数学-第5讲 一元二次方程

第五讲——一元二次方程考向一一元二次方程的解1．（2020·江苏常州·中考真题）若关于x的方程有一个根是1，则_________．1．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（）A．-1或2 B．-1 C．2 D．0考向二解一元二次方程1．（2020·辽宁营口·中考真题）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（）A．x1＝2，x2＝﹣3B．x1＝﹣2，x2＝3C．x1＝﹣2，x2＝﹣3D．x1＝2，x2＝32．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（）．A．B．C．D．3．（2019·西藏中考真题）一元二次方程的根是_____．

1．（2020·山东泰安·中考真题）将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．，21 B．，11 C．4，21 D．，692．（2020·四川乐山·中考真题）已知，且．则的值是_________．3．（2020·湖南张家界·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2 B．4 C．8 D．2或4考向三一元二次方程根的判别式1．（2020·山东滨州·中考真题）对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判定2．（2020·黑龙江鸡西·中考真题）已知关于的一元二次方程有两个实数根，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．且3．（2020·湖南怀化·中考真题）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（）A． B． C． D．

1．（2020·湖北荆州·中考真题）定义新运算，对于任意实数a，b满足，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根2．（2020·安徽中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．B．C．D．3．（2020·四川攀枝花·中考真题）若关于的方程没有实数根，则的值可以为（）．A． B． C．0 D．1考向四根与系数关系1．（2020·江苏南京·中考真题）关于x的方程（为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．两个负根C．一个正根，一个负根D．无实数根2．（2019·广东广州·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．23．（2020·四川宜宾·中考真题）一元二次方程的两根为，则_____

1．（2019·四川成都·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为____.2．（2019·广西玉林·中考真题）若一元二次方程的两根为，，则的值是（）A．4 B．2 C．1 D．﹣23．（2020·湖北黄石·中考真题）已知：关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为、，且满足，求m的值．考向五一元二次方程在实际问题中的应用1．（2020·湖北鄂州·中考真题）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户．设全市用户数年平均增长率为，则值为（）A． B． C． D．

2．（2020·贵州黔南·中考真题）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为_______，第五个图中y的值为_______．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为_____，当时，对应的______．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？1．（2020·湖南衡阳·中考真题）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（）

A． B．C． D．2．（2020·山东滨州·中考真题）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？

3．（2020·湖北宜昌·中考真题）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．

1．（2019·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（）A．0 B． C．1 D．2．（2020·上海中考真题）用换元法解方程+=2时，若设=y，则原方程可化为关于y的方程是()A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=03．（2020·四川雅安·中考真题）如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A． B．且 C．且 D．4．（2020·湖北随州·中考真题）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（）A． B． C． D．5．（2020·广西河池·中考真题）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）A．6 B．7 C．8 D．9

6．（2020·河南中考真题）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由亿元增加到亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为．则可列方程为()A．B．C．D．7．（2020·山西中考真题）如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．8．（2019·山东威海·中考真题）已知，是方程的两个实数根，则的值是()A．2023 B．2021 C．2020 D．20199．（2020·甘肃天水·中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_______．10．（2019·湖北咸宁·中考真题）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．

11．（2020·浙江湖州·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关12．（2020·湖北省·中考真题）关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（）A． B． C．或1 D．或413．（2020·贵州毕节·中考真题）关于的一元二次方程有一个根是，则的值是_______．14．（2019·四川泸州·中考真题）已知，是一元二次方程的两实根，则的值是_____．15．（2019·四川眉山·中考真题）设、是方程的两个实数根，则的值为_____．16．（2020·四川泸州·中考真题）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________．17．（2020·广西中考真题）参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110

18．（2020·湖南中考真题）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．19．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．4821．（2019·江苏中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于_______．22．（2020·湖南邵阳·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为____________．23．（2019·甘肃兰州·中考真题）是关于的一元一次方程的解，则（）A． B． C．4 D．24．（2020·贵州遵义·中考真题）已知，是方程的两根，则的值为（）A．5 B．10 C．11 D．13

25．（2020·江苏南通·中考真题）若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．26．（2020·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：x2﹣5x+6＝027．（2020·四川南充·中考真题）已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．28．（2019·湖北黄石·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.

29．（2019·四川南充·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求实数m的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为，求代数式的值.30．（2019·辽宁锦州·中考真题）2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x元，每个月的销量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？

31．（2019·辽宁铁岭·中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．

32．（2019·山东东营·中考真题）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为元时，每天可售出个；若销售单价每降低元，每天可多售出个．已知每个电子产品的固定成本为元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利元？

1．（2020·黑龙江鹤岗·中考真题）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A．0 B．1 C．−3 D．−12．（2020·河南中考真题）定义运算：．例如．则方程的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2019·黑龙江伊春·中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A． B． C． D．4．（2020·山东潍坊·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定5．（2020·贵州黔西·中考真题）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1

6．（2020·浙江衢州·中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2=461B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442D．368（1+x）2=4427．（2019·山东潍坊·中考真题）关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（）A． B． C．或 D．或8．（2020·贵州黔东南·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣39．（2020·四川眉山·中考真题）设，是方程的两个实数根，则的值为______．10．（2020·山东济南·中考真题）如图，在一块长15m、宽10m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余分栽种花草，要使绿化面积为126m2，则修建的路宽应为_____米．

11．（2020·湖北荆门·中考真题）已知关于x的一元二次方程的一个根比另一个根大2，则m的值为_____．12．（2019·广西桂林·中考真题）一元二次方程的根是_____．13．（2020·四川甘孜·中考真题）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是________．14．（2020·辽宁大连·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____．15．（2019·内蒙古呼和浩特·中考真题）用配方法求一元二次方程的实数根．16．（2020·湖北中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．17．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求的值．

18．（2020·湖北随州·中考真题）已知关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．19．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为，，则有，．问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数；（2）若，是关于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不为0)的两根，是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；（3）若A(m，y1)，B(m+1，y2)，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数的图象上，且三点的纵坐