造桥选址问题

134课题学习最短路径问题第十三章轴对称导入新课讲授新课当堂练习课堂小结八年级数学上（RJ）

学习目标1能利用轴对称解决简单的最短路径问题（难点）2体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）导入新课复习引入1如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？AB①②③②最短，因为两点之间，线段最短2如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？PlABCDPC最短，因为垂线段最短讲授新课牧人饮马问题一“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”AB①②③PlABCD问题2如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？ABl利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′方法揭晓作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．ABlB′C问题3你能用所学的知识证明ACBC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′与点C不重合，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴ACBC=ACB′C=AB′，∴AC′BC′=AC′B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′B′C′，∴ACBC＜AC′BC′．即ACBC最短．ABlB′CC′如图，A和B两地在一条河的两岸，最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？BAABNM造桥选址问题二BA●●

?NMNMNM折移如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AMMNBN，那么怎样确定什么情况下最短呢？我们能否在不改变AMMNBN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见平移到岸边平移到岸边相连相连BAＭＮBAＭＮA'B'平移到岸边AMMNBN长度改变了平移到岸边AMMNBN长度改变了BAＭＮ相连相连AM+MN+BN长度有没有改变呢？问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AMMNBN最短理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１AMMNBN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１在△A１N１B中，因为A1N1BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AMMNBN方法归纳解决最短路径问题的方法在解决最短路径问题时，我们常利用平移变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择变式：如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD′,EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E′,D′作DD′,EE′即为桥理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小AD′CC′EE′BFGD课堂小结原理线段公理和垂线段最短牧马人饮马问题解题方法造桥选址问题关键是将固定线段“桥”平移最短路径问题轴对称知识线段公理解题方法6（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．拓展提升ABCDPOABNOABM图①图②图③图①