初二年级数学动点问题归类复习含例题、练习及答案解析

./初二数学动点问题归类复习〔含例题、练习及答案所谓"动点型问题"是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识,结合动点问题进行归类复习,希望对同学们能有所帮助。一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：〔20XX上海市虹口区中考模拟第25题如图1,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝6,AC＝8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ＝90°．〔1求ED、EC的长；〔2若BP＝2,求CQ的长；〔3记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长．图1备用图思路点拨1．第〔2题BP＝2分两种情况．2．解第〔2题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系．3．第〔3题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ．解答：〔1在Rt△ABC中,AB＝6,AC＝8,所以BC＝10．在Rt△CDE中,CD＝5,所以,．〔2如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是△ABC的两条中位线,DM＝4,DN＝3．由∠PDQ＝90°,∠MDN＝90°,可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以,．图2图3图4①如图3,当BP＝2,P在BM上时,PM＝1．此时．所以．②如图4,当BP＝2,P在MB的延长线上时,PM＝5．此时．所以．〔3如图5,如图2,在Rt△PDQ中,．在Rt△ABC中,．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°,∠CDE＝90°,可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形．①如图5,当CQ＝CD＝5时,QN＝CQ－CN＝5－4＝1〔如图3所示．此时．所以．②如图6,当QC＝QD时,由,可得．所以QN＝CN－CQ＝〔如图2所示．此时．所以．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ〔如图5,图6所示．图5图6考点伸展：如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题例2：〔20XXXX省中考第23题如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是〔-2,0．〔1试说明△ABC是等腰三角形；〔2动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动．设M运动t秒时,△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时,是否存在S＝4的情形？若存在,求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值．图1思路点拨：1．第〔1题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点．2．不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论．3．将S＝4代入对应的函数解析式,解关于t的方程．4．分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM＝90°的可能．解答：〔1直线与x轴的交点为B〔3,0、与y轴的交点C〔0,4．Rt△BOC中,OB＝3,OC＝4,所以BC＝5．点A的坐标是〔-2,0,所以BA＝5．因此BC＝BA,所以△ABC是等腰三角形．〔2①如图2,图3,过点N作NH⊥AB,垂足为H．在Rt△BNH中,BN＝t,,所以．如图2,当M在AO上时,OM＝2－t,此时．定义域为0＜t≤2．如图3,当M在OB上时,OM＝t－2,此时．定义域为2＜t≤5．图2图3②把S＝4代入,得．解得,〔舍去负值．因此,当点M在线段OB上运动时,存在S＝4的情形,此时．③如图4,当∠OMN＝90°时,在Rt△BNM中,BN＝t,BM,,所以．解得．如图5,当∠OMN＝90°时,N与C重合,．不存在∠ONM＝90°的可能．所以,当或者时,△MON为直角三角形．图4图5考点伸展：在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值．如图6,当ON//AC时,t＝3；如图7,当MN//AC时,t＝2.5．图6图7三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例3：〔20XXXX省中考第26题在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA＝90°,CB＝3,OA＝6,BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．〔1求点B的坐标；〔2已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD＝5,OE＝2EB,直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；〔3点M是〔2中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在,请求出点N的坐标；若不存在,请说明理由．图1图2思路点拨：1．第〔1题和第〔2题蕴含了OB与DF垂直的结论,为第〔3题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次〔两级分类,先按照DO为边和对角线分类,再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边．解答：<1>如图2,作BH⊥x轴,垂足为H,那么四边形BCOH为矩形,OH＝CB＝3．在Rt△ABH中,AH＝3,BA＝,所以BH＝6．因此点B的坐标为<3,6>．<2>因为OE＝2EB,所以,,E<2,4>．设直线DE的解析式为y＝kx＋b,代入D<0,5>,E<2,4>,得解得,．所以直线DE的解析式为．<3>由,知直线DE与x轴交于点F<10,0>,OF＝10,DF＝．①如图3,当DO为菱形的对角线时,MN与DO互相垂直平分,点M是DF的中点．此时点M的坐标为<5,>,点N的坐标为<－5,>．②如图4,当DO、DN为菱形的邻边时,点N与点O关于点E对称,此时点N的坐标为<4,8>．③如图5,当DO、DM为菱形的邻边时,NO＝5,延长MN交x轴于P．由△NPO∽△DOF,得,即．解得,．此时点N的坐标为．图3图4考点伸展如果第〔3题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形．图5图6四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：〔20XXXX中考28题如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C〔即点F与点C重合时,三个点随之停止运动．在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t〔单位：s．〔1当t=s时,四边形EBFB′为正方形；〔2若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值；〔3是否存在实数t,使得点B′与点O重合？若存在,求出t的值；若不存在,请说明理由．思路点拨：〔1利用正方形的性质,得到BE=BF,列一元一次方程求解即可；〔2△EBF与△FCG相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算；〔3本问为存在型问题．假设存在,则可以分别求出在不同条件下的t值,它们互相矛盾,所以不存在．解答：〔1若四边形EBFB′为正方形,则BE=BF,即：10﹣t=3t,解得t=2.5；〔2分两种情况,讨论如下：①若△EBF∽△FCG,则有,即,解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF,则有,即,解得：t=﹣14﹣2〔不合题意,舍去或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=〔﹣14+2s时,以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似．〔3假设存在实数t,使得点B′与点O重合．如图,过点O作OM⊥BC于点M,则在Rt△OFM中,OF=BF=3t,FM=BC﹣BF=6﹣3t,OM=5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：52+〔6﹣3t2=〔3t2解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N,则在Rt△OEN中,OE=BE=10﹣t,EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t,ON=6,由勾股定理得：ON2+EN2=OE2,即：62+〔5﹣t2=〔10﹣t2解得：t=3.9．∵≠3.9,∴不存在实数t,使得点B′与点O重合．考点伸展：本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答．第〔2问中,需要分类讨论,避免漏解；第〔3问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在．拓展练习：1、如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。当t=时,四边形是平行四边形；当t=时,四边形是等腰梯形.〔1题图备用图2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为。〔2题图〔3题图3、如图,在中,,．点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交边于点．过点作交直线于点,设直线的旋转角为．〔1①当度时,四边形是等腰梯形,此时的长为；②当度时,四边形是直角梯形,此时的长为；〔2当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由．ACBEDNM图3ABCDEMN图24、在△ABC中,∠ACB=90°ACBEDNM图3ABCDEMN图2CCBAED图1NM<1>当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；<2>当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD-BE；<3>当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明.5、数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点．,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证：AE=EF．经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以．在此基础上,同学们作了进一步的研究：〔1小颖提出：如图2,如果把"点E是边BC的中点"改为"点E是边BC上〔除B,C外的任意一点",其它条件不变,那么结论"AE=EF"仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由；〔2小华提出：如图3,点E是BC的延长线上〔除C点外的任意一点,其他条件不变,结论"AE=EF"仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确,写出证明过程；如果不正确,请说明理由．6、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动,设P的运动时间为t.求〔1△PAB为等腰三角形的t值；〔2△PAB为直角三角形的t值；〔3若AB=5且∠ABM=45°,其他条件不变,直接写出△PAB为直角三角形的t值。7、如图1,在等腰梯形中,,是的中点,过点作交于点．,.求：〔1求点到的距离；〔2点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设.①当点在线段上时〔如图2,的形状是否发生改变？若不变,求出的周长；若改变,请说明理由；②当点在线段上时〔如图3,是否存在点,使为等腰三角形？若存在,请求出所有满足要求的的值；若不存在,请说明理由AADEBFC图4〔备用ADEBFC图5〔备用ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM〔第25题8、如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点．<1如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等？〔2若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？〔8题图〔9题图9、如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动,且E、F不与B．C．D重合．〔1证明不论E、F在BC．CD上如何滑动,总有BE=CF；〔2当点E、F在BC．CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变,求出这个定值；如果变化,求出最大〔或最小值．10、如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB=6,C为OB上一点,射线CD⊥OB交AB于点D,OC=2．点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当点P到达到点B时停止运动,点Q也随之停止．过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,得到矩形PEOF．以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN,斜边MN∥OB,且MN=QC．设运动时间为t〔单位：秒．〔1求t=1时FC的长度．〔2求MN=PF时t的值．〔3当△QMN和矩形PEOF有重叠部分时,求重叠〔阴影部分图形面积S与t的函数关系式．〔4直接写出△QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值．参考答案：1、解：：〔1要使四边形PQCD为平行四边形,则PD=CQ,∵AD=18cm,即18-t=2t,解得：t=6；〔2设经过ts,四边形PQCD是等腰梯形．过Q点作QE⊥AD,过D点作DF⊥BC,∵四边形PQCD是等腰梯形,∴PQ=DC．又∵AD∥BC,∠B=90°,∴AB=EQ=DF．∴△EQP≌△FDC．∴FC=EP=BC-AD=21-18=3．又∵AE=BQ=21-2t,EP=t-AE,∴EP=AP-AE=t-〔21-2t=3．得：t=8．∴经过8s,四边形PQCD是等腰梯形．2、5；3、解：〔1①30,1；②60,1.5；〔2当∠α=900时,四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900,∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中,∠ACB=900,∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC=2.∴AO==.在Rt△AOD中,∠A=300,∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形,∴四边形EDBC是菱形4、解：〔1①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD,CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE<2>∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD,CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE<3>当MN旋转到图3的位置时,DE=BE-AD<或AD=BE-DE,BE=AD+DE等>∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE,又∵AC=BC,∴△ACD≌△CBE,∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CD-CE=BE-AD.5、解：〔1正确．证明：在上取一点,使,连接．．,．是外角平分线,,．．,,．〔ASA．．〔2正确．证明：在的延长线上取一点．使,连接．．．四边形是正方形,．．．〔ASA．．6、解：解：〔1作AE⊥BM于E。则AE=3,∵AB=5,∴BE=√〔AB²-AE²=4MP=t,BP=9-t①若AP=AB,∴9-t=2×4∴t=1②若PA=PB,∴BP/<1/2AB>=AB/BP∴〔9-t>²=1/2*5*5∴t=9-√5/2<9+√5/2舍去③若BA=BP,∴|9-t|=5∴t=4、14∴综上,t=1、4、9-√5/2、14〔2①若∠APB=90°∴9-t=4∴t=5②若∠PAB=90°∴BP/BA=BA/BE∴<9-t>/5=5/4∴t=11/4∴综上,t=5、11/4。7、解：〔1如图1,过点作于点∵为的中点,∴在中,∴∴即点到的距离为图1ADEBFCG〔2①图1ADEBFCG∵∴∵∴,同理如图2,过点作于,∵图2ADEB图2ADEBFCPNMGH∴则在中,∴的周长=②当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形．当时,如图3,作于,则类似①,∴∵是等边三角形,∴此时,当时,如图4,这时此时,当时,如图5,则又∴因此点与重合,为直角三角形．∴此时,综上所述,当或4或时,为等腰三角形．8、解：AQCDBP解：〔1①∵AQCDBP∵厘米,点为的中点,∴厘米．又∵厘米,∴厘米,∴．又∵,∴,∴．②∵,∴,又∵,,则,∴点,点运动的时间秒,∴厘米/秒。〔2设经过秒后点与点第一次相遇,由题意,得,解得秒．∴点共运动了厘米．∵,∴点、点在边上相遇,∴经过秒点与点第一次在边上相遇．9、解：〔1证明：如图,连接AC,∵四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,∠BAE+∠EAC=60°,∠FAC+∠EAC=60°,∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=120°,∴∠ABF=60°。∴△ABC和△ACD为等边三角形。∴∠ACF=60°,AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。∴在△ABE和△ACF中,∵∠BAE=∠FAC,AB=AC,∠ABE=∠AFC,∴△ABE≌△ACF〔ASA。∴BE=CF。〔2四边形AECF的面积不变,△CEF的面积发生变化。理由如下：由〔1得△ABE≌△ACF,则S△ABE=S△ACF。∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC,是定值。作AH⊥BC于H点,则BH=2,。由"垂线段最短"可知：当正三角形AEF的边AE与