2022-2023学年广东省茂名五校联盟高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省茂名五校联盟高一(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知复数Z满足Z(l+i3)=3i23+4l∙24,则Z的共扼复数2在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A=[tan,cosɪ,sinpsinB={y∖y=sinx}f则力∩B=()

ʌ-{)-亨,⅞⅛B.Lmς⅛

c∙E⅛D.{一ς⅛

3.已知α∈(*3τr),α=2S讥",b=∕og2sinα,c=si∏3α,则()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

4.在平行四边形/BCO中，加r=g就,而=|反,M是线段E尸的中点，则RW=()

ɔO

A.⅛+⅛B.⅛+⅛C.⅛AB+∣ΛDD.AB+1AD

CΛɔLΛɔJL4>ɔɪ‰∣ɔ

5.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202—1261)提出“三斜求积”求三角形面积的公式以

小斜塞并大斜基减中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜累减上,余四约之，为实.一为

从隅开方得积.如果把以上这段文字写成公式，就是：S=J,匹_(£!±^!)2内/BC中,

已知角4、B、C所对边长分别为α,b,c,其中α为棱长为，？的正方体的体对角线的长度，b为

复数3+4i的模，C为向量(一4,2H)的模，则AABC的面积为()

A.2>∏B.y∏AC.2>∏AD.3^ΛI4

6.把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底

面和侧面相切，则该球称为圆柱的内切球；如果一个圆柱的上、下底面圆上的点均在同一个

球上，则该球称为圆柱的外接球.若一个圆柱的表面积为S「内切球的表面积为S2,外接球的

表面积为S3,则Si：S2:S3为()

A.1：2：2B,1：1：1C.3：2：4D,2：3：3

7.为了提高学生锻炼身体的积极性，某班以组为单位组织学生进行了花样跳绳比赛，每组6

人，现抽取了两组数据，其中甲组数据的平均数为8,方差为4,乙组数据满足如下条件时，

若将这两组数据混合成一组，则关于新的一组数据说法错误的是()

A.若乙组数据的平均数为8,则新的一组数据的平均数一定为8

B.若乙组数据的方差为4,则新的一组数据的方差一定为4

C.若乙组数据的平均数为8,方差为4,则新的一组数据的方差一定为4

D.若乙组数据的平均数为4,方差为8,则新的一组数据的方差一定为10

8.巴普士（约公元3〜4世纪），古希腊亚历山大学派著名几何学家.

生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有微学汇编

»保存下来,微学汇编》一共8卷，在徽学汇编》第3卷中记载

着这样一个定理：“如果在同一平面内的一个闭合图形的内部与一

条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋

转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，l∕=S（U表示

平面闭合图形绕旋转轴旋转所得几何体的体积，S表示闭合图形的面积，1表示重心绕旋转轴

旋转一周的周长）,已知在四边形ABCD中，CE1AD^^E,AB//CE,AE=DE=3,2AB=

CE=4,利用上述定理可求得四边形ABCD的重心G到点4的距离为（）

A√^T13BV2257CV2005DV2457

'9"-5-"15'-15-

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.我国经济结构处于转型升级阶段，当前的汽车保有量仍处于较低水平，未来增量市场发

展空间依旧广阔.根据公安部数据统计，截至2022年末，我国汽车保有量达到3.19亿辆.因此,

无论是从增量维度还是存量维度，我国消费者需求足以推动着市场继续发展.如图为2015-

2022年全国汽车保有量及增长率情况，则（）

2015-202舜全国汽车保有量基增长率

3.50

3Z.oo—12.(X)%

5o(—10.00%

2L.—8.00%

L50—6.00%

()o—4.00%

o.s(o—2.00%

20152016201720182019202020212022000%

汽车保有量(亿量)一增长率

A.2015-2022年全国汽车保有量的极差大于一亿辆

B.2016-2022年全国汽车保有量的中位数大于2.5亿辆

C.2016-2022年全国汽车保有量的增长率平均值低于7.00%

D.2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，一定能说明每年买汽车的人越来越少

10.下列命题为真命题的是（）

A.△4BC的三个内角4B,C所对应的边分别是α,b,c,若SinG4+B)>s)4则c>α

B.若角4B,C是锐角△4BC的三个内角，则tan(A+2B+C)=tan(4+C)

C.若昂函数f(x)的图象过点4(16,2),则/(χ)=χ*

D.若X>2,则X+上的最小值为2

x-2

11.已知。为坐标原点，点PI(CoSG+α),sin(]+α)),P2(COS(Tr-S),Sin(Tr-G)),P3(c0s(α+

0),sin(α+S)),Z^.(cos(α-j?),sin(a-/?)),则()

A.I西I=|两IB.西•西=COS2a

C.若OP；〃。P3,贝IJCoSS=OD.若OP21OP4-贝Ijcosa=0

12.在正方体ABCD-Ai当ClDl中，点G、E分别是棱BBl的中点，点F是棱BC上的动

点,则()

A.直线。IG与直线CE交于一点

B.点F满足掘=J近时，异面直线4G与EF所成的角的余弦值为"善

365

5

C.点F满足前^时，BC1IFffiDEF

D.当点F满足前=:^时，直线GF与平面&&C。所成角的正弦值为写

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某染发剂生产厂家生产了一种新型植物染发剂，现在有35000名女性，21000名男性用

了此染发剂,销售科为了了解使用过的顾客对此染发剂的评价，决定按性别比例抽取80名顾客

做调查，则应抽取女性名.

(log(x+IYx>1

14.已知函数f(无)=∣23si∏22X<1，若复数Z=(机-2)+2τni是纯虚数，则/'(/(m))=

15.如图，有一底面边长为6m,高为6m的正六棱柱形粮仓，侧面

CDDlcl的中心点为P,此时一只蚂蚁正在4处，它要沿棱柱侧面到达P

所经过的最短路程是m.

AB

16.已知优若均是单位向量，若不等式∣W+3|≤2∣R+t即对任意实数t都成立，则日与E的夹

角的最小值是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量五,B满足a—2ð=(4,—6),2a+b=(3,8)∙

(1)求Sin位,b);

(2)若苍〃2Q≠0),求|方+〃的最小值.

18.(本小题12.0分)

如图，底面边长为6的正三棱锥S-力BC的表面积为36+9q，点E，F,G分别满足加f=

IBC,AG=AS,BF=^BS,平面EFG交AC于点M.

(1)判断点M的位置，并证明；

(2)求三棱锥E-BGM的体积.

19.(本小题12.0分)

在①分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3,已知51+53-52=?<1，;

@(AC+CB)-CB=∖⅛4BC;③bsinC+csin(~+B)=O

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.

在内角4,B,C的对边分别为α,b,c,且满足.

(1)求角B；

2

(2)己知α=4,当已取最小值时，求AABC内切圆的半径.

C

20.(本小题12.0分)

深州蜜桃，又称“贡桃”，是河北省深州市的特产，中国国家地理标志产品，因其个头硕大，

果型秀美，色泽鲜艳，皮薄肉细，汁甜如蜜，深受老百姓的喜欢.深州市某蜜桃种植村从该村

某种植户的蜜桃树上随机摘下了200个蜜桃进行测重，测得其质量（单位：克）均分布在区间

［100,700］内，并绘制了如图所示的频率分布直方图，利用样本估计总体的思想，同一组中的

数据用该组区间中点值作代表.

（1）求出直方图中α的值,估计该种植户所种植的蜜桃的质量的平均数和第75百分位数（第75百

分位数精确到0.01）；

（2）己知该种植户的蜜桃树上大约还有IoOOO个蜜桃待出售，现有甲、乙两个收购商要与该种

植户签订合同：

甲收购商：所有蜜桃均以40元/千克收购；

乙收购商：质量低于200克的蜜桃不收购,质量落在区间［200,300）内的以8元/个的价格收购，

质量落在区间［300,400）内的以14元/个的价格收购，质量落在区间［400,500）内的以24元/个

的价格收购，质量落在区间［500,600）内的以36元/个的价格收购，质量高于或等于600克的以

50元/个的价格收购.请你通过计算，帮助该种植户确定应与哪个收购商签订合同.

21.（本小题12.0分）

如图，在边长为8的正方形4BCD中，点E、F分别是4B、Be上的点，BE=BF=2,将A4ED,

△DCF分别沿DE,DF折起，使点4C重合于点M.

（1）求证：平面MEFI平面MBD；

（2）求二面角B-DF-M的正弦值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/"(久)=2[sin(ωx+看)一√~3cos(ωx+∣)]cos(ωx+弓)+√^3>当f(/)≤f(x)≤

∕0⅛)时，Xl-X2的最小值为宗

(1)求函数f(x)的对称轴；

(2)当3>0时，将函数的f(x)图象向右平移着个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(%)的

图象，若存在αe∣-l,l],使不等式g(x)+3≥G)ɑτ+lg(2/c-l)对xe[-£,扪恒成立，求

实数k的取值范围.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：户=-i,»23=(产)5,i3=T,f24=@4)6=匕

Vz(l+i3)=3i23+4i24,

∙∙∙z(lT)=4-3i,即Z=壮=舄鬻="孔

ʌzɪɪ-ɪi,W在复平面内对应的点弓,一手位于第四象限.

故选：D.

根据已知条件，先对Z化简，再结合共辗复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：集合4={tan],cos*Si吟SinJB={y∣y=s讥%},则

由题意得4={C,—乎,浮[},

β={y∣-1≤y≤1},

.∙.½∩B={--,—

故选：B.

求出集合力，B,利用交集定义能求出结果.

本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：•考<α<3τr,

0<sina<1，

sιna3

・•・a=2>l,b=Iog2Sina<0,0<c=sinα<1,

故Q>c>b.

故选：A.

根据已知求得0<s)ɑvl,进而即可求解结论.

本题主要考查函数性质的应用，考查计算能力，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为而=U配,为J=W反，M是线段EF的中点,

ɔO

所以宿=T荏+2万

=i(ΛB+BE)+∣(ΛD+DF)

=∣½F+∣×∣^+∣ΛD+i×∣^

=^Λβ+∣ΛD.

故选：D.

根据E,F两点的位置，结合平行四边形对边所在向量相等，由向量线性运算规则即可求解.

本题考查平面向量线性运算，属基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题意可得α=√-3∙V-3=3,b=√32+42=5>C=J(-4)2+(2ΛΛ^5)2=6,

所以。2。2=9X36=182,伫/)2=隹苫-至)2=102,

所以S=J^(182-102)=2√-14∙

故选：C.

由题意可得a,b,C边的大小，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积.

本题考查三角形面积的公式的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：设圆柱的母线长为2,内切球的半径为r,外接球的半径为R,

则其轴截面如图所示，W∣J∕=2r,R=yΓ2r,

22222

所以SI=2πrl+2πr=6πr,S2=4πr,S3=4πR=8πr,

所以S"S2:S3=3：2：4.

故选：C.

设圆柱的母线长为Z,内切球的半径为r,外接球的半径为R,根据其轴截面，得到1=2r,R=Cr,

代入圆柱和球的表面积公式即可求解.

本题考查了圆柱和球的表面积计算，属于中档题.

7.【答案】B

【解析】解：不妨设甲组数据的平均数为五，方差为SK

乙组数据的平均数为焉，方差为登，

混合后的新数据的平均数为3方差为S2,

已知-8-sɪ=4,

对于选项A：若乙组数据的平均数为8,

则新的一组数据平均数I=喀岁胆=8,故选项A正确;

o+o

对于选项&若乙组数据的方差为4,

因为不能确定乙组数据的平均数，

22

所以s2=ɪ[Si+(Xi-X)]+ɪ[s^+(X2-%)]

22

=i[4+(8-i)]+i[4+(x2-i)],

此时无法确定新的一组数据方差，故选项B错误；

对于选项C,若乙组数据的平均数为8,方差为4,

可得%2=8,s/=4,

此时I=与等=8,

o+υ

22

则s2=ʌ[sf+(X1-X)]+ʌ[sf+(X2-X)]

=ɪ×(4÷02)+ɪ×(4÷02)=4,故选项C正确；

对于选项。：若乙组数据的平均数为4,方差为8,

可得%2=4，S2—8,

此时％=777X8+7^τX4=6,

6+66+6

22

则S?=ʌ[sf+(X1-X)]+ʌ[S2+(⅞-ɪ)]

=∣×(4+4)+∣×(8+4)=10,故选项。正确.

故选：B.

由题意，根据平方数和方差的计算公式，对选项进行逐一分析，进而即可求解.

本题考查平均数和方差，考查了运算能力.

8.【答案】C

【解析】解：四边形4BCD绕AB旋转一周所得几何体的体积：

1_________1

Vi=-×4×(9ττ+36τr+√9π×36ττ)--×2×9τr=78τr,

设重心G到48的距离为由，则W×3×(2+4)+∣×3×4]×27rdl=78兀，

解得心=得=募

直角梯形绕4。旋转一周所得几何体的体积：

l<2=ɪ×3×(4π+16π+√4π×16π)+ɪ×3×16π=44π,

设重心G到4。的距离为d2,

则修X3X(2+4)+gX3X4]X2πd2=44τr,

解得四=||.

∙∙∙MG∣=J(守+(Q=爷.

故选：C.

考虑先计算重心G到4B的距离和重心G到4。的距离，再用勾股定理可得.

本题考查简单几何体的体积计算以及立体几何中的距离问题，考查运算求解能力，属于中档题.

9.【答案】AB

【解析】解：2015—2022年全国汽车保有量最多的为2022年，超过3亿辆，最少的为2015年，大

约1.7亿辆，

极差大于一亿辆，故选项A正确；

因为2016—2022年全国汽车保有量的中位数为2019年的汽车保有量，大于2.5亿辆，故选项8正

确；

易知2016-2022年全国汽车保有量的增长率前三个数据大于10.00%,

两个大于或等于8.00%,一个在(7.00%,8.00%),一个在(5.00%,6.00%),

则平均数大于7.00%,故选项C错误；

虽然2016-2022年全国汽车保有量的增长率逐年降低，

但是汽车保有量是逐年增加的，且每年报废一部分的汽车，

所以不一定能说明每年买汽车的人越来越少，故选项。错误.

故选；AB.

由题意，根据表中数据，对选项进行逐一分析，进而即可求解.

本题考查百分位数的应用，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于4因为4+B+C=ττ,

所以SineA+B)=sin(π-C)=SinC,

所以Sin(A+B)>sinA,即为SinC>sin4,根据正弦定理得c>α,故4正确：

对于B,tan(√l+2B+C)=tan(π+β)=tanB,tan(Λ+C)=tan(π-B)=—tanB,故B错误;

对于C，设f(x)=%0,若塞函数/Q)的图象过点4(16,2),

则2=16%解得α=[,所以/⑶=/，故C正确；

对于。，X4——Z=X—2H——T+2》2I(X—2)■——τ+2=4，

X-ZX-27x-2

当且仅当X-2=工时，即攵=3时等号成立，故。错误.

x-2

故选：AC.

利用诱导公式及正弦定理即可判断4利用诱导公式即可判断&由幕函数的性质即可判断C；由

基本不等式即可判断D.

本题主要考查诱导公式、正弦定理，基函数，基本不等式，考查命题真假的判断，属于中档题.

11.【答案】ACD

【解析】解：∙∙∙P1(-sina,cosa),P2(.-cosβ,sinβ'),P3(cos(α+β),sin(a+/?)),P4(cos(a-

β),sin(a-β)),

■■OP1=(-sinalcosa)>OP2=(-cosβ,sinβ~)>OP3=(cos(α+/J),sin(α+/?)),OP：=(CoS(α-

β),sin(a-β)),

对于因为2222所以,,

4IOPII=√cosα+sinα=1，∣OP2∖=Λ/COS^?+(-sinβ)=1>IOPIl=∣0∕2∣

故A正确；

对于B,因为OP；∙OP；=cos(α+S)COS(α—β)+sɪn(ɑ+0)sin(α—0)=cos[(a+S)-(α-

β)]=cos2β,故B错误;

对于C,若OP；〃0P；,则—sinasin(a+0)=c。SaCOS(a+夕)，

即CoSaCOS(a+S)+sinasin(a+0)=0,所以COS[a—(a+0)]=COSS=0,故C正确；

若OP；JLOP%,则-COS0cos(a-β~)+sinβsin(a-0)=0,所以-COS[0+(a—£)]=O,BPcosa=0,

故O正确.

故选：ACD.

由平面向量的坐标运算及三角恒等变换知识逐一判断各选项即可.

本题考查平面向量的坐标运算和三角恒等变换，属于中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：对于4如图所示:

连接DlCGE,A1B,

由于点G,E分别是棱4当,BBl的中点,故GE//4B,

在正方体中，AlB∕∕DlC,故GE//%。，且GE=；DIC,

故四边形OlGEC为梯形，故直线DlG与直线CE交于一点，故A正确;

对于8,取棱AB的中点M,连接则BlM〃/1G,B1M=AG,

又取MB的中点N,连接EN,FN,则EN〃&M,EN=

所以4NEF（或补角）为异面直线/G与EF所成的角，

设正方体的棱长为6,

则EN=√BE2+BN2=浮,NF=√BN2+BF2=∣,EF=√BE2+BF2=>Λl3.

由余弦定理得CoSNNEF=察，故B正确；

65

对于C,连接B1C,A1E,A1D,则E∕7"1C,EF=；B1C,

又A∖D"B[C,所以A”〃EF,故平面DEF与平面&DFE为同一个平面,

•••B1C1.BC1,BC11CD,CD∩B1C=C,

BC1，平面AlBICC,

若BCl_L平面4DFE,则平面4BICD〃平面&DFE,

这与平面&DFECl平面为BICD=&D矛盾，故C错误；

设正方体的棱长为6,

贝IJBG=6√^7,故点B到平面&8停。的距离为TBCI=3√^2,

所以点F到平面4BιCD的距离为2，7,

取ZB的中点Q,连接GQ,GF,QF,

则GQJ■平面4BCD,所以GF=√6?+22+32=7,

所以直线GF与&B1C0所成的角的正弦值为手，故O正确.

故选：ABD.

对于4,根据条件推得四边形DlGEC为梯形，即可说明A正确；

对于B,取棱4B的中点M,连结BM,取MB的中点N,连接EN,FN,根据异面直线所成的角的定

义推得ZNEF（或补角）为异面直线4G与E尸所成的角，设出正方体的棱长，利用余弦定理求出

COSNNEF的值，即可判断B；

对于C，连接C,A1E,A-lD,易得平面DEF与平面FE为同一个平面，再由垂直于同一直线

的两个平面平行判断；

对于D,结合BClI平面A&CD,取AB的中点Q,连接GQ,GF,QF,易得NGFQ为所求的角判断.

本题考查直线与平面的位置关系以及空间角的计算，属于中档题.

13.【答案】50

35000

【解析】解：

80×35000+21000=50,

所以应抽取女性为50名.

故答案为：50.

根据分层抽样的定义求解.

本题主要考查了分层抽样的定义，属于基础题.

14.【答案】1一号

【解析】解：复数Z=(Jn-2)+2Jni是纯虚数,

则爆窝°，解得m=2,

(log(χ+1),%>1

32

/(%)一∖2sin^-fx≤1，

I8x

则/⑺=/(2)=bg3(2+1)=1，

故/Cf(m))=/(1)=2sin21=1—cos=1——•

故答案为：1一分.

根据已知条件，结合纯虚数的定义，先求出山，再结合分段函数f(χ),即可求解.

本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题.

15.【答案】3726

【解析】解：根据题意，正六棱柱则侧面展开图如图：

其中AB=BC=CD=DE=EF=FA=6cm,AA'=BB'=CC'=

DD'=EE1=FF'=6cm,

过点P作PMlCD,交CD与点

易得M为CD的中点，则PM=3cτn,AM=6+6+3=15cm,

则PM=√225+9=√^T34=3√^26.

即沿棱柱侧面到达P所经过的最短路程是3√^∙

故答案为：3V26.

根据题意，作出该正六棱柱则侧面展开图，过点P作PMlCD,交CD与点、M,分析易得PM和4M的

长，利用勾股定理计算可得答案.

本题考查棱柱的几何结构，涉及几何体表面的最短路径问题，属于基础题.

16.【答案】I

【解析】解：设4与E的夹角为。，将不等式左右两边进行平方，化简得(l-4t)cos0≤2t2+i,

当不等式显然成立，

当则皿。≥(2户+I)÷(1_4t)=，富TX6yτ+9="Ki_4t)+

--2]

l-4f」

1Q

=--×[(4t-l)+-+2],

ɪX[(4t-l)+⅛+2]≥j×(2C+2)=1,当且仅当t=1时等号成立，

所以(212+1)+(1—4t)≤一1,cosθ≥(2t2+1)÷(1—4t)显然成立，

1

当t<2-

4-则cos。≤(2t+1)÷(1—4t)=ɪ[(1—4t)÷一轨一2]≤ɪ×(2√9-2)=ɪ,

当且仅当t=-；时等号成立，所以cos9最大取值为1即J最小可以为不

ΔΔɔ

故答案为：≡

将不等式左右两边进行平方,得出关于d与前勺夹角余弦值的不等式,而后根据t的值进行讨论即可.

本题主要考查向量的数量积，对t进行分类讨论并对不等式进行分离是解决本题的关键，属中档题.

17.【答案】解：(1)向量乙b满足五一2b=(4,—6),21+b=(3,8),

解得d=(2,2),ft=(-1,4),

,T7*、Mb-2+8_3£34

Ma，人而旷2>Γ2×yΓT7~34

E>=∣I-COS2<α,6>=Jl-⅛=

则Sin<α,y

(2)⅛α∕∕c(c≠0),可设下=(2t,2t),t≠0,

则IB+小=√(2t-l)2+(2t+4)2=√8t2+12t+17=J8(t+1)2+卷

当t=_,时,为+J取得最小值,且为蜉.

【解析】(1)由向量的加减运算求得4b，再由向量的夹角公式和同角公式，可得所求值;

(2)可设口=(2t,2t),t#0,由向量的加法运算和模的公式、二次函数的最值求法可得所求最小值.

本题考查向量的数量积的性质和运算，以及二次函数的最值求法，考查转化思想和运算能力，属

于中档题.

18.【答案】解：(I)RW=:近；证明如下：

■■■AGAS,BF=^BS,■.GF//AB,

X∙.∙ABU平面ABC,GFC平面ABC,

.∙.GF〃平面ABC,

又∙.∙GFU平面EFGM,平面EFGMn平面ABC=ME,

：.GFllME,：.MEIlAB,

∙.∙BF=∣SC,.-.AM=^AC.

(2)取BC的中点H,连结SH,AH,

3

B

则SH1BC,

令SH=a,此三棱锥的表面积为?×36+3×i×6×α=36+9√3,得a=4,

因为三棱锥S-ABC为正三棱锥，

所以S在底面的投影为AABC的中心。，连接SO,

所以OH=WX?X6=<3，

所以S。=√SH2-OH2=√13,

所以二棱锥E—BGM的体枳IZE_BGM=VG-BEM=WVS-BEM=VXgX'以XSABEM=×ξ×

∆ABC-ɪʒ'

【解析】（1）根据已知条件证明GF〃平面4BC,进而根据线面平行的性质可知ME〃4B,结合已知

条件可判断M的位置；

（2）取BC的中点H,连结SH,AH,根据条件和正棱锥的特征和锥体体积公式计算即可.

本题考查了线面平行的性质的应用以及三棱锥体积的计算问题，属于中档题.

2o2

19.【答案】解：（1）选①依题意SI="2s讥60。=Fa2,s2=^bsin60=^∙b<S3=

L4L4

12∙Z-Λ2

-CSl∏600——CZ»

则Si+S3—S2=?ac=?a2+?c2-?b2,

即QC=a2÷c2—62,

由余弦定理CoSB=a2+c2~fc2=L

2ac2

因为Be（O,兀），所以B=亲

选②：由题意（近+而）・丽=平S&A8C，

得布•0=亨SMBC，即瓦？•比=*SMBC，

crpi2√-31.>Γ~3acsinB

macacosBri=-y-×-acsιnBo=-----------，

所以SnB=ɪʒ=√-3,

因为B∈(O,ττ),所以3=亲

选③bsinC+CSiTI谭+B)=0,

由正弦定理得si?IBSinC+sinCsin(^-+B)=0,

因为SmC≠0,

所以SinB+sin(ɪ+8)=0,

化简得;SiTlB—cosB=0,即tcmB=V^3,

因为B∈(O,ττ),

所以8=余

(2)因为Q=4,8=/，所以Z?2=α2+c2-2accosB=16+C2—4c,

所以"2=c+,—4≥2JCT一4=6,当且仅当C=,，即c=5时等号成立，此时X=16+

c2-4c=21,

所以b=ʌ/21,

则SNBC=IacsinB=^ac×ɪ=5√-3,

设△ABC内切圆的半径为，贝IJSUBC=?(α+b+c)r,

所以厂=2S&ABC=3≤2Ξ≤Z,

α+b+c2

所以△4BC内切圆的半径为

【解析】(1)①由已知结合三角形面积公式进行化简可得α,b,C的关系，然后结合余弦定理可求

cosB,进而可求B；

②结合向量数量积的定义及三角形面积公式进行化简可求tα∏B,进而可求B；

③由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tanB,进而可求B；

(2)由已知结合余弦定理及基本不等式可求b,c然后结合三角形面积公式及三角形内切圆半径公式

可求.

本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式及和差角公式的应用，属于中档题.

20.【答案】解：(I)已知Ioo(0.0005+0.0025+0.004+a+0.001+0.0005)=1,

解得α=0.0015,

易知蜜桃质量在区间[100,200)的频率为IooX0.0005=0.05,

同理得蜜桃质量在区间[200,300),[300,400),[400,500),[500,600),[600,700]的频率依次为0.25,

0.4,0.15,0.1,0.05,

则平均数工=150X0.05+250X0.25+350×0.4+450X0.15+550X0.1+650X0.05=365,

因为0.05+0.25+0.4=0.7<0.75,0.05+0.25+0.4+0.15=0.85>0.75,

所以第75百分位数在第4组，

不妨设第75百分位数为支，

则0.05+0.25+0.4+0.0015(x-400)=0.75,

解得X=400+衅=433.33；

(2)若按甲收购商的方案收购，由(1)知每个蜜桃的平均质量为365克，

所以这IOooO个蜜桃大约重0.365X10000=3650千克，

则总收益为40X3650=146000(元)，

若按乙收购商的方案收购，

此时收购的蜜桃个数依次为500,2500,4000,1500,1000,500,

则总收益为2500×8+4000×14+1500×24+1000×36+500×50=173000(元)，

因为173000>146000,

所以应与乙收购商签订合同.

【解析】(1)由题意，根据频率之和为1,列出等式即可求出ɑ的值，依次求出蜜桃质量在各区间的

频率，列出等式即可求出平均数，利用百分位数的定义，列出等式求解即可；

(2)结合频率分布直方图所给信息，分别求出甲收购商和乙收购商的总收益，进行比较后即可得到

答案.

本题考查频率分布直方图的应用，考查了逻辑推理和运算能力.

21.【答案】（1）证明：∙∙∙MDJ.MF,MD1ME,MFCtME=M,MF,MEU平面MEF,

.∙.MDJ■平面MEF,又MDu平面MBD,二平面MEFj•平面MBD.

(2)解：设BD与EF交于点0,连接M。，在平面MDB内作MNd.BD于点N,

在平面MDF内作MGIDF于点G,连结NG,

•••BE=BF=2,EFLBD,∙∙∙M。_1_面MEF,EFU平面MEF,二MC1EF,

VMD,BDU平面MBO,MDnBD=D,.∙.EF，平面MBD,

TMNU平面MBD,.∙.EF1MN,"EFdBD=O,EF,BDU平面DEF,

.∙.MNrTlfDEF,又∙.∙DFu平面DEF,.∙.MN1DF,

又∙.∙OF1MG,