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文档简介
专题3.5幂函数重难点题型精讲1.幂函数的概念(1)幂函数的概念:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)幂函数的特征:①xα的系数为1;
②xα的底数是自变量;
③xα的指数为常数.
只有同时满足这三个条件,才是幂函数.2.常见幂函数的图象与性质幂函数在区间(0,+∞)上,当a>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函数.3.一般幂函数的图象与性质(1)一般幂函数的图象:①当α=1时,y=x的图象是一条直线.
②当α=0时,y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线.
③当α为其他值时,相应幂函数的图象如下表:(2)一般幂函数的性质:通过分析幂函数的图象特征,可以得到幂函数的以下性质:
①所有的幂函数在(0,+)上都有定义,并且图象都过点(1,1).
②α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+)上是增函数.
③α<0时,幂函数在区间(0,+)上是减函数.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.
④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限.
⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(1,1),(1,1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点.4.对勾函数的图象与性质参考幂函数的性质,探究函数的性质.(1)图象如图:与直线y=x,y轴无限接近.(2)函数的定义域为;
(3)函数的值域为(,2]∪[2,+).
(4)奇偶性:,函数为奇函数.
(5)单调性:由函数的图象可知,函数在(,1),(1,+)上单调递增,在(1,0),(0,1)上单调递减.【题型1幂函数的概念、解析式】【方法点拨】(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:①指数为常数;②底数为自变量;③系数为1.(2)对于幂函数过已知的某一点,求幂函数解析式问题:先设出幂函数的解析式y=xα(α为常数),再将已知点代入解析式,求出α,即可得出解析式.【例1】(2022春•杨陵区校级期末)现有下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x﹣1)2;⑥y=x;⑦y=ax(A.1 B.2 C.3 D.4【变式11】(2021秋•阳春市校级月考)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3,3),则fA.﹣2 B.1 C.2 D.4【变式12】(2022春•榆林期末)下列函数是幂函数的是()A.y=2x B.y=x2﹣1 C.y=x3 D.y=2x【变式13】(2022春•广陵区校级月考)若幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,316),则函数A.f(x)=x43 B.f(x)=x13 C【题型2幂函数的定义域、值域】【方法点拨】根据幂函数的解析式,可以将分数指数幂化成根式形式,依据根式有意义求定义域,再根据定义域来求幂函数的值域.【例2】(2021秋•房山区期末)下列函数中,值域是R的幂函数是()A.y=x13 B.y=(13)x 【变式21】(2021秋•吕梁期末)已知幂函数f(x)的图象过点(2,2),则fA.R B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,0)∪(0,+∞)【变式22】(2021秋•广南县校级期中)已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,12),则函数A.(﹣∞,0) B.(0,+∞) C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(﹣∞,+∞)【变式23】(2021秋•天山区校级期中)若幂函数y=(m2−2m−2)x−m2+m+3的定义域为{x∈A.﹣1≤m≤3 B.m=﹣1或m=3 C.m=﹣1 D.m=3【题型3幂函数的图象】【方法点拨】根据一般幂函数的图象特征,对所给的幂函数解析式或图象进行分析,即可得解;①若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
②无论为何实数,幂函数的图象最多只能出现在两个象限内,且一定经过第一象限,一定不经过第四
象限.【例3】(2021秋•成都校级期中)幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.a>b>c>d B.d>b>c>a C.d>c>b>a D.b>c>d>a【变式31】(2021秋•凉山州期末)如图,①②③④对应四个幂函数的图像,其中①对应的幂函数是()A.y=x3 B.y=x2 C.y=x D.y=【变式32】(2021秋•湖北期末)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()A. B. C. D.【变式33】(2021秋•徐汇区校级期中)如图是幂函数y=xα的部分图像,已知α分别取13、3、﹣3、−13这四个值,则与曲线C1、C2、C3、C4A.3,13,−13,﹣3 B.﹣3,−13C.−13,3,﹣3,13 D.3,13【题型4比较幂值的大小】【方法点拨】(1)直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.
(2)转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.
(3)中间量法:当底数不同且幂指数也不同时,不能运用单调性比较大小,可选取适当的中间值,从而达到比较大小的目的.【例4】(2021秋•岳阳期中)设a=(34)12,b=(A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.b<c<a【变式41】(2021秋•武昌区校级期末)已知幂函数y=xa的图象过点(3,19),则下列两函数的大小关系为:(x2﹣2x+4)aA.≤ B.≥ C.< D.>【变式42】(2021•湖北开学)若a=(2)25,b=325,A.a>b>c>d B.b>a>d>c C.b>a>c>d D.a>b>d>c【变式43】(2021秋•香坊区校级期中)三个数a=0.32,b=1.90.3,c=20.3之间的大小关系是()A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a【题型5利用幂函数的性质求参数】【方法点拨】①根据所给函数解析式是幂函数,可列式求出参数的值;②结合幂函数的单调性或奇偶性,进行分析,得出满足条件的参数值.【例5】(2021秋•张掖期末)已知幂函数f(x)=(m2﹣4m﹣4)•xm在(0,+∞)上单调递减,则m=()A.﹣5 B.5 C.﹣1 D.1【变式51】(2022春•延吉市校级期末)若函数y=(m2−3m+3)xm2+2m−4A.0 B.1或2 C.1 D.2【变式52】(2021秋•凌河区校级期末)已知幂函数f(x)=(m2﹣2m﹣2)xm2+m−2在(0,+∞)上是减函数,则f(A.3 B.﹣3 C.1 D.﹣1【变式53】(2021秋•广陵区校级月考)幂函数f(x)=(m2﹣2m+1)x2m﹣1在(0,+∞)上为增函数,则实数m的值为()A.﹣2 B.0或2 C.0 D.2【题型6利用幂函数的性质解不等式】【方法点拨】利用幂函数解不等式,实质是已知两个函数值的大小,判断自变量或幂指数的大小,常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下:(1)确定可以利用的幂函数;(2)借助相应的幂函数的单调性、奇偶性,将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系;(3)解不等式(组)求参数范围,注意分类讨论思想的应用.【例6】(2021秋•安徽期中)已知幂函数f(x)的图象经过点(13,9),且f(a+1)<f(2),则aA.(﹣∞,1) B.(1,+∞) C.(﹣3,1) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)【变式61】(2021秋•迎江区校级期中)已知f(x)=(m2﹣2m﹣7)xm﹣2是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则满足f(a﹣1)>1的实数a的范围为()A.(﹣∞,0) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(﹣∞,0)∪(2,+∞)【变式62】(2021秋•江苏月考)已知幂函数f(x)=xα(α∈R)
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