北师大版九年级上《相似图形》教学案

./第三章相似图形1．成比例线段一、目标导航1．了解两条线段的比的概念；※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.2．若线段,则线段叫做成比例线段<或比例线段>；3．与在指定条件下可以互相转化,即比例式与等积式可以互相转化．二、基础过关1．若2x－5y=0,则y∶x=________,=________．2．如果,那么=________．3．若a=,b=3,c=3,则a、b、c的第四比例项d为________．4．若,则=________．5．在一张地图上,甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m,那么这张地图的比例尺为________．三、能力提升6．若,且AB=12,AC=3,AD=5,则AE=________．7．已知O点是正方形ABCD的两条对角线的交点,则AO∶AB∶AC=________．8．已知,那么下列式子成立的是<>A．3x=2yB．xy=6C．D．9．把ab=cd写成比例式,不正确的写法是<>A． B．C． D．10．已知线段x,y满足<x+y>∶<x－y>=3∶1,那么x∶y等于<>A．3∶1 B．2∶3C．2∶1 D．3∶211．已知直角三角形的两条直角边长的比为a∶b=1∶2,其斜边长为4cm,那么这个三角形的面积是<>cm2．A．32B．16C．8D．412．等腰梯形ABCD的周长是104cm,AD∥BC,且AD∶AB∶BC=2∶3∶5,则这个梯形的中位线的长是<>cm．A．72．8 B．51C．36．4 D．2813．已知四条线段a、b、c、d的长度,试判断它们是否成比例?<1>a=16cmb=8cmc=5cmd=10cm<2>a=8cmb=5cmc=6cmd=10cm四、聚沙成塔在△ABC中,D是BC上一点,若AB=15cm,AC=10cm,且BD∶DC=AB∶AC,BD－DC=2cm,求BC的长．4．1线段的比<2>一、目标导航1．合比性质：如果,那么；2．等比性质：如果<>,那么．二、基础过关1．若=3<b+d≠0>,则=________．2．已知<b+f≠0>,则=___________．3．已知,=．三、能力提升4．已知,则下列式子中正确的是<>A．a∶b=c2∶d2B．a∶d=c∶bC．a∶b=<a+c>∶<b+d>D．a∶b=<a－d>∶<b－d>5．若ac=bd<>,则下列各式一定成立的是<>A．B．C． D．6．已知,则的值为<>A．B．C．2D．7．若,且3a－2b+c=3,则2a+4b－3c的值是<>A．14 B．42C．7 D．8．若,设A=,B=,C=,则A,B,C的大小顺序为<>A．A＞B＞C

B．A＜B＜CC．C＞A＞B

D．A＜C＜B9．若点P在线段AB上,点Q在线段AB的延长线上,AB=10,．求线段PQ的长．10．已知：==．求：⑴的值；⑵的值．11．已知：x∶y∶z=2∶3∶4．求：⑴；⑵；⑶．12．若,且2a－b+3c=21．试求a∶b∶c．四、聚沙成塔13．已知实数a,b,c满足,求的值．2．平行线分线段成比例<1>如图,任意画两条直线l1、l2,再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5,分别量度l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?任意平移l5,再量度AB、BC、DE、EF的长度,AB︰BC与DE︰EF相等吗?<2>问题,AB︰AC=DE︰<>,BC︰AC=<>︰DF．<3>归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线,所得的________线段的比________。例1如图,若AB=3cm,BC=5cm,EK=_____=______。求FK的长?平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图中l1、l2两条直线相交,交点A刚好落到l3上,如图<1>,所得的对应线段的比会相等吗?2、如果把图中l1、l2两条直线相交,交点A刚好落到l4上,如图<2>,所得的对应线段的比会相等吗?3、归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边<或两边延长线>,所得的________线段的比_____。3．相似多边形图形的相似例1如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形相似的是<>例2一张桌面的长a=1.25m,宽b=0.75m<1>如果a=125cm,b=75<2>如果a=1250mm,b=750mm小结：上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是________的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位_________,但求比时两条线段的长度单位必须________．例3已知：一张地图的比例尺是1：32000000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm,求北京到上海的实际距离大约是多少分析：根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离．[巩固练习]1、如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?2．如图,图形a～f中,哪些是与图形<1>或<2>相似的?3、下列说法正确的是<>A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B．商店新买来的一副三角板是相似的.C．所有的课本都是相似的.D．国旗的五角星都是相似的.[能力提升]1、如图,请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽,<1><小>长是_______cm,宽是_______cm；<大>长是_______cm,宽是_______cm；<2><小>；<大>．<3>你由上述的计算,能得到什么结论吗?2、在比例尺是1：8000000的"中国政区"地图上,量得XX与上海之间的距离是7.5cm,那么XX与上海之间的实际距离是多少?3、AB两地的实际距离为2500m,在一张平面图上的距离是5c相似多边形如图的左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形,它们的对应角,对应边的比是否相等．[结论]：<1>相似多边形的特征：相似多边形的对应角______,对应边的比_______．反之,如果两个多边形的对应角______,对应边的比_______,那么这两个多边形_______．几何语言：在ABC和A1B1C1中若．则ABC和A1B1C1相似<2>相似比：相似多边形__________的比称为相似比．问题：相似比为1时,相似的两个图形有什么关系?结论：相似比为1时,相似的两个图形________．例1下列说法正确的是<>A．所有的平行四边形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似例2、如图,四边形ABCD和EFGH相似,求角的大小和EH的长度．[巩固练习]1．在比例尺为1﹕10000000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30c2．如图所示的两个直角三角形相似吗?为什么?3．如图所示的两个五边形相似,求未知边、、、的长度．[能力提升]1．△ABC与△DEF相似,且相似比是,则△DEF与△ABC与的相似比是<>．A．B．C．D．2．下列所给的条件中,能确定相似的有<><1>两个半径不相等的圆；<2>所有的正方形；<3>所有的等腰三角形；<4>所有的等边三角形；<5>所有的等腰梯形；<6>所有的正六边形．A．3个B．4个C．5个D．6个3．已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似,四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm,如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm,那么四边形A4．如图,AB∥EF∥CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF与梯形EFAB相似,求EF的长．4．探索三角形相似的条件四.相似三角形※1.在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4.相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5.相似三角形周长的比等于相似比.※6.相似三角形面积的比等于相似比的平方.五.探索三角形相似的条件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边<或两边的延长线>相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例.①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.相似三角形在相似多边形中,最简单的就是相似三角形．在△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．我们就说△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,k就是它们的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′,则有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,且．问题：如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?[巩固练习]如图,在△ABC中,DE∥BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.[能力提升]1．如图,△ABC∽△AED,其中DE∥BC,找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图,△ABC∽△AED,其中∠ADE=∠B,找出对应角并写出对应边的比例式．[反思归纳]"三角形相似的预备定理"．这个定理揭示了有三角形一边的平行线,必构成相似三角形,因此在三角形相似的解题中,常作平行线构造三角形与已知三角形相似．相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC∽△A′B′C′的相似比,那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是,它们的关系是互为倒数．思考：如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交AB,AC于点D,E。问题：<1>由"DE∥BC"的条件可得到哪些线段的比相等?<2>根据以前学习的知识如何把DE移到BC上去?<作辅助线EF∥AB>你能证明AE：AC=DE：BC吗?<3>写出△ABC∽△ADE的证明过程。归纳总结：判定三角形相似的<预备>定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所成的三角形与原来三角形相似。例1如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4c分析：由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,再由相似三角形的性质,有,又由AD=EC可求出AD的长,再根据求出DE的长．[巩固练习]1．下列各组三角形一定相似的是<>A．两个直角三角形B．两个钝角三角形C．两个等腰三角形D．两个等边三角形2．如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有<>A．1对B．2对C．3对D．4对3、如图,AB∥EF∥CD,图中共有对相似三角形,写出来并说明理由。4．如图,在ABCD中,EF∥AB,DE：EA=2：3,EF=4,求CD的长．[能力提升]1．如图,DE∥BC,<1>如果AD=2,DB=3,求DE：BC的值；<2>如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长．2、如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且落在离网5米的位置上,求球拍击球的高度h．<设网球是直线运动>相似三角形一、选择题1．如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若AD＝1,DB＝2,则的值为<>A． B． C． D．2．如图所示,△ABC中DE∥BC,若AD∶DB＝1∶2,则下列结论中正确的是<>A． B．C． D．3．如图所示,在△ABC中∠BAC＝90°,D是BC中点,AE⊥AD交CB延长线于E点,则下列结论正确的是<>A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC4．如图所示,在△ABC中D为AC边上一点,若∠DBC＝∠A,,AC＝3,则CD长为<>A．1 B． C．2 D．5．若P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点,过点P作直线截△ABC,截得的三角形与原△ABC相似,满足这样条件的直线共有<>A．1条 B．2条 C．3条 D．4条6．如图所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是<>A． B．C． D．8．如图所示,△ABC中,AD⊥BC于D,对于下列中的每一个条件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有<>A．3个 B．2个 C．1个 D．0个二、填空题9．如图9所示,身高1.6m的小华站在距路灯杆5m的C点处,测得她在灯光下的影长CD为2.5m,则路灯的高度AB为______．10．如图所示,△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD边上一点,且,射线CF交AB于E点,则等于______．11．如图所示,△ABC中,DE∥BC,AE∶EB＝2∶3,若△AED的面积是4m2则四边形DEBC的面积为______．12．若两个相似多边形的对应边的比是5∶4,则这两个多边形的周长比是______．三、解答题13．已知,如图,△ABC中,AB＝2,BC＝4,D为BC边上一点,BD＝1．<1>求证：△ABD∽△CBA；<2>作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长．15．如图所示,在由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC,试在这个网格上画一个与△ABC相似,且面积最大的△A1B1C1<A1,B1,C1三点都在格点上>18．已知：如图,△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC＝1,点D是BC边上的一个动点<不与B,C点重合>,∠ADE＝45°．<1>求证：△ABD∽△DCE；<2>设BD＝x,AE＝y,求y关于x的函数关系式；<3>当△ADE是等腰三角形时,求AE的长．19．已知：如图,△ABC中,AB＝4,D是AB边上的一个动点,DE∥BC,连结DC,设△ABC的面积为S,△DCE的面积为S′．<1>当D为AB边的中点时,求S′∶S的值；<2>若设试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围．5．相似三角形判定定理的证明6．黄金分割4．2黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果AC:AB=BC:AC,那么称线段AB被点C黄金分割．点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比．2．．二、基础过关1．若点P是AB的黄金分割点,则线段AP、PB、AB满足关系式．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________<精确到0．001>．3．电视节目主持人在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体,若舞台AB长为20m,试计算主持人应走到离A点至少m处?如果他向B点再走m,也处在比较得体的位置．<结果精确到0．1m>三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d是线段a,b,c的第四比例项,则有；②如果点C是线段AB的中点,那么AC是AB、BC的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,且AB=2,则AC=－1．其中正确的判断有<>A．