数学-专项12费马点问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题12费马点问题-解题策略解题策略费马（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”．下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，∴当A'，P'，P，C四点在同一直线上时PA+PB+PC有最小值为A'C的长度，∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，∴△P'BP为等边三角形，则当A'，P'，P，C四点在同一直线上时，∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180°﹣60°＝120°，∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180°﹣60°＝120°，∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点；

经典例题经典例题【例1】如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB＝60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．【例2】探究问题：（1）阅读理解：①如图（A），在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离；②如图（B），若四边形ABCD的四个顶点在同一圆上，则有AB•CD+BC•DA＝AC•BD．此为托勒密定理；（2）知识迁移：①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图（C），已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝PA；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120

°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图（D），在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；第二步：在上任取一点P′，连接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+；第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离．（3）知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（0，2），点D在x轴的正半轴上，∠ODB＝30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长；（3）点P为△ABO内的一个动点，设m＝PA+PB+PO，请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时，线段AP的长．

培优训练培优训练1．已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC＝2，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则PA+PB+PC＝．2．在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为．3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M，N分别为AB、BC上的动点，且始终保持BM＝CN．连接MN，以MN为斜边在矩形内作等腰Rt△MNQ，若在正方形内还存在一点P，则点P到点A、点D、点Q的距离之和的最小值为．4．如果点P是△ABC内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P点叫△ABC的费马点．已经

证明：在三个内角均小于120°的△ABC中，当∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，P就是△ABC的费马点．若点P是腰长为的等腰直角三角形DEF的费马点，则PD+PE+PF＝．5．法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，则费马距离为．6．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．

7．如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角三角形ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，求PB的长．（2）已知锐角三角形ABC，分别以AB、AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P点，连结AP，如图②．①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．8．如图1，D、E、F是等边三角形ABC中不共线三点，连接AD、BE、CF，三条线段两两分别相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．（1）证明：EF＝DF；（2）如图2，点M是ED上一点，连接CM，以CM为边向右作△CMG，连接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，证明：CG＝CM．（3）如图3，在（2）的条件下，当点M与点D重合时，若CD⊥AD，GD＝4，请问在△ACD内部是否存在点P使得P到△ACD三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由．

9．【问题情境】如图1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，则△ABC的外接圆的半径值为．【问题解决】如图2，点P为正方形ABCD内一点，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．【问题解决】如图3，正方形ABCD是一个边长为3cm的隔离区域设计图，CE为大门，点E在边BC上，CE＝cm，点P是正方形ABCD内设立的一个活动岗哨，到B、E的张角为120°，即∠BPE＝120°，点A、D为另两个固定岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q到A、D、P三个岗哨的距离和最小，试求QA+QD+QP的最小值．（保留根号或结果精确到1cm，参考数据≈1.7，10.52＝110.25）．10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣8的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y＝kx+（k≠0）经过点A，与抛物线交于另一点R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）如图1，若点P是x轴下方抛物线上一点，过点P做PH⊥AR于点H，过点P做PQ∥x轴交抛物线于点Q，过点P做PH′⊥x轴于点H′，K为直线PH′上一点，且PK＝2PQ，点I为第四象限内一点，且在直线PQ上方，连接IP、IQ、IK，记l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，当l取得最大值时，求出点P的坐标，并求出此时m的最小值．

（3）如图2，将点A沿直线AR方向平移13个长度单位到点M，过点M做MN⊥x轴，交抛物线于点N，动点D为x轴上一点，连接MD、DN，再将△MDN沿直线MD翻折为△MDN′（点M、N、D、N′在同一平面内），连接AN、AN′、NN′，当△ANN′为等腰三角形时，请直接写出点D的坐标．11．（1）知识储备①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为△ABC的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打√，错误的打×）：ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的边长．

12．皮埃尔•德•费马，17世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．1638年勒•笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的函数问题，费马经过思考并由此提出费马点的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点，可使该点所对三角形三边的张角均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．例如，如图1，点P是△ABC的费马点．请结合阅读材料，解决下列问题：已知：如图2，锐角△DEF．（1）尺规作图，并标明字母．①在△DEF外，以DF为一边作等边△DFG．②作△DFG的外接圆⊙O．③连接EG交⊙O于点M．（2）求证：（1）中的点M是△DEF的费马点．13．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB

的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．14．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．①求证：△ABP∽△BCP；②若PA＝3，PC＝4，则PB＝．（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．

15．如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费马点．若点M为△ABC的费马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点．试说明这种作法的依据．16．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）若点P是等边三角形三条中线的交点，点P（填是或不是）该三角形的费马点．（2）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°．求证：△ABP∽△BCP；（3）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．如图（2）①求∠CPD的度数；②求证：P点为△ABC的费马点．

17．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′＝PA+PB+PC．18．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4的对称轴为x＝1，与y交于点A，与x轴负半轴交于点C，作平行四边形ABOC并将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′O′C′．（1）求抛物线的解析式和点A、C的坐标；（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′O′C′重叠部分△OC′D的周长；（3）若点P为△AOC内一点，直接写出PA+PC+PO的最小值（结果可以不化简）以及直线CP的解析式．19．（1）阅读证明①如图1，在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．②如图2，已知点P为等边△ABC外接圆的上任意一点．求证：PB+PC＝PA．（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图3，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆；

第二步：在上取一点P0，连接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A