量为由有(3)当时，求解得基础解系为故

A

的属于特征值的所有特征向量为由有解(1)

A

的特征多项式为故

A

的特征值为(单根)(重根)(2)当时，求解得基础解系为故

A

的属于特征值的所有特征向量为由有(3)当时，求解得基础解系为由有故A

的对应于特征值的所有特征向量为例求矩阵的特征值与特征向量。解(1)

A

的特征多项式为故A

的特征值为(单根)(重根)求解得基础解系为故A

的对应于特征值的所有特征向量为(2)当时，由有(3)当时，由有求解得基础解系为故A

的对应于特征值的所有特征向量为解设l是A

的特征值，对应的特征向量为X，则即又由由有即得或例设方阵

A

为幂等矩阵(即)，求

A

的特征值。因此有设n

阶方阵的特征值为则有性质1四、特征值的性质证明由有又两式比较即得性质成立。结论方阵A

可逆若为A

的特征值，注为B

的特征值，不能推出，设为A

的特征值，则有性质2四、特征值的性质(1)为的特征值；(3)若A

可逆，则为的特征值。(2)为的特征值证明(1)由(2)由(3)由为A+B

的特征值，为AB

的特征值。设为A

的特征值，则有性质3四、特征值的性质(1)为的特征值；(2)为的特征值，证明(2)(略)。(1)由其中，故矩阵B

的特征值分别为例已知三阶矩阵A

的特征值为1,-1,2，试求矩阵

B

的特征值以及矩阵解(1)令则(2)例设四阶方阵A

满足：求

的一个特征值。解(1)由A

是四阶方阵且知A

可逆且有由可得从而有(2)又由知A

有一个特征值为故

有一个特征值为即得

有一个特征值为性质1五、特征向量的性质方阵A

的一个特征值对应的特征向量的非零线性组合仍为该特征值对应的特征向量。则有证明设是A

的特征值对应的两个特征向量，即是A

的特征值对应的特征向量。注方阵A

的一个特征值对应的所有特征向量构成方阵A的一个特征子空间。但由于不包含零向量，因此严格地讲，特征子空间并不是向量空间。五、特征向量的性质性质2属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明下面用数学归纳法证明。对应的特征向量，(1)对于令(a)(b)由于故有同理可得即性质对时成立。由得则有设是方阵

A

的不同特征值令则有(c)(d)又由于故有代入(d)可得性质得证。根据归纳法假设，有(2)假设时性质成立，需证时也成立

.由得向量，证明不是A

的特征向量。例设是A

的两个不同的特征值对应的特征假设是A

的特征向量，则存在使得证由题意有线性无关，且由线性无关，有即与矛盾，故不是A

的特征向量。五、特征向量的性质性质3方阵

A

的

s

个不同的特征值各自所对应的

s

组线性无关的特征向量并在一起仍然是线性无关的。证明设A

的特征值及各自对应的线性无关的特征向量如下：(线性无关)(线性无关)(线性无关)令假设则由性质

1

可知是对应的特征向量，再由性质

2

与上式

(a)

可推出矛盾，因此又由线性无关，有故性质的结论成立。记对式

(a)

两端反复左乘A，注而直接借助范德蒙行列式可证：则(a)则不需要利用性质

1

与性质

2，对于

n

阶矩阵A，如果l

0是A

的特征方程的

k

重根，则矩阵A

对应于特征值l

0的线性无关的特征向量的五、特征向量的性质性质4个数证明(略)表明对于n

阶矩阵A，不一定