2022-2023学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数Z满足z（l+i）=2i,贝IJZ等于（）

A.1+iB.-1+iC・1—iD.-1+i

2.若向量正方满足Inl=I,IBI=「，α∙K=1«则五与方的夹角为（）

AjB谓C.⅜D.⅞

3.A48C的内角4B,C的对边分别为α,b,c,若α=2,c=，7,CoSB=C,则b=（）

4

A.√-3B.2C.2∖∏D.4

4.袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取

出的2个球都是红球的概率为（）

ʌ-⅛b∙Ic∙⅛d∙I

5.在长方体力BCD-&BIGDl中，AB=AD=2y∏>AA1=2,则异面直线ADl与4G所成

角的余弦值为（）

A.CB.虫C.小D.小

4444

6.图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接

而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6,中间圆的直径是10,上底面圆的直径是

4,上下底面圆的距离是5,且上、下两圆台的高之比是2：3,若不考虑罐壁的厚度，则该汝

窑双耳罐的容积为（）

R-4→l

图1M2

A.69τrB.72πC.75πD.78τr

7.已知胡，OB,0?均为单位向量，OA+2OB+2OC=0.则瓦5.就的值为（）

35C7D

Æ---

888158

8∙在△4BC中'80平分〃%且BZmC于°，若BD=1，剑视/则啥+蒙

的最小值为()

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件4="第一枚出现点数为奇数”，事件B="第二

枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是()

11

A.P(A)=ɪB.P(AB)J

C.事件4与B互斥D.事件4与B相互独立

10.下列说法中正确的是()

A.若复数Z=l-2i,则复数Z在复平面内所对应的点在第四象限

B.若两个复数的积是实数，则它们一定互为共朝复数

C.若向量a=(x,3),B=(2,-1)的夹角为锐角，则实数X的取值范围为(|,+8)

D.若曰i=X而+y玩j(x,y6R),且X+y=1,则4,B,C三点共线

11.在直三棱柱4BC-&B1C1中，点。是BBl的中点,441=AB=4,

AC=2,Z.BAC=60°,点P为侧面441CIC(含边界)上一点，BP〃平

面ADC],则下列结论正确的是()

A.BC1ACl

B.点4到平面AG。的距离是一石

C.直线BC与平面AC】。所成角的正弦值是[

D.线段BP长的最小值是学

12.在AZBC中，AB=y∏,BC=2,AC=CU,BM=MC,^BN=2^NC,则（）

A.线段4N的长度为年

B.AN-BC=^-

TT

C.乙AMB+∆ACB=W

D.存在点P在线段AB的延长线上，使得乙CPM的最大值为T

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部

分学生进行调查分析.已知该学校高一学生中男生和女生的比例是4：3,在抽取的学生中男生

比女生多24人，则被抽取的学生人数是.

14.己知向量五=(2,3),b=(-1,2)，贝嗫在石方向上的投影向量的坐标为.

15.一个人骑自行车由4地出发向东骑行了6kτn到达B地，由B地向南东30。方向骑行了6km

到达C地，从C地向北偏东60。骑行了2√^^knι到达。地，则4,D两地的距离是km.

16.在矩形力BCD中，AB=1,BC=2,点E,F分别为BC,AD的中点，点〃为ZE的中点，

将AABE沿直线AE翻折至AABiE的位置，当4B∕F=45。时，三棱锥殳-AED的外接球的体

积是.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知向量E=(2,1),b-(1,2)>c=(3,5).

(I)若位+；IE)Ia求4的值；

(2)若Tn五+n另与F共线，求'的值.

18.(本小题12.0分)

锦绣潇湘•大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅

增长.当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将

问卷评分数据分成6组：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100],绘制如图

所示频率分布直方图.

(1)已知样本中分数在[80,85)的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分

位数；

(2)已知样本中男游客与女游客比例为3：2,男游客样本的平均值为90,方差为10,女游客

样本平均值为85,方差为12,由样本估计总体，求总体的方差.

参考公式:分层抽样中两组数据x,y的抽样比例是*则总样本方差S?=^⅛[⅛+(z-X)2]+

篇[S/+G-O],其中£为总样本平均数.

频率

组距

6

0..O

5

0..O

S

4

.O

数

100分

095

859

80

7075

12.0分)

本小题

19.(

点.

o的中

。为B

D,点

B=A

CD,A

平面B

BD_L

平面Z

O中，

-BC

棱锥A

，在三

如图

1BC

：AO

(1)证明

i

。，求

为30

的大小

C—D

-B

面角E

，且二

中点

为AD

，点E

角形

边三

4的等

边长为

OCD是

(2)若A

.

体积

OC的

4-B

三棱锥

分)

题12.0

(本小

20.

0.5,

分别为

的概率

名景点

3个著

皇山这

山、舜

、九疑

明山

览阳

，其游

旅游

州市

到永

游客

外地

一位

景点数

游览的

个景点

上述3

游客对

表示该

.设C

不影响

景点互

览哪个

是否游

该游客

0.6,且

0.5,

的差.

景点数

游览的

与没有

的值.

P(A)

4求

为事件

=Γ

“|C|

⑴记

.

B)的值

求P(

件B,

”为事

递增

单调

+8)上

间［1,

,在区

X+$

f(x)=

“函数

(2)记

明)

求证

不要

判断，

性只需

的单调

(函数

分)

题12.0

(本小

21.

点.

A的中

E是P

为2,

边长

C。的

形AB

，正方

4BC。

I平面

，PA

BCD中

P-A

四棱锥

，在

如图

；

BDE

〃平面

：PC

(1)求证

若不