2023-2024学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）开门考数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）开门考数学试卷一.选择题（共10小题，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（）A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×1093．（4分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a64．（4分）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a5．（4分）第三届“一带一路”国际高峰论坛在北京成功召开，大会回顾了10年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．根据有关数据统计显示，2020年中欧贸易总额约为5800亿欧元，2022年中欧贸易总额约为8600亿欧元，设这两年中欧贸易总额的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5800（1+x2）＝8600 B．5800（1+x）2＝8600 C．8600（1﹣x2）＝5800 D．8600（1﹣x）2＝58006．（4分）已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为（1，﹣3）7．（4分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（）A．70° B．75° C．60° D．65°8．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，AC＝15，则CE＝（）A．4.5 B．6 C．8 D．99．（4分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（）A．20° B．25° C．30° D．32.5°10．（4分）若点A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1 C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1二.填空题（共6小题，每小题4分）11．（4分）使有意义的x的取值范围是．12．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是个．13．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2（x﹣1）2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为．14．（4分）小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如表所示：电阻R（单位：Ω）510152025电流I（单位：A）1.20.60.40.30.24实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式：．15．（4分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为cm．（结果保留π）16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，M是边BC上的一点．，以AM为边作等边△AMN，连接CN．若，则AB＝．三.解答题（共9小题）17．（8分）计算：（）﹣1﹣|﹣3|+2cos30°．18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2+．19．（8分）将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）．（1）甲同学抽到的卡片上数字是的概率是；（2）请用列举法求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．20．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精200瓶，消毒液300瓶，花费2600元；第二次购买酒精100瓶，消毒液200瓶，花费1500元．（1）求酒精和消毒液的价格．（2）若按照酒精和消毒液的原价再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？21．（8分）已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表；x…01m34…y…n1.521.50…（1）补全表格，m＝，n＝；（2）利用上表，在平面直角坐标系中画出这条抛物线的图象；（3）当a≤x≤4时，y的取值范围为0≤y≤2，则a的取值范围为．23．（10分）如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心．（1）求作过点I且平行于BC的直线，与AB，AC分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB＝6，AC＝8，DE＝，求BC的长．24．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到Rt△ADE，连接BD，CE．（1）如图①，当0°＜α＜45°时，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图②，当α＝45°时，点E在AB的延长线上，延长DB交CE于点F，求∠DFE的度数；（3）如图③，当45°＜α＜90°时，延长DB交CE于点F，求证：点F是线段CE的中点．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求二次函数解析式；（2）如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得∠ACD＝45°，求点D的坐标；（3）如图2，平面上一点E（3，2），过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

2023-2024学年福建省福州市仓山区时代中学九年级（下）开门考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，每小题4分）1．（4分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故选：C．2．（4分）习近平总书记提出精准扶贫战略以来，各地积极推进精准扶贫，加大帮扶力度，全国脱贫人口数不断增加，脱贫人口接近11000000人，将数据11000000用科学记数法表示为（）A．1.1×106 B．1.1×107 C．1.1×108 D．1.1×109【解答】解：将11000000用科学记数法表示为1.1×107．故选：B．3．（4分）下列各式中，计算正确的是（）A．a3•a2＝a6 B．a3+a2＝a5 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6【解答】解：A、a3•a2＝a5，错误；B、a3+a2不能合并，错误；C、a6÷a3＝a3，错误；D、（a3）2＝a6，正确；故选：D．4．（4分）若点A（﹣3，a），B（﹣1，b），C（2，c）在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a【解答】解：在反比例函数中，k＝1＞0，图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，∵C（2，c）在第一象限，∴c＞0，∵A（﹣3，a），B（﹣1，b）在第三象限，且x＜0时，y随x的增大而减小，﹣3＜﹣1，∴0＞a＞b，∴c＞a＞b，故选：B．5．（4分）第三届“一带一路”国际高峰论坛在北京成功召开，大会回顾了10年来共建“一带一路”取得的丰硕成果．根据有关数据统计显示，2020年中欧贸易总额约为5800亿欧元，2022年中欧贸易总额约为8600亿欧元，设这两年中欧贸易总额的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5800（1+x2）＝8600 B．5800（1+x）2＝8600 C．8600（1﹣x2）＝5800 D．8600（1﹣x）2＝5800【解答】解：由题意得，5800（1+x）2＝8600，故选：B．6．（4分）已知二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣1 B．函数的最大值是3 C．抛物线开口向上 D．顶点坐标为（1，﹣3）【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣2（x﹣1）2﹣3的开口向下，对称轴是直线x＝1，∴当x＝1时，函数有最大值为﹣3；顶点坐标为（1，﹣3）．故选：D．7．（4分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（）A．70° B．75° C．60° D．65°【解答】解：由题意得∠AOD＝30°、OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝＝75°，故选：B．8．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD：DB＝2：3，AC＝15，则CE＝（）A．4.5 B．6 C．8 D．9【解答】解：∵AD：DB＝2：3，∴BD：AB＝3：5，∵DE∥CB，∴＝＝，∵AC＝15，∴EC＝9．故选：D．9．（4分）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（）A．20° B．25° C．30° D．32.5°【解答】解：连接OD，∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，故选：A．10．（4分）若点A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，且y2＜y3＜y1，则m的取值范围是（）A．﹣1＜m＜1 B．m＜﹣3或m＞1 C．3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1 D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线，∵A（﹣1，y1）、B（5，y2）、C（m，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，∴根据抛物线对称性可知：点A（﹣1，y1）与点A'（3，y1）关于对称轴直线x＝1对称，点B（5，y2）与点B'（﹣3，y2）关于对称轴直线x＝1对称，∵y2＜y1，﹣3＜﹣1，3＜5，∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随着x的增大而减小；∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象开口向下，作图如下：由图可知：要满足y2＜y3＜y1，则m的取值范围为：3＜m＜5或﹣3＜m＜﹣1，故选：C．二.填空题（共6小题，每小题4分）11．（4分）使有意义的x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据二次根式的意义，得x﹣2≥0，解得x≥2．12．（4分）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是9个．【解答】解：由题意可得，30×0.3＝9（个），即袋子中白球的个数最有可能是9个，故答案为：9．13．（4分）在平面直角坐标系中，将函数y＝2（x﹣1）2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣3．【解答】解：将函数y＝2（x﹣1）2的图象先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为：y＝2（x﹣1﹣1）2﹣3，即y＝2（x﹣2）2﹣3．故答案为：y＝2（x﹣2）2﹣3．14．（4分）小明同学利用如图所示的电路探究电流I与电阻R的关系．已知电源电压保持不变，实验用到的电阻阻值和测得的电流如表所示：电阻R（单位：Ω）510152025电流I（单位：A）1.20.60.40.30.24实验结束后，小明同学发现电流I和电阻R之间是一种数学函数模型，请写出I和R之间函数关系式：I＝．【解答】解：由表格中数据可得：U＝5×1.2＝10×0.6＝6，则I＝＝．故答案为：I＝．15．（4分）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为2πcm．（结果保留π）【解答】解：如图所示，连接OC，OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四边形内角和为360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．∴的长＝＝2π．故答案为：2π．16．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，M是边BC上的一点．，以AM为边作等边△AMN，连接CN．若，则AB＝或3．【解答】解：当N在AM右侧时，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵△AMN是等边三角形，∴∠BAM+∠CAM＝∠CAN+∠CAM＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵AB＝AC，AM＝AN，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴，∵，∴，∴，∴；当N在AM右左侧时，过N作ND⊥BC于D，同上易证△BAN≌△CAM（SAS），∴，∠ABN＝∠ACM＝∠ABC＝60°，∴∠NBD＝60°，∵ND⊥BC，∴∠BND＝30°，∴，∴，∴，∵DN2+CD2＝CN2，∵，解得：BC＝3，∴AB＝BC＝3，故答案为：或3．三.解答题（共9小题）17．（8分）计算：（）﹣1﹣|﹣3|+2cos30°．【解答】解：原式＝2﹣（3﹣）+2×＝2﹣3++＝2﹣1．18．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2+．【解答】解：（1﹣）÷＝＝＝，当a＝2+时，原式＝＝．19．（8分）将数，，分别写在三张相同的不透明卡片上的正面，将卡片洗匀后背面朝上置于桌面，甲乙两个同学从中随机各抽取一张卡片（注：第一个同学抽取到的卡片不放回）．（1）甲同学抽到的卡片上数字是的概率是；（2）请用列举法求甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数的概率．【解答】解：（1）∵有3张卡片，其中只有一张卡片上的数字是，∴P（甲同学抽到的卡片上数字是）＝，故答案为：；（2）画树状图如下：∵一共有6种等可能的结果，其中甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数有2种可能，∴P（甲乙两个同学抽到的卡片数字都是无理数）＝．20．（8分）在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用．第一次购买酒精200瓶，消毒液300瓶，花费2600元；第二次购买酒精100瓶，消毒液200瓶，花费1500元．（1）求酒精和消毒液的价格．（2）若按照酒精和消毒液的原价再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金2000元，则最多能购买消毒液多少瓶？【解答】解：（1）设酒精x元/瓶，消毒液y元/瓶，依题意得：，解得：．答：酒精7元/瓶，消毒液4元/瓶．（2）设购买消毒液m瓶，则购买酒精2m瓶，依题意得：7×2m+4m≤2000，解得：m≤．又∵m为正整数，∴m可以取的最大值111．答：最多能购买消毒液111瓶．21．（8分）已知，如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，⊙O与AB相交于点D，连接CD，∠A＝30°．（1）若⊙O半径为3，求弦CD的长；（2）若∠ACB+∠ADC＝180°，求证：BC是⊙O的切线．【解答】（1）解：连接OC、OD，如图1所示：则OC＝OD＝3，∵∠A＝30°，∴∠DOC＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝3；（2）证明：解法一：连接CO并延长交⊙O于点M，连AM，如图2所示：则∠MAC＝90°，∠M+∠ADC＝180°，∴∠M+∠ACM＝90°，∵∠ACB+∠ADC＝180°，∴∠M＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACM＝90°，即∠BCM＝90°，且CM是⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线；解法二：如图1，∵∠ACB+∠ADC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，∴∠ACB＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵△OCD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠OCB＝∠OCD+∠BCD＝60°+30°＝90°，且OC是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线．22．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中的x，y满足如表；x…01m34…y…n1.521.50…（1）补全表格，m＝2，n＝0；（2）利用上表，在平面直角坐标系中画出这条抛物线的图象；（3）当a≤x≤4时，y的取值范围为0≤y≤2，则a的取值范围为0≤a≤2．【解答】解：（1）根据表格数据和函数的对称性可知，函数的对称轴是直线x＝2，点（0，0）和点（4，0）关于对称轴对称，∴n＝0，设二次函数y＝ax（x﹣4），代入（1，1.5）得1.5＝﹣3a，∴a＝﹣，∴y＝﹣x（x﹣4），当y＝2时，2＝﹣，解得x＝2，∴m＝2，故答案为：2，0；（2）画出这条抛物线的图象如图：；（3）观察图象，当x＝2时，函数y＝2，当x＝0或x＝4时，y＝0，∵当a≤x≤4时，y的取值范围为0≤y≤2，∴0≤a≤2，故答案为：0≤a≤2．23．（10分）如图，在△ABC中，点I是△ABC的内心．（1）求作过点I且平行于BC的直线，与AB，AC分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB＝6，AC＝8，DE＝，求BC的长．【解答】解：（1）如图，连接BI，作∠DIB＝∠IBC，直线ID交AC于E点，则直线DE为所作；（2）连接CI，如图，∵点I是△ABC的内心，∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，∴∠DBI＝∠CBI，∠ECI＝∠BCI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠CBI，∠EIC＝∠BCI，∴∠DIB＝∠DBI，∠EIC＝∠ECI，∴DB＝DI，EI＝EC，设BD＝x，则DI＝x，CE＝EI＝﹣﹣x，∵DE∥BC，∴BD：BA＝CE：CA，即x：6＝（﹣x）：8，解得x＝2，∴AD＝AB﹣BD＝4，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC＝AD：AB，即：BC＝4：6，解得BC＝7，即BC的长为7．24．（12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α得到Rt△ADE，连接BD，CE．（1）如图①，当0°＜α＜45°时，求证：△ABD∽△ACE；（2）如图②，当α＝45°时，点E在AB的延长线上，延长DB交CE于点F，求∠DFE的度数；（3）如图③，当45°＜α＜90°时，延长DB交CE于点F，求证：点F是线段CE的中点．【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt△ADE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE，∴，∴△ABD∽△ACE；（2）解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，由旋转的性质可知：AD＝AB，AE＝AC，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠1＝∠2＝67.5°，∠3＝∠ACE＝67.5°，∴∠2＝∠4＝67.5°，∴∠BFE＝180°﹣∠3﹣∠4＝45°；（3）证明：如图，过点E作EM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF，交DF的延长线于点N，∴∠DME＝∠EMF＝∠BNC＝90