数学-专项3.2 单项式的乘法（教师版）

专题3.2单项式的乘法1、掌握单项式的概念和单项式乘单项式的计算规则；2、学会利用单项式乘法求字母或代数式的值；知识点01计算单项式乘单项式【知识点】单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.特别说明：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【典型例题】例1．（2022秋·河北保定·八年级校考期中）若，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据单项式乘以单项式的计算法则得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：∵，∴，

∴，解得，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，解二元一次方程组，正确得到关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．例2．（2022秋·安徽芜湖·八年级阶段练习）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用单项式的乘法法则，逐一进行判断即可．【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；B、，选项错误，不符合题意；C、，选项正确，符合题意；D、，选项错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查单项式的乘法．熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，是解题的关键．例3．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）计算：__________．【答案】##【分析】先根据积的乘方运算法则进行计算，然后再按照单项式乘单项式运算法则计算即可．【详解】解：．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了整式运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘单项式运算法则，准确计算．例4．（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）如图，池塘边有一块长为2a，宽为a的长方形土地，现将其余三面都留出宽是3的小路，中间余下的长方形部分做菜地，则菜地的面积为______．（用含a的式子表示）【答案】【分析】可以利用割补法求出菜地的面积，也可以先求出菜地的长和宽再求出菜地的面积．【详解】解：长方形的总面积为：，小路面积为：，故菜地面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查整式的加减，多项式乘单项式，能够根据题意列出算式是解决本题的关键．例5．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【答案】(1)(2)0(3)(4)(5)【分析】（1）根据同底数幂乘法计算法则求解即可；（2）先计算同底数幂乘法，再合并同类项即可；

（3）根据同底数幂乘法计算法则求解即可；（4）根据同底数幂乘法计算法则求解即可；（5）先计算单项式乘以单项式，再合并同类项即可．【详解】（1）解：（2）解：；（3）解：；（4）解：（5）解：．【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂乘法，单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【即学即练】1．（2022秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）下列计算错误的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据单项式乘以单项式可判断A，B，再利用幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算了判断C，D，从而可得答案．【详解】解：A．，故此选项不合题意；B．，故此选项符合题意；C．，故此选项不合题意；D．，故此选项不合题意；故选：B．

【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，幂的乘方运算，掌握“幂的运算法则与单项式乘以单项式的运算法则”是解本题的关键．2．（2022春·陕西宝鸡·七年级统考阶段练习）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用单项式乘单项式的法则进行求解即可．【详解】解：．故选：C．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对单项式乘单项式的运算法则的掌握．3．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：______．【答案】【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．【详解】解：．【点睛】本题主要考查单项式乘以单项式、积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．4．（2022春·湖南怀化·七年级校考期中）若，则的值为______．【答案】【分析】先根据单项式乘以单项式的计算法则得到，进而得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组求出m、n的值，最后代值计算即可．【详解】解：∵，∴，

∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，解二元一次方程组，代数式求值，正确得到关于m、n的二元一次方程组是解题的关键．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则求出答案；（2）直接利用积的乘方运算法则，单项式乘以单项式运算法则化简，再合并同类项求出答案．（3）直接利用积的乘方运算法则，单项式乘以单项式运算法则化简，再合并同类项求出答案．（4）直接利用积的乘方运算法则，单项式乘以单项式运算法则化简，再合并同类项求出答案．【详解】（1）解：．（2）

．（3）．（4）．【点睛】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．知识点02利用单项式乘法求字母或代数式的值【知识点】根据单项式乘法的计算法则求出所含字母的值或者求代数式的值；【典型例题】例1．（2021春·全国·七年级专题练习）若＝－10，则m－n等于（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】B【分析】首先根据单项式乘单项式的运算法则计算求出m，n的值，然后代入计算即可．【详解】∴∴

解得∴m－n=1-2=-1，故选：B．【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键．例2．（2021秋·全国·八年级专题练习）若，则的值分别为（）A．32 B．2，3 C．3，3 D．2，2【答案】B【分析】利用同底数幂的乘法法则将原式变形为，从而得到7n=14，2+k=5，可得结果．【详解】解：∵，∴7n=14，2+k=5，∴n=2，k=3，故选B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握运算法则．例3．（2022秋·重庆·八年级重庆十八中校考期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是_______．【答案】18【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可．【详解】解：∵代数式的值是7，∴，∴，∴，∴，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．例4．（2022秋·八年级课时练习）若单项式与的积为，则________．【答案】-2【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解．

【详解】由题意，得，，则．故答案为：-2．【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．例5．（2020秋·辽宁营口·七年级统考阶段练习）小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？【答案】（1）地面总面积为6x+2y+18（m2）；（2）铺地砖的总费用为5000元．【分析】（1）利用长方形面积公式，分块计算各房间结构的面积，再求和；（2）将x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，代入（1）中式子计算即可【详解】（1）地面总面积为：6x+2×（6﹣3）+2y+3×（2+2）＝6x+6+2y+12＝6x+2y+18（m2）；（2）当x＝5，y＝1，铺1m2地砖的平均费用为100元，总费用＝（6×5+2×1+18）×100＝50×100＝5000元答：铺地砖的总费用为5000元．【点睛】本题考查代数式与图形面积，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【即学即练】1．（2023春·七年级课时练习）已知单项式与的积为，那么、的值为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】按照单项式乘单项式计算单项式与的积，再根据单项式与的积为

，即可求得答案．【详解】解：∵，单项式与的积为，∴，，故选：B【点睛】此题考查了单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（）A．30 B．20 C．﹣15 D．15【答案】B【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可．【详解】解：×3xy＝＝，∴a+1＝5，b+1＝6，解得a＝4，b＝5，∴ab＝4×5＝20，故选：B．【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．3．（2022秋·八年级单元测试）若，则________，________．【答案】

【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解．【详解】∵∴3m+2n=7，2m+3=5，解得m=1，n=2．故答案为：；．【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知幂的运算及单项式乘法的运算法则．4．（2022春·内蒙古包头·七年级校考阶段练习）已知8×2m×16m=211，则m的值为____．【答案】【分析】先把式子左边化简成2n的形式，即可求得m的值.【详解】8×2m×16m=211

故答案为【点睛】此题重点考查学生对整式乘法的应用，正确化简是解题的关键.5．（2021秋·广东深圳·七年级深圳外国语学校校考期中）（1）探索：如图1，在边长为的正方形纸片的4个角都剪去1个边长是的正方形.试用含的式子表示纸片剩余部分的面积为_______________________；（2）变式：如图2，在边长为的正方形纸片的4个角都剪去一个相同的扇形，扇形的半径为，用表示纸片剩余部分面积为______________________，剩余部分图形的周长为_____________________；（3）拓展：世博会中国国家馆模型的平面图如图3所示，其外框是一个大正方形，中间四个全等的小正方形（阴影部分）是支撑展馆的核心筒，标记字母的五个全等的正方形是展厅，展厅的边长为，已知核心筒的边长比展厅的边长的一半多1米，用含有的式子表示外框的边长【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)剩余部分的面积=大正方形的面积-4个小正方形的面积；(2)利用分割法、周长的定义求解即可；(3)利用线段的和差定义计算即可；【详解】解：(1)由题意得：剩余部分的面积为，故答案为；(2)剩余部分的面积为，剩余部分图形的周长为；故答案为，;(3)外框的边长为；【点睛】本题主要考查对代数式的理解和应用.

题组A基础过关练1．（2020春·山东济南·七年级统考期中）下列运算中正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照同底数相乘、积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式分别计算后即可做出判断．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；B．，故选项错误，不符合题意；C．，故选项正确，符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了同底数相乘、积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2022秋·云南昆明·八年级校考期中）计算的结果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用单项式乘以单项式的法则进行计算即可．【详解】解：故选：D【点睛】本题考查了单项式乘以单项式的法则，解答本题的关键是利用法则进行计算．3．（2021·山东聊城·统考二模）下列运算结果正确的是（）A．x4+x3＝x7 B．x4•x2＝x8C．x5÷1＝x﹣5 D．x3•（3x）2＝9x5【答案】D【分析】利用同底数幂乘法公式am•an＝am+n(其中a≠0)，以及积的乘方公式（am）n＝amn(其中a

≠0)；同类项可以合并，不是同类项不能合并；单项式除以单项式时，系数相除，字母部分利用同底数除法公式即可.【详解】解：A、原式＝x4+x3，∴不符合题意；B、原式＝x6，∴不符合题意；C、原式＝x5，∴不符合题意；D、原式＝9x5，∴符合题意；故答案为：D．【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的计算，单项式除以单项式的计算以及单项式乘单项式的计算．4．（2021秋·河北石家庄·七年级石家庄市藁城区第一中学校考阶段练习）如图，阴影部分的面积是（

）A．xy B．xy C．6xy D．3xy【答案】A【分析】如图，把阴影部分分割为两个长方形，再求解两个长方形的面积之和即可.【详解】解：如图，阴影部分的面积是故选：A【点睛】本题考查的是单项式乘法与图形的面积，根据图形特点列出正确的运算式是解本题的关键.5．（2022秋·吉林长春·八年级校考期中）计算：______．【答案】【分析】根据单项式乘以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：，故答案为：．

【点睛】本题考查单项式乘以单项式，正确计算是解题的关键．6．（2023春·全国·七年级专题练习）计算：__．【答案】【分析】根据积的乘方、同底数幂的乘法可以解答本题．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．7．（2022春·广东佛山·七年级樵北中学校考阶段练习）计算：______．【答案】【分析】按照单项式乘单项式的法则进行计算即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查了单项式乘单项式的法则，掌握法则是关键．8．（2021秋·河南开封·八年级统考期中）5x3y•（﹣3y）2＋（﹣xy）•（﹣6xy）3＝________．【答案】##【分析】根据积的乘方运算法则和单项式乘以单项式的运算法则计算即可．【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题考查积的乘方运算，单项式乘以单项式的运算，牢记相关的运算法则是解题的关键．9．（2022秋·八年级课时练习）（1）；

（2）；【答案】（1）；（2）．

【分析】根据单项式与单项式相乘法则“单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”进行解答即可得．【详解】解：（1）原式==；（2）原式==．【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，解题的关键是掌握单项式与单项式相乘法则．10．（2020秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）化简求值：，其中，．【答案】，54．【分析】先计算乘方运算，再合并同类项，再把代入求值即可．【详解】解：当时，上式【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，合并同类项，及求代数式的值，掌握以上知识是解题的关键．题组B能力提升练1．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）下列运算中，正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式分别计算，即可做出判断．【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；

B．，故选项正确，符合题意；C．，故选项错误，不符合题意；D．，故选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．2．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站，已知中国空间站绕地球运行的速度约为m/s，则中国空间站绕地球运行s走过的路程（m）用科学记数法可表示为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据路程速度时间列出代数式，根据单项式乘单项式的法则计算，最后结果写成科学记数法的形式即可．【详解】解：（米），故选：B．【点睛】本题考查了科学记数法—表示较大的数，掌握是解题的关键．3．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）下列算式：①3a3·(2a2)2＝12a12；②(2×103)(×103)＝106；③－3xy·(－2xyz)2＝12x3y3z2；④4x3·5x4＝9x12．其中，正确的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】直接根据单项式乘法的运算法则计算判断即可．【详解】解：①3a3•（2a2）2＝12a7，故①错误；②（2×103）（×103）＝106，故②正确；③−3xy•（−2xyz）2＝−12x3y3z2，故③错误；④4x3•5x4＝20x7，故④错误；综上分析可知，正确的只有1个，故B正确．

故选：B．【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．4．（2022春·广东揭阳·七年级校考期中）若定义表示，表示，则运算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据新定义列出算式进行计算，即可得出答案．【详解】解：根据定义得：=3×m×n×2×（-2）×m2×n3=-12m3n4，故选：A．【点睛】本题考查了整式的混合运算，根据新定义列出算式是解决问题的关键．5．（2022秋·广东广州·八年级校考阶段练习）计算：______【答案】##【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．6．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）化简的结果是______．【答案】##【分析】根据积的乘方运算法则和单项式乘多项式运算法则进行计算即可．

【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和单项式乘多项式运算法则，准确计算．7．（2022秋·湖南郴州·八年级校考阶段练习）计算：=________．【答案】【分析】根据整式的乘法的运算顺序，有乘方先算乘方，再进行求解进而得出结论．【详解】．故答案是:【点睛】本题考查整式的乘法，掌握运算法则是解题的关键．8．（2021秋·四川巴中·八年级统考期中）我国陆地面积约是，平均每平方千米的陆地上，一年从太阳得到的能量约相当于燃烧煤所产生的能量，求在我国陆地上，一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧______吨煤所产生的能量．【答案】【分析】根据每平方千米的土地上，一年从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×105吨煤所产生的能量乘以我国陆地面积，计算即可得到所求的结果．【详解】根据题意得：（）×（1.3×105）＝．故答案为：【点睛】此题考查了整式的混合运算，是一道应用题，弄清题意是解本题的关键．9．（2022秋·上海·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)

(2)(3)【分析】（1）先求积的乘方，再利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可；（2）利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可；（3）先求积的乘方，再利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可；（1）解：原式=；（2）解：原式=；（3）解：原式=．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式法则．系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，多个式子相乘与两个式子相乘法则相同．10．（2020秋·辽宁营口·七年级统考阶段练习）小王购买了一套房子，他准备将地面都铺上地砖，地面结构如图所示，请根据图中的数据（单位：米），解答下列问题：（1）用含x，y的代数式表示地面总面积；（2）若x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，则铺地砖的总费用为多少元？

【答案】（1）地面总面积为6x+2y+18（m2）；（2）铺地砖的总费用为5000元．【分析】（1）利用长方形面积公式，分块计算各房间结构的面积，再求和；（2）将x＝5，y＝1，铺地砖每平方米的平均费用为100元，代入（1）中式子计算即可【详解】（1）地面总面积为：6x+2×（6﹣3）+2y+3×（2+2）＝6x+6+2y+12＝6x+2y+18（m2）；（2）当x＝5，y＝1，铺1m2地砖的平均费用为100元，总费用＝（6×5+2×1+18）×100＝50×100＝5000元答：铺地砖的总费用为5000元．【点睛】本题考查代数式与图形面积，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题组C培优拔尖练1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列各题中，计算正确的是(

)．A． B．C． D．【答案】D【分析】先进行积的乘方公式再进行同底数幂乘法乘法对各选项进行计算、筛选即可．【详解】解：选项A：，故错误；选项B：，故错误；选项C：，故错误；选项D：，故正确．

故选：D【点睛】本题考查了积的乘方和单项式乘法运算，解答关键是根据相关法则进行计算．2．（2020·广西梧州·统考一模）下列计算正确的是（

）A．7a﹣4a=3 B．（2a2）3=8a6C．3a•（﹣2a）3=24a4 D．a3+2a=2a4【答案】B【分析】结合选项分别进行积的乘方运算、单项式乘以单项式、合并同类项等运算，然后选择正确选项．【详解】A.7a﹣4a=3a，故该选项错误，不符合题意；B.（2a2）3=8a6，计算正确，符合题意；C.3a•（﹣2a）3=-24a4，故该选项错误，不符合题意；D.a3+2a，无法计算，故该选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了积的乘方运算、单项式乘以单项式、合并同类项等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．3．（2020秋·北京朝阳·七年级校考期中）下列各图均由若干个大小相同的小正方形组成，且最大的正方形边长都为a，下面三幅图中阴影部分的面积均相同，请你写出这个面积（用含有a的式子表示）（）A． B． C． D．【答案】B【分析】题目已告诉三个图形的阴影面积相同故选最右边图形用a表示其阴影面积．右边图形的阴影是梯形，可先用a表示出其上下底及高，再运用梯形面积公式表示出其面积，最后化简即得答．【详解】由于题目已知三个图形的阴影面积相同，故只需把最右边图形的面积用a表示即可．如下图

知梯形的上底长为，高为，下底长为a所以阴影部分的面积为==．故选：B．【点睛】本题考查用单项式的乘法解决面积类问题．关键是要正确利用字母根据题意表示相关的量再套用面积公式．本题中最大的正方形边长这a，故最小的正方形边长为，则其它长度量容易表示．4．（2022春·江苏·七年级专题练习）下列计算正确的是(

)A．(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4xB．(6xy2－4x2y＋1)·3xy＝18x2y3－12x3y2C．(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋1D．(－3x2y)·(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y【答案】D【分析】根据单项式乘以多项式的运算法则依次计算各项后即可解答.【详解】选项A，由(－4x)(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2+4x可得选项A错误；选项B，由(6xy2－4x2y＋1)·3xy＝18x2y3－12x3y2＋3xy可得选项B错误；选项C，由(－x)(2x＋x2－1)＝－x3－2x2＋x可得选项C错误；选项D，由(－3x2y)·(－2xy＋3yz＋1)＝6x3y2－9x2y2z－3x2y可得选项D正确.故选D.【点睛】本题考查了单项式乘以多项式的运算，熟知单项式乘以多项式的运算法则是解决问题的关键.5．（2023秋·广东广州·八年级统考期末）计算a2•（﹣6ab）的结果是___．【答案】【分析】利用单项式乘以单项式的法则计算即可．

【详解】∵•（﹣6ab）=，故答案为：．【点睛】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的法则是解题的关键．6．（2021春·贵州铜仁·七年级校考阶段练习）【答案】【分析】根据题目所给的信息得表示，表示，在进行单项式乘以单向式的运算即可．【详解】解：根据题意，得表示，表示，则=×=．故答案为：．【点睛】此题考查了新定义下的单项式乘以单项式的运算，解题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息写出相应的式子．7．（2022春·全国·七年级专题练习）若且为正整数,则__.【答案】【分析】根据单项式的乘法法则和同底数幂的乘法计算.【详解】解：故答案为【点睛】此题重点考查