Gorenstein AC-同调维数有限性的若干判别准则

GorensteinAC-同调维数有限性的若干判别准则

引言：

GorensteinAC-同调维数有限性是代数几何学中重要的概念，它对于研究代数簇及其在同调代数中的性质具有重要意义。在本文中，我们将介绍一些判别GorensteinAC-同调维数有限性的准则。

一、Gorenstein环的定义及性质

首先，我们来回顾一下Gorenstein环的定义和基本性质。设R是一个交换环，且R是一个有限生成模M的极大Cohen-Macaulay模，则称R是Gorenstein环。若R是Noether环，则由Cohen结构定理可知，R是Gorenstein的当且仅当R是一个局部环，且具有有限的Krull维数。Gorenstein环具有许多独特的性质，例如，其导子模具有重要的性质等。

二、AC-同调模与GorensteinAC-同调维数

接下来，我们介绍与GorensteinAC-同调维数有限性密切相关的AC-同调模的概念。设R是一个交换环，M是一个R-模。对于所有非负整数k，若存在一个R-模N及一族映射fn：N→M，使得对于所有非负整数n，有以下两个性质：

1）映射fn是R-模的同态；

2）对于所有非负整数n，存在一个正整数d，使得fn∗:HomR(N,R)→HomR(M,R)是一个函子TorR(k,N)的零图；

则称M是一个AC-同调模。若M是一个GorensteinAC-同调模，且存在一个正整数n_0，使得对于所有非负整数n，有以下性质：

1）对于所有的正整数n≥n_0，同态fn是个单射；

2）对于所有的正整数n≥n_0，同态fn:N→M都是一个满射；

则称M的GorensteinAC-同调维数等于n_0。AC-同调模在同调代数中有广泛应用，而GorensteinAC-同调维数的有限性则更进一步突显了一类特殊的同调模的性质。

三、Gor矢量束的判别准则

Gor矢量束是GorensteinAC-同调维数有限性的重要工具之一，它是由Gor矢量之间的支配关系所构成的一个有向图。对于一个率平矢量束L，若存在一族洛伦茨变换Fn：Ln→Ln-1，使得对于所有非负整数n，有以下两个性质：

1）Fn是Ln到Ln-1的映射；

2）对于所有正整数n，存在一个正整数d，使得Fn∗:Ld-1→Ld是一个函子TorR(k,Ld-1)的零图；

则称L是一个Gor矢量束。根据Gor矢量束的定义，我们可以得到以下判别准则：

准则1：若L是一个Gor矢量束，则对于任意非负整数n，Ld-n+1=0，其中d为L的一个正整数；

准则2：若L是一个Gor矢量束，则对于任意非负整数n，任意映射f:L→L的零化次数小于等于n+1；

四、GorensteinAC-同调维数有限性的判别准则

根据Gor矢量束的判别准则以及GorensteinAC-同调模的定义，我们可以得到以下关于GorensteinAC-同调维数有限性的判别准则：

准则1：设M是一个有限生成模，若存在一个正整数n，以及一个R-模的无限分解Ln：M→Ln→Ln-1→…→L1→L0=0，其中Ln是一个Gor矢量束，且d-n+1为Ln的一个正整数，则M是一个GorensteinAC-同调模；

准则2：设M是一个有限生成模，若存在一个正整数n，以及一个R-模的有限有限无限分解Ln：M→Ln→Ln-1→…→L1→L0=0，其中Ln是一个Gor矢量束，且d-n+1为Ln的一个正整数，则M是一个GorensteinAC-同调模。

结论：

本文介绍了。通过Gor矢量束及其支配关系，我们可以判定一个模是否为GorensteinAC-同调模。GorensteinAC-同调维数有限性的概念及其判别准则在代数几何学研究中具有重要的地位，它帮助我们更深入地了解模在同调代数中的性质，并且为我们研究代数簇及其局部结构提供了有力工具本文介绍了GorensteinAC-同调维数有限性的判别准则，其中涉及了Gor矢量束的概念和其支配关系。通过这些判别准则，我们能够确定一个模是否为GorensteinAC-同调模。GorensteinAC-同调维数有限性在代数几何学研究中具有