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文档简介
第十章
概率§10.2事件的相互独立性学习目标XUEXIMUBIAO1.在具体情境中,了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际
问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE对任意两个事件A与B,如果P(AB)=
成立,则称事件A与事件B相互独立,简称独立.知识点一相互独立事件的概念P(A)P(B)知识点二相互独立事件的性质思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.不可能事件与任何一个事件相互独立.(
)2.必然事件与任何一个事件相互独立.(
)3.“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.(
)4.如果两个事件相互独立,则它们的对立事件也是相互独立的.(
)√√√√2题型探究PARTTWO例1
判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.一、事件独立性的判断解“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生,对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响,所以它们是相互独立事件.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球,“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.可见,前一事件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件.反思感悟两个事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法:若P(AB)=P(A)·P(B),则事件A,B为相互独立事件.跟踪训练1
分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)①A,B;②A,C;③B,C.①②③解析根据事件相互独立性的定义判断,只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立.二、相互独立事件概率的计算例2
根据资料统计,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立,各车主间相互独立.(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率;解记A表示事件“购买甲种保险”,B表示事件“购买乙种保险”,记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”,则C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)·P(B)=0.5×0.6=0.3.(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.解记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”,延伸探究
本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少?解记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”,方法二事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.反思感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率,再求积.(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的.跟踪训练2
甲、乙两人破译一密码,他们能破译的概率分别为
,两人能否破译密码相互独立,求两人破译时,以下事件发生的概率:(1)两人都能破译的概率;解记事件A为“甲独立地破译出密码”,事件B为“乙独立地破译出密码”.(2)恰有一人能破译的概率;(3)至多有一人能破译的概率.解至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码,三、相互独立事件概率的综合应用(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大?解记“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,因为P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性最大.(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的概率.解设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,由题易知三人是否获得合格证书相互独立,反思感悟求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件,并且用适当的符号表示.(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立,或者是相互独立的),列出关系式.(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.解记T1正常工作为事件A,T2正常工作为事件B,T3正常工作为事件C,核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG方程思想在相互独立事件概率中的应用典例甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为
,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为
,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为
,分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.解记事件A,B,C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.解方程组并舍去不合题意的根,素养提升对于相互独立事件中的概率问题,可先从问题的数量关系入手,根据概率的定义、公式等构造方程(组),通过解方程(组)解决问题,提升数学抽象素养.3随堂演练PARTTHREE123451.坛子里放有3个白球,2个黑球,从中不放回地摸球,用A1表示第1次摸到白球,A2表示第2次摸到白球,则A1与A2A.是互斥事件
B.是相互独立事件C.是对立事件
D.不是相互独立事件√解析互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件,故选项A,C错.而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响,故两者不是相互独立事件.2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立,则两根保险丝都熔断的概率为A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85√解析设“甲保险丝熔断”为事件A,“乙保险丝熔断”为事件B,则P(A)=0.85,P(B)=0.74,由事件A与B相互独立,得“两根保险丝都熔断”为事件AB,∴P(AB)=P(A)·P(B)=0.85×0.74=0.629.12345123453.(多选)下列各对事件中,不是相互独立事件的有A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙
都没有射中目标”D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中
目标但乙未射中目标”√√√12345解析在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲、乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)≠1时,P(AB)≠P(A)·P(B),故A,B不独立.故选A,C,D.123454.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7,0.8,0.85,且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪,则目标没有被击中的概率为________.0.009解析3人向目标各发1枪,由相互独立事件的概率计算公式,得目标没有被击中的概率P=(1-0.7)×(1-0.8)×(1-0.85)=0.3×0.2×0.15=0.009._____.12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单:(1)相互独立事件的判断.(2)相互独立事件概率的计算.2.方法归纳:构造方程(组)、通过解方程(组)求概率,正难则反思想求概率.3.常见误区:相互独立事件与互斥事件易混淆.4课时对点练PARTFOUR基础巩固1.掷一枚骰子一次,设事件A:“掷出偶数点”,事件B:“掷出3点或6点”,则事件A,B的关系是A.互斥但不相互独立B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥12345678910111213141516√解析事件A={2,4,6},事件B={3,6},事件AB={6},样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},即P(AB)=P(A)P(B),因此事件A与B相互独立.当“掷出6点”时,事件A,B同时发生,所以A,B不是互斥事件.123456789101112131415162.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9,则他连续射击两次都命中的概率是A.0.64 B.0.56C.0.81 D.0.99√解析Ai表示“第i次击中目标”,i=1,2,则P(A1A2)=P(A1)P(A2)=0.9×0.9=0.81.123456789101112131415163.甲、乙两人同时报考某一所大学,甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为0.7,两人是否被录取互不影响,则其中至少有一人被录取的概率为A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88√解析设“甲被录取”记为事件A,“乙被录取”记为事件B,12345678910111213141516A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率√12345678910111213141516解析记4个选项中的事件分别为A,B,C,D,则:123456789101112131415165.(多选)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事
件N=“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸
两次,事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”C.分别抛掷2枚相同的硬币,事件M=“第1枚为正面”,事件N=
“两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次,事件M=“第一次为正面”,事件N=“第二次
为反面”√√12345678910111213141516解析在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.故选C,D.123456789101112131415166.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为
,则该队员每次罚球的命中率为_____.解析设此队员每次罚球的命中率为P,123456789101112131415167.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型,在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个,则能配成A型螺栓的概率为____.解析从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M,从乙盒内取一个A型螺母记为事件N,123456789101112131415168.两人打靶,甲中靶的概率为0.8,乙中靶的概率为0.7,若两人同时射击一目标,则它们都中靶的概率是________,它们都不中靶的概率为________.0.560.06123456789101112131415169.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.求:(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;12345678910111213141516解记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,则P(A)=0.5;记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;记C表示事件“进入商场的1位顾客甲、乙两种商品都购买”;记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”;记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”.易知C=AB,则P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.12345678910111213141516(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;12345678910111213141516(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.1234567891011121314151610.为应对金融危机,刺激消费,某市给市民发放面额为100元的旅游消费券,由抽样调查预计老、中、青三类市民持有这种消费券到某旅游景点的消费额及其概率如右表:
200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2某天恰好有持有这种消费券的老年人、中年人、青年人各一人到该旅游景点.(1)求这三人恰有两人的消费额不少于300元的概率;12345678910111213141516解设三人中恰有两人的消费额不少于300元的概率为P1,则P1=(0.7)2×0.4+2×0.3×0.7×0.6=0.448.12345678910111213141516(2)求这三人的消费总额大于或等于1300元的概率.
200元300元400元500元老年0.40.30.20.1中年0.30.40.20.1青年0.30.30.20.2解消费总额为1500元的概率是0.1×0.1×0.2=0.002,消费总额为1400元的概率是(0.1)2×0.2+2×(0.2)2×0.1=0.010,消费总额为1300元的概率是(0.1)2×0.3+0.3×0.1×0.2+0.1×0.4×0.2+0.23+2×0.22×0.1=0.033,所以消费总额大于或等于1300元的概率是0.045.1234567891011121314151611.同时转动如图所示的两个质地均匀的转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中,满足xy=4的概率为√综合运用12345678910111213141516解析满足xy=4的所有可能如下:x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.∴所求事件的概率为P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)12345678910111213141516√12345678910111213141516设P(A)=x,P(B)=y,12345678910111213141516√12345678910111213141516解析灯不亮包括四个开关都断开,或下边的2个都断开且上边的2个中有一个断开,这两种情况是互斥的,每一种情况中的事件是相互独立的,1234567891011121314151614.某次知识竞
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