充分、必要、充要条件

1.2.1推出与充分条件、必要条件1、命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若p则q。

2、四种命题及相互关系：一、复习引入

逆命题

若q则p原命题

若p则q否命题

若p则q逆否命题

若q则p互逆互逆互否互否互为逆否注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。引入：若p则q型的命题（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若

a=0，则

ab=0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0判断下列命题的真假真真真假推出符号“”的含义

如果命题“若p则q”为真，

如果命题“若p则q”为假，

则记作pq。则记作pq。（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若

a=0，则

ab=0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0引入：若p则q型的命题真真真假1、问题：鱼非常需要水，没了水，鱼就无法生存，但只有水，够吗？判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．p：“有水”；q：“鱼能生存”．在⑴、⑵、⑷中，，即只要有条件p就一定能“充分”保证q成立，这时称p是q成立的充分条件.2、学生活动：⑴

p：小明是南京人

q：小明是中国人⑵p

：x

>5

，q

：x

>0；

⑷p

：A∩B=A，q：AB；2、学生活动⑴

q：小明是中国人p：小明是南京人

命题⑴,根据逆否命题,即如果没有q成立,就一定没有p成立,q成立是p成立“必须要有”的条件,称q是p的必要条件.

1若

a=0，则ab=0

2若x2>1，则x>1

在真命题1中，q是p成立所必须具备的前提。

在假命题2中，q不是p成立所必须具备的前提

在真命题1中p足以导致q，也就是说条件p充分了。

在假命题2中条件p不充分。在命题中研究条件对结论的制约程度在命题中研究结论对条件的制约程度研究以下两个命题定义1：

如果已知p=>q,则说p是q的充分条件，q是p的必要条件

如果已知q=>p,则说q是p的充分条件，p是q的必要条件①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（p=>q）的形式,即“有之必成立”。②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”为真（非q=>非p）的形式，即“无之必不成立”。注：③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个

逻辑关系“p=>q”的不同表达方法。三、充分条件与必要条件

例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题

中的p是q的充分条件？

（1）若x=1，则x2–4x+3=0；

（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；

（3）若x为无理数，则x2

为无理数解：(1)x=1x2–4x+3=0

(2)f（x）=xf（x）为增函数

(3)x为无理数x2

为无理数

如果已知pq，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。定义1：

是是不是例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中

q是p的必要条件？(1)若x=y，则x2=y2。

(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。(3)若a>b，则ac>bc。(1)x=yx2=y2(2)两个三角形全等这两个三角形的面积相等(3)a>bac>bc。是是不是思考：已知p：整数a是６的倍数，

q：整数a是２和３的倍数，那么p是q的什么条件？pqp是q的充分条件qpp是q的必要条件

如果既有p=>q又有q=>p，就记做p<=>q，则称p是

q的充分必要条件，简称充要条件。①显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件。p与q互为充要条件(或称“p与q等价”)定义2：②“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示充分，“仅当”表示必要注：称:p是q的充分必要条件,简称充要条件显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件p与q互为充要条件(也可以说成”p与q等价”)定义2：p是q充分不必要条件p是q必要不充分条件p是q既不充分也不必要条件p是q充要条件全方位考虑p与q的关系例1、下列各题中，哪些p是q的充要条件?(1)p:b=0q:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数

(2)p:x>0，y>0q:xy>0(3)p:a>bq:a+c>b+c解：（1）p是q的充要条件

(2)p是q的充分不必要条件。（3）p是q的充要条件例2、请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：

(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿条件.(2)“同位角相等”是“两直线平行”的＿＿＿条件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿条件.(4)“四边形的对角线相等”是“四边形为平行四边形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要例3．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的

条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的

条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的

条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的

条件；充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要练习1

已知p,q都是r的必要条件，

s是r的充分条件，q是s的充分条件，则（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）P是q的什么条件？充要条件充要条件必要条件

pq，相当于pq，

即

从集合角度理解：P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提。充分条件与必要条件的理解pqAB1)AB2)AB3)A=B4)例3、已知p:q:问：p是q的什么条件?解：易得p:q:∵A是B的真子集，∴p是q的充分不必要条件练习2(2006.天津)

设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

1）a∈R,|a|<3成立的一个必要不充分条

件是()A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2A相当于a∈R,_____是|a|<3成立的一个必要不充分条件.A.a<3B.|a|<2C.a2<9D.0<a<2练习3a＞b成立的充分不必要的条件是（）

A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2D相当于_____是a＞b成立的充分不必要的条件.

A.ac＞bcB.a/c＞b/cC.a+c＞b+cD.ac2＞bc2练习4①认清条件和结论。②考察pq和qp的真假。①可先简化命题。③将命题转化为等价的逆否命题后再判断。②否定一个命题只要举出一个反例即可。4、判别步骤：5、判别技巧：判别充分条件与必要条件1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的_______________.练习3、充分不必要条件注、等价法（转化为逆否命题）2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的（）条件

A.充要B必要不充分

C充分不必要D不充分不必要Ａ

例５已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件.OlPA分析:

设:p:d=r,q:直线L与⊙O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明充分性和必要性即可【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证充分性即证A=>B，证必要性即证B=>A一定要使题目与证明中的叙述一致练习５求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：

证充分性即证A=>B，证必要性即证B=>A练习：设x、y∈R，求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0充要条件的证明的两个方面：1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥02、充分性:xy≥0→|x+y|=|x|+|y|3、点明结论

1.p是q的充分条件包括两种可能，即p是q的充分不必要条件或p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包括两种可能，即p是q的必要不充分条件或p是q的充要条件.小结

2.关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性.小结

3.充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要条件.在判断p是q的什么条件时，要“正逆互推，注意特例”.1.在判断条件时，要特别注意的是它们能否互相推出，切不可不加判断以单向推出代替双向推出.注意点2.搞清①A是B的充分条件与A是B的充分非必要条件之间的区别与联系；②A是B的必要条件与A是B的必要非充分条件之间的区别与联系３、注意几种方法的灵活使用：

定义法、集合法、逆否命题法充分条件、必要条件的逻辑推理关系充分非必要条件必要非充分条件1）AB且BA，则A是B的2）若AB且BA，则A是B的3）若AB且BA，则A是B的既不充分也不必要条件充分且必要条件4）AB且BA，则A是B的一、复习:

二、例题与练习例1：若指出下列各组命题中，p是q的什么条件？在△ABC中,p:∠A>∠

B,q:BC>AC;p:a=3,q:(a+2)(a-3)=0;p:a>2,q:a>5;p:a<b,q:a/b<1题型一、充分条件，必要条件，充要条件的判断二、例题与练习题型一、充分条件，必要条件，充要条件的判断练习1(2005.江西)

“a=b”是“直线y=x+2与圆(x-a)2+(y-b)2=2相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、例题与练习例2：P11

已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件题型二、充要条件的证明分析:

设:p:d=r,q:直线L与⊙O相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明充