2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省石家庄市高一下学期期中数学试题

一、单选题

1.己知复数Z=苧①，则下列说法正确的是（）

1-1

A.z的虚部为4iB.z的共轨复数为l-4i

C.∣z∣=5D.z在复平面内对应的点在第二象限

【答案】B

【分析】根据复数的乘法除法运算化筒，再由共规复数的概念求解.

5+3i(5+3i)(l+i)_2+8i

【详解】•/=l+4i

1-i(l-i)(l+i)ɪɪ

.∙∙z的虚部为4,Z的共轨复数为l-4i,IZl=J万，z在复平面内对应的点在第一象限.

故选：B

2.在AABC中,若IM=3,1ACI=4,NBAC=60。，则BASC=（）

A.6B.4C.-6D.-4

【答案】C

【分析】向量的点乘，BA-AC^∖B^-∖AC[cos<BA,AO

【详解】BA-AC=-AB∙AC=-∣AB∣∙∣AC∣cosZBAC=-3×4×∣=-6,½C.

【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，BA与AC

的夹角为/8AC的补角

3.为了得到函数y=sin（2x+?）的图象，只需要把函数y=sinx的图象上（）

A.各点的横坐标缩短到原来的;，再向左平移g个单位长度

B.各点的横坐标缩短到原来的;，再向左平移g个单位长度

C.各点的横坐标伸长到原来的T倍，再向左平移与个单位长度

π

D.各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移£个单位长度

6

【答案】B

【分析】利用函数图象平移、伸缩变换的法则依次判定各个选择支的变化之后的函数解析式是否符

合题目要求即可作出判定.

【详解】把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的得到函数y=sin2x的图象，

接下来若向左平移W个单位长度，得到函数y=sin2(x+?)=sin(2x+与)的图象；

若向左平移奈个单位长度，得到函数y=sin20+总=sin(2x+()的图象；

故A错误，B正确；

C中的伸长到原来的;本身说法矛盾，后面的平移参照A也是错误的，故C错误；

D中伸长到原来的2倍，得到函数y=sin］的图象，在无论怎样平移都得不到所要求的函数的图象,

故D错误.

故选：B

4.已知向量α=(6,-2),b=(l,m),⅛A±fe,则卜-2.=()

A.8B.4√5C.10D.8√2

【答案】B

【分析】由得α∙b=6-2〃2=0，从而得。-2b=(4,-8),再求模长即可.

【详解】向量。=(6,-2),b=(∖,m),且〃人

所以=6-2根=0，解得m=3,所以A=(1,3),a-2b=(4,-8),

所以k-2,=,2+(-8)2=4下,

故选：B.

5.tan70°∙cosl00(6tan20°-l)等于(备注：sin2a=2Sintzcosa)()

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】C

【分析】利用切化弦思想，利用两角和差的三角角函数公式和二倍角公式化简求值即可.

【详解】tan70o∙cos10°(√3tan20o-1)

sin70°"√3sin20o

∙coslO°∙

cos70o,cos20o

cos20o'ʌ/ɜsin20o-cos200'

•cos10o∙

Sin20。cos20o

—5—∙cos1Oo∙2sin20o×--cos20o×ɪ

sin20o22

•cos10°∙2(sin20o×cos30o-cos20o×sin30o)

sin20o

----------cosl00∙2sin(200-300)

sin20o

----------2cosl00∙sinl00

sin20o

----------sin20o=-l

sin20o

故选：C

6.已知向量ɑ,〃的夹角为。，且1利=4,|〃|=2,则向量。与向量〃+的夹角等于（）

5n1

A.-πB.一兀

62

C.一nD.-Ti

36

【答案】D

【分析】根据已知条件求得“必，再利用向量的夹角计算公式，即可求解.

【详解】向量α,b的夹角为3,且1&1=4,出|=2,故可得α∙A=同WCOSm=4,

则d∙(4+2⅛)=图+2a∙b=16+8=24,∣α+2ft∣=^∣d∣^+4∣⅛∣^+4αb—4y/3，

设向量。与向量〃+2方的夹角为6,故CoSe=：：：==当,又。目0,同，故e=[*

故选：D.

7.一ABC中，角A,B9。所对的边分别为α,b,cf若a:>:c=7:5:3,则下列结论不亚俄的是（）

A.sinA:sinB:sinC=7:5:3b∙AB-AC>O

C.若c=6,则一ABC的面积是15√JD.AfiC是钝角三角形

【答案】B

【分析】用正弦定理即可判断A；用余弦定理可以判断D,再结合平面向量数量积的定义可以判断

B；先用余弦定理确定A,再用三角形面积公式即可算出面积，进而判断D.

【详解】对A,由正弦定理可得正确；

对B,D,设4=7/1,/?=5/,。=3/«>（））,；.cosA=25f+%-4%=-15f<0,A为钝角，

2bcIbc

ABAC=∖AB∖∖AC∖cosA<0'B错误，D正确；

对C,；c=6,则α=14,6=10,cosA=—=-ɪ,sinA≈-,∙'.S10∙6∙-=15后.

Ibc12022λbc22

故选：B.

ABACABAC1

8.已知非零向量AB、AC满足+ι~~IBC=O,且G,C=K,则-MC的形状是（）

UAπBl∣AC∣JMlAq2

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰（非等边）三角形D.等边三角形

【答案】D

(\

AIiAfABAC1

【分析】由r÷+÷÷∙BC=O可得AB=AC,再由厨的可求出〃即得三角形形状.

UM∣ΛC∣J=5

ιιmπ

ABAC

【详解】因为第和园分别表示向量AB和向量AC方向上的单位向量,

由BC=O,可得/A的角平分线与BC垂直,

所以ABC为等腰三角形，且AB=AC,

ABAC1

2AB∙AC=2∣AB∣∙∣AC∣cosAJLG-Γ7∑f=3，

MlAq2

所以cos?Aɪ,又NAW(O,π),

所以NA=1,

所以NB=NC=NA=2，

3

所以三角形为等边三角形.

故选：D.

二、多选题

9.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z=m，以下说法正确的是（）

A.复数Z的虚部是*B.∣z∣=l

-24

C.复数Z的共施复数是Z=D.复数Z的共朝复数对应的点位于第四象限

【答案】AC

【分析】利用复数的除法运算求得复数的标准代数形式，然后根据虚部的定义、共挽虚数的定义、

复数的模的运算公式、复数的实部和虚部的正负判定各个选择支的正误.

【详解】z=C=Y%工=*2二+3,

什肝2+i(2+i)(2-i)4-i2555

复数Z的虚部为%|z"(Wj=¥，z=∣-^i,复数Z的共朝复数对应的点位于第一象

限，

故Ae正确，BD错误,

故选：AC.

10.已知函数/(x)=ASinWx+e)(A>0,<υ>0,0<e<ι)在一个周期内的图象如图所示，其中图象最

高点、最低点的横坐标分别为看、图象在y轴上的截距为G∙则下列结论正确的是()

A.的最小正周期为2万

B./(x)的最大值为2

STrτt

C./(X)在区间-泊,正上单调递增

D./卜+5)为偶函数

【答案】BC

【解析】由周期求。，由五点法作图求出夕的值，由特殊点的坐标求出A,再利用三角函数的图象

和性质，得出结论.

【详解】由图知，/(x)的最小正周期7=2(葛卡)=%，则0=2.

由2xV+g=g,得g=g.由〃0)=√5,得ASing=6，则A=2,所以〃x)=2sin(2x+9).

当XW^^77,⅞时，(2x+g)∈-K,则/(x)单调递增.

因为/"菅)=2Sin,卜+高+3=2sin[x+茨，则小+£|不是偶函数，

故选：BC.

【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，解题的关键是会根据图象求解析式.

II.如图，在四边形ABCD中，AB+AD=AC,∖AD∖=2∖AB∖=2,罚.筋=1，E为CO的中点，AE

与08相交于F,则下列说法一定正确的是（）

IILin1ULD2IlLnn

A.AF=-AB+-ADB.8尸在AB上的投影向量为0

C.4F.Λβ=1D.若α=[ZDE/，则tanα=3

23

【答案】ABC

【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.

【详解】解：因为在四边形ABC。中，AB+AD=AC,所以四边形AB8为平行四边形，

又IAOl=2∣AB∣=2,ABAO=1，所以N3AO=60。，

对于A：AE=AD+DE=AD+^AB,设AF=2AE=λ^AD+^AB^=ΛAD+^λAB,

因为3,Ez）三点共线，

12uun1Uun0nun

所以∕l+3X=l,解得丸=工，所以AF=QAB+QAD,故选项A正确；

乙ɔɔɔ

对于B：设BF,AB的夹角为。，因为AB=I,AD=2,BD=√3,

所以A£>2=A82+8£)2,所以8∕5J,AB,即0=90。,

所以8尸在46上的投影向量为|8尸ICoSeX------=Ox--------=0,故选项B正确;

IABlIABl

对于C：由题意，AF-AB=(^AB+^AD∖-AB=-AB2+-AB-AD=-+-×i×2×-=i,故选项

33332

C正确;

c:——;--——-----------I—A∙∙A8__J__√21

1

对于D：∖AF∖=^AB+-AD+-ABAD=-^-,则CoSzE4β=∣AF∣∣AB「叵一7

3

若tana=且，则α=30°,又因为a=FA8=30。，

322

所以N∕¾β=2α=6()o,不满足CoSNE48=立ɪ,故选项D不正确.

7

故选：ABC.

12.对于JWC,有如下命题，其中错误的是()

A.若sin?A+sin?B÷cos2C<l,则AABC为锐角三角形

B.若AB=6,AC=I,8=30。，则一ΛBC面积为&

C.P在一ABC所在平面内，若PA+尸8+PC=0,则P是，4?C的重心

D.若siι√A=sin2B,则ΛBC为等腰三角形

【答案】AB

【分析】利用平方关系将不等式条件转化为正弦的表达式，然后利用正弦定理角化边，再利用余弦

定理得到角C为钝角，从而判定A错误；利用正弦定理求得角C有两解，从而得到角A也有两解，

进而利用三角形面积公式求得面积有两个不同的值，从而判定B错误；利用三角形重心的向量公式

可判定C正确；利用正弦定理角化边可得到D正确，从而确定错误的选项为AB.

【详解】若sin?A+sin?B+cos?C<1,sin2A+sin2β<l-cos2C,sin2A+sin2B<sin2C,a2+⅛2<c2,

a+bc2

cθsC='~~<0,故C为钝角，故A错误；

2ab

AB=g=c，AC=1=⅛,B=30o,oh,故C>B,

=^sin3°°=—,所以。或。，所以。或。，

sinc=C=60120A=9()30

b12

所以ABC面积为与CSinA=3sin90。=且或且sin30。=走，故B错误；

22224

设一ABC的重心为G,若P4+P8+PC=0,则PG=四空空=9=0,

33

所以，RG重合，故C正确；

若sin?A=sin",根据正弦定理角化边得到ɑ?=〃,从而。二儿二乙相。为等腰三角形，故D正确.

故选：AB

三、填空题

13.若A(T-2),3(4,8),C(5,x),且AB、C三点共线,则X=

【答案】10

【分析】先由A,B,C三点坐标，写出向量AB与AC的坐标，再由向量共线即可得出结果.

【详解】因为A(T2),5(4,8),C(5,x),所以48=(5,10),AC=(6,x+2),

又A、B、C三点共线，所以AB与AC共线，

因此5(x+2)-60=0,解得χ=l().

故答案为10

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理和坐标运算即可，属于基础题型.

14.在锐角AABC中，cosA=∣,AC=BΔA3C的面积为近，BC=.

【答案】2

【详解】分析：先可得出SinA=逑，再由面积公式：［AC∙BCsinA=否得出AB,再由/A的余

32

弦定理即可求出BC.

详解：由题得SinA=2贬,AC-ABsinA=∖∣3=>AB=^>cosA=ɪiɜ__BC=I=8C=2,故答

3263

案为2.

点睛：考查余弦定理、三角形的面积公式的应用，对公式的灵活运用和审题仔细是解题关键.

15.若函数"x）=2sin2χ-2√Jsinxsin卜图能使得不等式“χ）<“在区间„上恒成立，则

实数m的取值范围是.

【答案】（3,E）

【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析表达式，然后根据已知范围，利用不等式的基本性质和

三角函数的性质求得函数在给定区间上的最大值，进而根据不等式恒成立的意义得到实数〃?的取值

范围.

【详解】/（∙x）=2sin2Λ-2A∕3sinxsin=2sin2x+2›∕3sinxcosx

=1-cos2^+5/3sin2x=2sin2x--+1,

6,

当Xe吟.C冗πlπTrTr口π.

时，2x--∈--Λ,/(x)∈(0,3],⅛2.-7=—>即πx=∙7时r

623

/(x)=3,

"（X）在区间（。母

上的最大值为3,

所以使得不等式/（x）<加在区间［0,石J上恒成立，则实数m的取值范围是（3,e）.

故答案为：（3,÷w）

四、双空题

16.如图，平行四边形ABC。中NZMB=60°,AΓ>=3,AB=6,DE=EC,BF=；BC,设AB=”,

AD=b,用a，表示AE=，AEAF=•

E

DC

//--7F

AB

【答案】ga+b；苧

22

【分析】根据平面向量加法的几何意义和共线向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义

进行求解即可.

【详解】空一：因为DE=EC,

uinuu®UinnuuuιtɪuiɪUuln∣uιnιrr

所以AE=43+OE=A。+-。C=Ar）+—43=—。+。；

222

空二：因为BF=；BC,

所以AF=A8+Bf=A8+28C=AB+1AO=a+1b,

333

1111112

因此AE∙A/。）=—〃+-a∙b+a∙b+-b,

23263

因为NZMB=60。,AD=3,AB=6,所以,=忖=3,%目=忖=6,〈a,b〉=60。，

所以AE∙Ab='x36+Nχ6x3χL+,χ9=决，

26232

163

故答案为：~a+tf>;—

22

五、解答题

17.在ΔA8C中,内角A,8,C所对的边分别为4,b,c,已知,"=（α,c-力）,"=（cosC,cosA）,且帆_L〃.

（1）求角A的大小；

⑵若。+c=5.AABC的面积为百,求AABC的周长

【答案】（l）g:（2）5+Λ∕ΓJ

【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、

诱导公式可化简得到CoSA,进而求得A；

（2）根据三角形面积公式构造方程求得历，利用余弦定理可求得。，进而得到所求周长.

【详解】（1）m±nm∙n=αcosC+（c-2∕j）cosA=O

由正弦定理得：sinACoSC+(SinC-2sinB)∞sA=O

即：sinAcosC+cosAsinC-2sinScosA=sin(A+C)-2sinBcosA=O

A+B+C=π■.sin(A+C)=sinB.,.sinB-2sinBcosA=O

8∈(0㈤.∙.sinβ≠O.∙.cosA=ɪ

A∈(θ,π)Λ=ʒ-

Z

(2)SΛΛS,=ɪftesinA=ɪiɪesin—=—be=ʌ/ɜbe=4

MB。2234

由余弦定理得：a2=b2+c2-2⅛ccosA=(⅛+Cy-2⅛c-2bccos/=25-12ɪ13

.∙.«=√B.∙.ΔA3C的周长Z,=<∕+6+c=5+√i5

【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导

公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.

18.已知两个非零向量。与。不共线，

(1)若AB=α+6,BC=2q+8"CO=3(α-/?),求证：4、民。三点共线：

⑵试确定实数％,使得%+6与α+A⅛共线；

(3)若α=(l,2),A=(l,l),c=α+4"且b工c，求实数4的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)k=±l

(3)^=-∣

【分析】(1)由平面向量的共线定理证明AB,8。共线，即可得证；

(2)由平面向量的共线定理与向量相等求解即可；

(3)由向量垂直的坐标表示求解即可

【详解】(1)VAB=d+h,BC=2d+8b,CD=3(d-b),

：.BD=BC+CD=2w+8⅛+3(α-⅛)=2a+8⅛+3>a-3⅛=5(α+⅛)=5AB,

.,.A8,B。共线，

又；它们有公共点2,

民。三点共线；

(2)；Aa+/?与α+癌共线，

，存在实数几，使"r+6=∕l(α+Z⅛),

kd+b≈λd+λkb，∙*∙(⅛-λ)a={λk—1)⅛,

Y是两个不共线的非零向量,

∙*∙k-λ=λk—1=0,

Λ⅛2-l=0,解得4=±1；

(3)*.*a=(1,2),⅛=(1,1),c=a+λb,

且8Ic，

∙'∙c=(1+2,2+λ)yb∙c=l+∕l+2+Λ=0,

3

解得a=_].

19.复数z=(i+i)?+工，其中i为虚数单位.

⑴求Z及∣z∣;

(2)若z?+应+6=2+3i,求实数。，b的值.

【答案】(I)Z=T+3i,∣z∣=√iδ

a=-3,

⑵

b=7.

【分析】(1)首先根据复数的运算求解出复数Z,进而根据复数的模长公式求解团

(2)首先将z=-l+3i代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数。，匕的

值.

【详解】(1)∙.∙z=(l+i>+三=l+2i+P+2i+i(l+i)=-l+3i,

1—111+ɪH1—ɪI

22

Λ∣Z∣=√(-1)+3=∙χAθ.

(2)由(1)可知z=-l+3i,z=-l-3i

由T+近+力=2+3i,得：(-ɪ+ɜi)"+«(—1—3i)+b=2+3i,

8—6Z÷⅛=2,Ira=-3,

即(_8—。+6)+(-6-3α)i=2+3i,：.\<.,,解得一

-6-3^=3.∖b=7.

20.已知函数/(%)=COS4X一2SinXCOSX一sin'x.

(1)求/(x)的最小正周期;

(2)当XeO,I时，求"x)的最小值以及取得最小值时X的集合.

【答案】(1)T=π,(2)x∈{yl,时/(x)*n=-√Σ

【分析】(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解;

(2)由X的范围先求出2x+f的范围，结合余弦函数的性质即可求解.

4

【详解】解：(1)/(x)=Cos4X-2sinxcosx-Sin4%,

=(cos2x-sin2X)(COS2x÷sin2x)-sin2x,

=CoS2x-sin2x,

=逐COS(2x+鸟,

4

故/“)的最小正周期丁二乃;

(2)由xw[由S可得2x+fw[J,¾,

2444

当得2x+(="即X=,时，函数取得最小值-√∑.所以Xe[*],时"x)min=-0

21.如图，N分别是ΔABC的边BC、AB上的点，且BM=AN=-AB,AM交CN

42

于P.

(1)AM=xAB+yAC,求的值；

(2)若AB=4,AC=3,ZBAC=GO,求AP∙BC的值.

【答案】(1)ɪ：(2)-日.

【解析】(1)利用平面向量加法的三角形法则可求出x、y的值，进而可计算出χ-y的值；

3I

(2)设AP=/IAM=；4AB+7/IAC,设NP=kNC,根据平面向量的基本定理可得出关于4、”的

44

方程组，解出这两个未知数，可得出AP关于AB、AC的表达式，然后用A3、AC表示BC,最后

利用平面向量数量积的运算律和定义即可计算出AP∙8C的值.

11O1

【详解】(I)AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB∖=-AB-V-AC,

44~744

3IEU311

..χ=:，ʃ=—,因此，∙^-y=-^-^^=~；

44442

31

(2)]^AP=λAM=-ΛAB+-λAC,

44

1

再设NP=kNC,贝UP-AN=MAC-AN)即AP=(∖-k)AN+kAC=^AB+kAC,

λ=—

731

所以,解得；所以AP=-AB+—A