苏教数学电子题库 第章5知能优化训练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精[学生用书P54]1．若向量eq\o(OF1，\s\up6（→））＝(2，2）,eq\o(OF2，\s\up6(→))＝（－2，3)分别表示两个力F1，F2，则｜F1＋F2｜＝__________.解析：∵F1＋F2＝(2，2）＋（－2,3）＝(0，5）,∴|F1＋F2|＝eq\r(0＋52)＝5.答案：52．过点A（2,3），且垂直于向量a＝（2,1)的直线为__________．解析：设P（x，y)为直线上一点，则eq\o（AP，\s\up6(→))⊥a，即(x－2)×2＋(y－3）×1＝0，即2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．已知作用在点A（1,1)的三个力F1＝(3，4），F2＝（2，－5)，F3＝（3，1），则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是______．解析:F＝（8，0)，故终点坐标为(8,0）＋（1，1）＝(9,1）．答案：(9，1)4．在四边形ABCD中,若eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(CD,\s\up6(→）)＝0，eq\o（AC,\s\up6（→）)·eq\o(BD，\s\up6(→））＝0，则四边形的形状为__________．解析:∵eq\o(AB，\s\up6（→）)＋eq\o(CD，\s\up6(→)）＝0，∴eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\o（DC,\s\up6(→）)，∴四边形ABCD为平行四边形，∵eq\o(AC，\s\up6(→))·eq\o（BD，\s\up6(→)）＝0，∴eq\o(AC，\s\up6（→））⊥eq\o(BD,\s\up6(→）)，∴对角线垂直，∴四边形为菱形．答案:菱形一、填空题1．甲、乙两人从相反的方向同时拉动一个有绳相缚的地面上的物体，甲、乙所拉着的绳子与水平线分别成30°和60°的角时,物体静止不动，忽略物体与地面间的摩擦力,则甲和乙的手上所承受的力的比是__________．解析：F甲∶F乙＝cos30°∶cos60°＝eq\r（3）∶1。答案：eq\r(3)∶12．在▱ABCD中，若Aeq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2）,－7))，B（2，6），其两对角线的交点Meq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（3，\f(3，2）)），则C、D两点的坐标分别为__________．解析:M为AC，BD的中点，由中点坐标公式可求得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（21,2)，10）），D(4，－3)．答案：Ceq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（21,2)，10）），D(4，－3）3．已知三个力f1＝（－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝（4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于__________．解析：由题意可知f4＝－(f1＋f2＋f3）＝－[(－2，－1）＋（－3,2)＋(4，－3）］＝－(－1，－2)＝（1,2)．答案：(1,2)4．在四边形ABCD中,eq\o(AB,\s\up6（→)）＝eq\o(DC，\s\up6（→)）＝（1，1),eq\f(1，|\o（BA，\s\up6（→))｜）eq\o(BA，\s\up6（→))＋eq\f(1,｜\o(BC,\s\up6(→))|）eq\o(BC，\s\up6(→））＝eq\f(\r（3），|\o(BD，\s\up6(→))|）eq\o(BD,\s\up6(→)），则四边形ABCD的面积为__________．解析：由eq\o（AB,\s\up6（→))＝eq\o(DC,\s\up6(→）)＝（1，1)知AB綊DC。又由eq\f（1，｜\o（BA,\s\up6（→))|)eq\o（BA，\s\up6(→))＋eq\f（1，|\o（BC，\s\up6(→)）|）eq\o(BC,\s\up6(→)）＝eq\f(\r(3）,｜\o（BD，\s\up6（→）)｜)eq\o（BD,\s\up6(→）)知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝eq\r(2），又∵eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，｜\o(BA，\s\up6(→）)｜)·\o（BA,\s\up6（→))＋\f（1，｜\o（BC,\s\up6(→））｜）·\o(BC,\s\up6(→））))2＝3,∴∠ABC＝60°，BD＝eq\r（6）。∴∠BAD＝120°.∴sin∠BAD＝eq\f(\r（3），2)，∴S菱形ABCD＝eq\r(2)×eq\r（2）×eq\f（\r（3),2）＝eq\r（3).答案：eq\r（3）5．已知O是△ABC内一点，eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（OC,\s\up6(→)）＝－3eq\o(OB，\s\up6(→)）,则△AOB与△AOC的面积的比值为__________．解析：如图，以OA，OC为邻边作▱OCDA，则eq\o（OD，\s\up6（→）)＝eq\o（OA,\s\up6(→)）＋eq\o（OC，\s\up6（→))。设OD与AC的交点为E，则E为AC中点．已知eq\o（OA,\s\up6（→）)＋eq\o（OC，\s\up6（→）)＝－3eq\o(OB,\s\up6（→)），则eq\o（OD,\s\up6(→)）＝－3eq\o（OB，\s\up6（→）),所以|eq\o（OD,\s\up6(→）)|＝3｜eq\o（OB，\s\up6(→)）｜,所以2OE＝3OB,所以S△AOB∶S△AOE＝2∶3，又因为S△AOE＝S△COE，所以S△AOB∶S△AOC＝2∶6＝1∶3.答案：eq\f(1,3)6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足eq\o（AP，\s\up6（→）)＝2eq\o(PM，\s\up6(→)），则eq\o(PA,\s\up6（→）)·（eq\o(PB,\s\up6（→))＋eq\o(PC，\s\up6（→)）)等于__________．解析：因为M是BC的中点,所以eq\o（PB，\s\up6（→))＋eq\o(PC,\s\up6(→））＝2eq\o（PM,\s\up6（→)),所以eq\o（PA,\s\up6(→)）·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC，\s\up6（→)))＝－eq\f(2,3）eq\o(AM,\s\up6(→））·eq\f(2,3)eq\o（AM,\s\up6（→）)＝－eq\f(4，9).答案：－eq\f（4，9）7．若O为△ABC所在平面内一点,且满足（eq\o（OB，\s\up6(→))－eq\o（OC，\s\up6(→）))·（eq\o（OB,\s\up6（→）)＋eq\o(OC，\s\up6（→））－2eq\o（OA,\s\up6(→))）＝0，则△ABC的形状为________．解析：∵eq\o(OB,\s\up6(→）)－eq\o（OC，\s\up6(→))＝eq\o（CB,\s\up6（→))＝eq\o(AB，\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6（→）)，eq\o（OB,\s\up6（→)）＋eq\o（OC，\s\up6(→））－2eq\o(OA,\s\up6(→））＝（eq\o（OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6（→））)＋(eq\o(OC，\s\up6（→))－eq\o（OA,\s\up6(→))）＝eq\o(AB,\s\up6（→））＋eq\o（AC,\s\up6（→）），由已知(eq\o(OB,\s\up6（→）)－eq\o(OC,\s\up6(→））)·（eq\o（OB,\s\up6(→))＋OC－2eq\o（OA，\s\up6（→）)）＝0,得(eq\o（AB,\s\up6（→))－eq\o(AC，\s\up6（→））)·（eq\o（AB,\s\up6（→）)＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即（eq\o(AB,\s\up6（→)）－eq\o（AC,\s\up6（→）））⊥(eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o(AC，\s\up6（→））)．根据平行四边形法则和三角形法则，可知以AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线垂直，即以AB、AC为邻边的平行四边形为菱形，所以|eq\o（AB,\s\up6（→））｜＝｜eq\o（AC，\s\up6(→)）｜，因此△ABC为等腰三角形．答案：等腰三角形8．已知非零向量eq\o（AB，\s\up6(→）)与eq\o(AC,\s\up6（→))满足eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\o（AB,\s\up6(→)),|\o(AB，\s\up6（→））|)＋\f(\o(AC，\s\up6(→）),｜\o（AC,\s\up6（→））|)）)·eq\o(BC，\s\up6(→))＝0，且eq\f（\o（AB,\s\up6(→）),｜\o（AB,\s\up6(→））|)·eq\f（\o（AC，\s\up6（→）），|\o（AC，\s\up6(→)）｜)＝eq\f（1,2)，则△ABC的形状为________．解析：由于eq\f(\o(AB,\s\up6(→）），｜\o（AB,\s\up6（→））|)＋eq\f(\o（AC,\s\up6（→））,|\o(AC，\s\up6（→）)｜）所在直线穿过△ABC的内心，则由eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\o(AB，\s\up6(→）)，｜\o（AB,\s\up6(→))｜)＋\f（\o(AC,\s\up6(→))，｜\o(AC，\s\up6（→))|))）·eq\o（BC，\s\up6(→)）＝0知，｜eq\o(AB,\s\up6（→）)|＝｜eq\o(AC,\s\up6（→））|。又eq\f（\o(AB,\s\up6(→)）·\o（AC，\s\up6(→）),｜\o(AB,\s\up6(→））|｜\o（AC，\s\up6(→)）|)＝cosA＝eq\f(1,2),故A＝eq\f(π，3），即△ABC为等边三角形．答案：等边三角形二、解答题9．已知两恒力F1＝i＋2j，F2＝4i－5j(其中i,j分别是x轴，y轴上的单位向量）作用于同一质点，使之由点A(20,15）移动到点B（7,0）．(1）求F1,F2分别对质点所做的功；（2)求F1，F2的合力对质点所做的功．(力的单位：N，位移的单位:m）解：（1）由已知得F1＝(1，2),F2＝(4，－5),设F1，F2对质点所做的功分别为W1，W2.∵eq\o(AB，\s\up6（→))＝（7－20，0－15）＝（－13,－15),∴W1＝F1·eq\o(AB，\s\up6(→))＝(1，2)·(－13,－15）＝1×(－13)＋2×(－15）＝－43（J），W2＝F2·eq\o(AB，\s\up6(→））＝（4，－5)·（－13，－15)＝4×（－13)＋(－5）×(－15)＝23(J）．（2）F1，F2的合力为F1＋F2＝(1,2）＋（4,－5)＝（5，－3)．设F1,F2的合力对质点所做的功为W，则W＝(F＋F2）·eq\o(AB，\s\up6(→)）＝(5，－3）·（－13，－15）＝5×(－13）＋(－3)×(－15)＝－20(J）．10．（2010年高考江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C（－2，－1)．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t满足（eq\o(AB，\s\up6（→)）－teq\o（OC,\s\up6（→)))·eq\o（OC,\s\up6（→））＝0，求t的值．解：（1）由题意知eq\o(AB，\s\up6（→))＝(3，5），eq\o（AC,\s\up6（→））＝（－1,1)，则eq\o（AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC，\s\up6(→）)＝（2,6），eq\o（AB,\s\up6(→）)－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，4）．所以｜eq\o（AB,\s\up6（→))＋eq\o(AC,\s\up6（→)）｜＝2eq\r(10）,｜eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC，\s\up6(→))｜＝4eq\r（2).故所求的两条对角线分别为2eq\r（10），4eq\r(2)。(2）由题设知eq\o(OC，\s\up6(→)）＝（－2，－1），eq\o（AB,\s\up6（→））－teq\o(OC,\s\up6(→))＝(3＋2t,5＋t)，由（eq\o(AB，\s\up6(→))－teq\o(OC，\s\up6(→)））·eq\o(OC,\s\up6(→））＝0，得(3＋2t，5＋t）·（－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－eq\f(11，5)。11．已知e1＝（1，0），e2＝（0，1），今有动点P从P0（－1，2）开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为｜e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1）开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2｜，设P、Q在t＝0s时分别在P0、Q0处，问当eq\o（PQ,\s\up6（→))⊥eq\o（P0Q0,\s\up6（→)）时所需的时间为多少？解：e1＋e2＝（1,1)，｜e1＋e2｜＝eq\r（2)，其单位向量为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2），\f（\r（2)，2)）)；3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2｜＝eq\r(13)，其