课题学习最短路径问题-省赛一等奖

134课题学习最短路径问题人教版八年级上新知导入两点之间，_________最短。如图，第______条线路最短。点到直线的距离，_________最短。类似这样的问题我们称为最短路径问题，如何利用轴对称解决实际生活中的最短路径问题？线段垂线段①②③②新知讲解知识1、将军饮马问题问题一有一位牧马人从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．新知讲解将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al想一想如何将实际问题数学化呢？新知讲解河AB现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）新知讲解点A、B是分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A、B两点的距离最短呢？B··Al两点之间,线段最短交点即为所求依据：新知讲解如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？作法：1作点B关于直线l的对称点B′；2连接AB′，与直线l即为所求．ACB＇┓B新知讲解证明：如图，在直线l上任取一点C′与点C不重合，连接AC′，BC′，B′C′由轴对称的性质知：BC＝B′C，BC′＝B′C′。∴AC＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′。在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′∴AC＋BC＜AC′＋BC′。即AC＋BC最短。B·lA·B′CC′新知讲解问题1归纳lABClABCB′抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl巩固练习1如图，直线l是一条河，，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（）D巩固练习2如图，在直角三角形ABC中，∠A＝30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设N上任一点，PBPC的最小值为______________2新知讲解知识2、造桥选址问题问题二：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。新知讲解将实际问题转化为数学问题ABMNab将河的两岸看作两条平行线a、b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于a，交a于N点。当N在什么位置时，AMMNNB最小？新知讲解问题解决BAA'MN如图，平移A到A'，使ＡA'等于河宽，连接A'Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短Ｎ'Ｍ'新知讲解另任意造桥M′N′，连接AM′、BN′、A′N′由平移性质可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′∴AMMNBN＝AA′A′B，AM′M′N′BN′＝AA′A′N′BN′在△A′N′B中，由线段公理知A′N′BN′＞A′B，∴AM′M′N′BN′＞AMMNBN证明：aBAbMNA'N′M′新知讲解问题2归纳抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题lABC利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为易解决的问题，从而作出最短路径的选择。新知讲解小结归纳lABClABCB′转化轴对称变换平移变换两点之间，线段最短巩固练习3某中学八2班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排图中的AO，BO，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．解：如图．作法：①作点C关于OA的对称点C1，点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．巩固练习4如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．解答：（1）两点之间，线段最短，连接，再连接M--P．1如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，．解：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即．15属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称拓展提高拓展提高2如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，则PC＋PE的最小值是_________．

解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝48∴最小：PCPE=BPPE=BE=4848属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”3如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．解答：如图，∵∠BAE＝136°∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知：∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA