10.3复数的三角形式及其运算第2课时课件-高一下学期数学人教B版

课时7复数的三角形式及其运算新授课1.理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义.2.能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题.目标一：理解复数乘、除运算的三角形式及其几何意义.

任务1：类比复数乘法运算，探究复数三角形式的乘法运算及其几何意义.问题1：设z1＝r1(cosθ1+isinθ1)，z2＝r2(cos

θ2+isin

θ2)，在复平面内作出z1、z2，试求出z1z2，并用文字语言来表述复数乘法的三角表示公式.z1z2＝r1(cos

θ1+isin

θ1)×r2(cos

θ2+isin

θ2)＝r1r2［(cos

θ1cos

θ2-sin

θ1sin

θ2)+i(sin

θ1cos

θ2+cos

θ1sin

θ2)］＝r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］即两复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.(简记为：模数相乘，幅角相加).归纳总结复数三角形式的乘法法则：问题2：由复数乘法运算的三角表示，结合上述图像，思考讨论在复数平面内，复数乘法运算的三角表示有什么几何意义？归纳总结设z1，z2对应的向量分别为

，将

绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把

绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把

的模变为原来的r2倍，得到向量

，

表示的复数就是积z1z2.复数乘法的几何意义：特别地，如果n∈N，则：练一练计算

，说说这两个复数相乘的几何意义.解：因为

，所以一个复数与i相乘，从向量角度，相当于把此复数对应向量绕原点沿逆时针方向旋转

，如图所示.

任务2：类比复数三角形式的乘法运算及其几何意义，探究复数三角形式

的除法运算及其几何意义问题1：如果非零复数z的三角形式为：

，利用两个共轭复数在复平面内对应的点关于x轴对称，写出

的三角形式，并写出

的值.若非零复数

，则-θ是

的一个辐角，因此

，归纳总结一般地，如果非零复数

，则-θ是

的一个辐角，因此

问题2：已知

，根据

，你发现

的三角表示是怎样的？由

得

即问题3：复数

，试求出

，并用文字语言来表述复数除法的三角表示公式.即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.(简记为：模数相除，幅角相减).归纳总结复数三角形式的除法法则：思考：由复数除法运算的三角表示，讨论在复数平面内，复数除法运算的三角表示有什么几何意义？注：任意一个复数除以i，从向量角度来说，就相当于把这个复数对应的向量绕原点沿顺时针方向旋转

，如图所示.设z1，z2对应的向量分别为

，将

绕原点O旋转θ2(当θ2>0时，按顺时针方向旋转角θ2，当时θ2<0，按逆时针方向旋转角|θ2|)，再将

的模变为原来的

倍，如果所得向量为

则对应的复数为

.归纳总结复数除法的几何意义：目标一：能应用复数乘、除运算的三角形式及其几何意义解决相关问题.

任务：应用复数乘除运算的三角形式解决下列问题.问题1：求

的值.问题2：如图，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明：证明：假设每个正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，确定复平面.所以存在整数k，使得由于α，β，γ都是锐角，于是k=0，从而而由平行线内错角相等知α，β，γ分别等于3+i，2+i，1+i的辐角主值，因此α+β+γ应该(3+i)(2+i)(1+i)的一个辐角，又因为(3+i)(2+i