2022-2023学年湖北省荆州市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省荆州市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1.直线χ-6y+l=0的倾斜角为（）

A.30oB.45oC.120oD.150°

【答案】A

【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式A:=tanO可求得结果.

【详解】∙.∙χ-Gy+l=O

3

又∙.M[0,万）

•••8=30

故选：A.

2.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度/?（单位：m）与起跳

后的时间f（单位：s）存在函数关系/z（f）=-4∙9∕+4.8f+ll.该运动员在US时的瞬时速度（单位：

m∕s）为（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先对函数求导，然后把f=l代入即可求解.

【详解】解：因为〃⑺=-4.9产+4&+11,

所以“Q）=-9.8f+4.8,

令f=I,得瞬时速度为-5.

故选：D.

3.圆f+V-4x=0与圆（X-4+（y+3）2=9恰有两条公切线.则a的取值范围是（）

A.（-2,6）B.（—4,4）C.（-5,5）D.（—6,6）

【答案】A

【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则4-q<∣GGk^+4,即可得到不

等式组，解得即可.

【详解】解：0√+r-4x=O,即(x—2p+y2=4,圆心C∣(2,0),半径『2,

圆(x—4)-+(y+3厂=9的圆心C?3)，半径4=3,

因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以4r<∣CQ<4+?

即1<J(α-2y+32<5,解得一2<a<6,BRae(-2,6)；

故选：A

4.在正项等比数列｛4｝中，4=2,%+4是知生的等差中项，则由=()

A.16B.27C.32D.54

【答案】D

【分析】由题可得4+q=2(o2+4),进而可得<7=3,即得.

【详解】设数列口｝的公比为4,4>0,则4+4=2(%+4),

.∙.2+2√=2(2q+4),解得q=3,cl=-∖(舍去)，

3

Λα4=2X3=54.

故选：D.

5.设函数/(X)在R上可导，其导函数为F(X),且函数y=(l-χ)∕'(χ)的图像如题(8)图所示，则

下列结论中一定成立的是

A.函数/(X)有极大值/(2)和极小值/⑴

B.函数/(x)有极大值八-2)和极小值f(l)

C.函数f(χ)有极大值/⑵和极小值/(-2)

D.函数/O)有极大值/(-2)和极小值/(2)

【答案】D

【详解】M-2,1-力O,(lτ)r(x)>。则/(x)>0函数〃x)增;

-2<x。,l一x〉0,(l-x)r(x)<0贝∣Jr(x)<0函数/(x)减；

1<x<2,l—x(0,(1—X)/'(X))O贝IJr(X)<0函数/(x)减；

x>2,lr<0,(lr)r(x)<0则_f(x)>0函数/(x)增；选D.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小

于O则函数递减

l

6.等差数列｛%｝、｛〃｝中的前〃项和分别为九Tn,⅜=⅛,则詈=()

1nJ〃十1%)

ʌ2019C17

A.—Bd.—C.—

312928

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质及其前〃项和公式可得答5,S2〃

=小()将〃=19代入广三TT即可求解∙

4O

SK=2〃

【详解】∙.∙等差数列｛%｝、｛〃｝中的前"项和分别为S,.、

Tn3〃+1'

•al0^2al0Sl9z2×1919

**2bw~+九)一友-3x19+1-29.

故选：B.

【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前”项和公式，需熟记公式，属于基础题.

vX<0

7.已知函数f(x)=<,e'-∖g(x)=∕(x)+x+4∙若g(X)存在2个零点，则4的取值范围是

lnx,x>0,

A.[-1,O)B.[0,+8)C.[-1,+8)D.[1,+8)

【答案】C

【详解】分析：首先根据g(X)存在2个零点，得到方程/(x)+x+4=O有两个解，将其转化为

/(x)=T-α有两个解，即直线y=-x-"与曲线y=f(x)有两个交点，根据题中所给的函数解析式，

画出函数/a)的图像(将e%x>0)去掉)，再画出直线y=-χ,并将其上下移动，从图中可以发现,

当-α≤ι时，满足y=Ti与曲线y=/(X)有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数f(x)的图像，y=e'在y轴右侧的去掉，

再画出直线y=一χ,之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程/(X)=-X-α有两个解，

也就是函数g(x)有两个霎点，

此时满足-4≤l,即”2-1,故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的

思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问

题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

8.已知点尸(-3,3),过点M(3,0)作直线/与抛物线V=©相交于A,8两点，设直线∕¾,PB的斜

率分别为勺，Q则仁+网=()

A.-IB.-2C.2D.无法确定

【答案】A

【分析】联立直线与抛物线方程，得到y%=T2,代入两点斜率公式即可化简求解.

【详解】设直线方程为X=Μy+3,联立抛物线方程可得丁-4〃?)，-12=0,

设A停yj,B⅛,y2∖可得%必=-12,

412

yι-3ιy2-3,4yι-12ι4y2-124jl-12ι⅛)~

4χ-12ITyI一尤

则K+A=

2/+3号+3i2+y`12+货12+y：γ-12f22

ι2i2+yl12+j1

故选：A

二、多选题

9.下列求导运算正确的是()

332sinA∖,2xcosx-4sinjt

A.(X4—)'=—TB.——)=

XX

32

C.L(3x÷5)r=3(3x÷5)D.(2Λ÷cosx),=2rIn2-sinX

【答案】BD

【分析】利用基本函数的导数公式，导数的运算法则逐项计算判断作答.

33

【详解】对于A,u÷-y=ι-4,A不正确;

2cosx∙x2-2x∙2sinx2xcosx-4sinx

，B正确;

对于C[(3x+5)3r=3(3x+5)2-3=9(3x+5)2,C不正确；

对于D,(2Λ+cosx)'=2'ln2-SinX,D正确.

故选：BD

22

10.已知曲线C的方程为Ar-+Hv-=l(∕eR),则下列结论正确的是()

%/,+ι1l5C-kL')

A.当％=2时，曲线C为圆

B.曲线C为椭圆的充要条件是-1<Z<5

C.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则

D.存在实数我使得曲线C为抛物线

【答案】AC

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解.

【详解】对于A,当A=2时，曲线C的方程为Y+9=3,此时曲线C表示圆心在原点，半径为6

的圆，所以A正确；

对于B,若曲线C为椭圆，贝必+l>0,5-Q0且氏+1x5-%,所以B错误；

对于C,若曲线C是焦点在），轴上的双曲线，则人+1<0,5-⅛>0,解得&<-1,所以C正确；

对于D,曲线C不存在X,y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误.

故选：AC.

11.设数列｛%｝的前"项和为S11,«1=1,Jl2S,,=3«„+m,则（）

A./M=-IB.｛a,,｝是等差数列

【答案】AD

【分析】根据的关系，即可求解｛4｝是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公

式即可求解.

【详解】当"=1时，2Sl=2αl=301+nz,因为Ol=1,所以机=-1,故A正确;

于是2S,,=3q,7,

当〃≥2时，2S“_|=3¾.l-1,

所以2¾=2S,,-2S„_,=3«„-l-(3¾,l-1)=3«,,-3%,即q=3%，即广=3,

an-∖

所以数列｛4｝是首项为1,公比为3的等比数列，

故",,=3"T,S“=U，故Be错误，D正确•

故选：AD

12.在棱长为1的正方体ABCO-ABCA中，M为底面ABCD的中心，D1β≈ΛD1^,2e(0,l).N

为线段AQ的中点，则()

A.CN与QM共面

B.三棱锥A-DMN的体积跟2的取值无关

C.4=；时，过4,。，M三点的平面截正方体所得截面的周长为迈?姮

D.时，AMIQM

4

【答案】ABC

【分析】由M,N为AC,4Q的中点，得到MN//CQ,可判定A正确；由N到平面ABC。的距离为

定值;，且ΔAZW的面积为定值;，根据%.械=%3”，可得判定B正确，由/1=：时，得到A,Q,M

三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正确；当a=!时，根据AM2+AQ2>QΛ∕2,可

判定D不正确.

【详解】在-ACQ中，因为M,N为ACAQ的中点，所以MN〃C。，

所以CN与QM共面，所以A正确；

由匕"MN=VVT因为N到平面ABCZ)的距离为定值：，且ΔAQM的面积为定值

24

所以三棱锥A-OMN的体积跟彳的取值无关，所以B正确;

当彳=：时，过A,Q,M三点的正方体的截面ACEQ是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长为/=垃+乎+2X同=逑孕叵,

所以C正确；

当X=J时，PT^AM2=1A02=l+-∣=^∣,βM2=⅛2+⅛2=⅛,

4216162416

则4Λ∕2+AQ2>QM2,所以AA/,QW不成，所以D不正确.

故选：ABC

三、填空题

13.已知函数/(x)=∕(-l)e'-χ2,贝IJr(T)=.

【答案】ɪ

e-1

【分析】根据导数的公式，代入x=-l求解即可.

【详解】Q/U)=/(-Det-√,

/(x)=∕(-l)ejc-2x,

令x=—l,则/'(一1)=/'(-l)eτ+2,

./-I)=去

故答案为：---.

e-1

14.直线/：∕∞-y+l=O截圆χ2+∕+4x-6y+4=0的弦为MN,当IMNl取最小值时m的值为

【答案】1

【分析】由于直线/恒过(0,1),所以当直线MN与定点和圆心连线的直线垂直时，IMNl取得最小值,

从而可求出机的值

【详解】直线/:〃优-y+l=。恒过(0,1),圆/+/+4》_6)，+4=0的圆心(-2,3),半径为3,所以

22

定点与圆心的距离为：A∕(0+2)+(1-3)=2√2,

所以则IMNl的最小值为：2后二。可=2,

此时直线MN与定点和圆心连线的直线垂直.可得机==

故答案为：1.

15.已知函数"x)=gf+2χ-2αlnx在(0,+")上单调递增，则实数。的取值范围是.

【答案】(-∞,o]

【分析】由单调性可知f'(x)20在(。,+8)上恒成立，采用分离变量法可得2α≤Y+2χ,由二次函数

的最值可求得。的范围.

【详解】/(χ)在(0,+句上单调递增，∙∙∙∕'(χ)=χ+2-g≥0在(0,y)上恒成立，

即2α≤V+2χ在(0,+纥)上恒成立；

又当x>0时，X2+2x>O...2a≤0,解得：a<0,

，实数”的取值范围为(9,O].

故答案为：(τ°,θ]∙

四、双空题

16.在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗

珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰

是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，

以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此

推断第6件首饰上应有颗珠宝；则第〃件首饰所用珠宝总数为颗.(结果用"表示)

图1图2图3图4

【答案】662n2-n

【分析】分析数据规律可得%-%7=4〃-3,再利用累加法即可求解.

【详解】设第〃件首饰上的珠宝颗数为。〃，则4=1,¾=6,«3=15,4=28,%=45

因为出一4=4xl+l,a3-a2=4×2+l,6(4-α3=4×3+1,a5-a4=4x4+1,

所以猜想a“一«i=4(n-l)+l=4n-3,

所以推断4-%=4x6-3=21,

即〃6=%+21=66.

由0,L%=4-3,

则4ι-a*2=4("T)-3,∙..,a2-ay=4x2-3,

以上各式相力口得a“一4∣=4("+"—1++2)-3(/7-1)=lɪ?——ɪ-3(w-l)=In2-n-∖,

所以∕=2"2-"∙

故答案为：66；2n1-n.

五、解答题

17.已知函数/(x)=e'-d+α,XeR的图象在X=O点处的切线为y=⅛r.

(1)求〃，〃的值；

(2)设g(x)=f(x)+x2-x,求g(x)最小值.

(a=-1

【答案】⑴一

[⅛=1

(2)0

【分析】(1)求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解,

(2)求导得单调性，即可求解最值.

【详解】(I)f(x)=ex-x2+a,f'(x)=ex-2x,

f(0)=l+a=0

由已知，得,l∕'(o)=1=∕,，解得

•••函数/(X)的解析式为〃力=e∙'-X2-I.

(2)g(x)=f(x)+χ2一χ=e*—X-1,则/(x)=e'-l,

令g[x)=O,则X=0,

当x<0时，g'(x)<O,此时g(x)单调递减

当x>0时，g'(x)>O,此时g(x)单调递增,

∙∙∙g(x*n=g(0)=5

18.已知A(U),8(2,3),C(〃,q)三点共线，其中。“是数列｛α,,｝中的第〃项.

⑴求数列｛4｝的通项；

(2)设么=Tan,求数列也｝的前〃项和T„.

【答案】⑴>=2"-l

(2)7；,=6+2"+'(2n-3)

【分析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；

(2)由题可得勿=Tan=(2n-l)∙2",利用错位相减法即可求出答案.

【详解】(1)人(1』),8(2,3),。(〃，4,)三点共线，，&二=14

M-I2-1

.∙.atl=2n-↑

(2),⅛=(2n-l)∙2π

.-.7；,=1×2I+3×22+5×23+...+(2n-↑)×2"①

27；,=l×22+3×23+5×24++(2n-3)×2,'+(2n-1)×2,,+'②

得-1,=2+2(22+23+~+2")-(2"-1)X2"M

Q_n/J+2

=2+———(2zz-l)×2π+l

1-2

=2-8+2n+2-(2n-l)×2"+'

=-6+2π+l(2-2n+l)

=-6+2π+l(3-2n)

”,=6+2"M(2"-3)

19.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABHCD,ZBAD=90,

PD=DC=BC=2PA=2AB=2,PDLCD.

P

(2)求直线BD与平面BPC所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取CO的中点E,连接BE,证明出A4"LΛB,PA±AD,再利用线面垂直的判定定理

可证得结论成立；

(2)点A为坐标原点，AB.AD.”所在直线分别为X、〉、Z轴建立空间直角坐标系，利用空

间向量法可求得直线BO与平面BPC所成角的正弦值.

【详解】(1)证明：由于AW∕CD,28Ao=90,所以CE>L4D,

由于Pf)_LCD,PDnAD=D,PD、AZ)U平面PAD,所以8_L平面P4D,

..AB/平面PAD,由P4u平面PAD,得AB_LR4.

取CD的中点E,连接

因为底面ABCD是直角梯形，DEHAB&DC=2DE=2AB=2,NBAD=90,

故四边形A8EI>为矩形，且Ao=BE'且3E_LCD,.-,AD=BE=y∣BC2-CE2=√3>

所以在上皿)中，PA=∖,PZ)=2,AD2+PA2=PD2.即A4_L43,

由于ADCAB=A,AB,4)U平面A8CD,所以R4_L平面ABeD

(2)解：平面ABa),ABA.AD,以点A为坐标原点，AB.AD.AP所在直线分别为X、

y、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)∖B(LO,0)、cQ,6,θ)∖40,6,0)、尸(0,0,1),

BD-(-l,√3,θ),PB=(I,O,T),BC=(1,^,0),

n∙PB=x-z=O_/r

设平面BPC的法向量为"=(x,y,z),则■{r,取X=石，可得”=(6,T,

BD∙n_2√3_√2?

所以，CoSVBD,n>=

阿HW-2×√7-7

所以，直线BO与平面BPe所成角的正弦值为立L

7

20.已知正项等差数列｛4｝的前”项和为S,,,$3=9,若4+1,4+1,4+3构成等比数歹山

(1)求数列｛4｝的通项公式.

(2)设数列」一I的前〃项和为T“，求证：£?!

IAa“+J3

【答案】(I)¾=2/7-1；(2)证明见解析.

【分析】(1)由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.

(2)利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.

【详解】(1)由｛可｝为等差数列,S3=9,

得犯=9,则%=3,

又4+1,%+1吗+3构成等比数歹U,

所以(4+1)(6+3)H/+1):

即(4一4)(6+1)=16,

解得d=2或d=Y(舍)，

所以%=2〃-1；

11_111、

(2)因为-----=TT-----------------------z------；-C,J,

anan+i(2〃-1)(2M+1)22/t-l2n÷l

〃_1,1J

22

ɪv

21.已知椭圆。:=+2=1(。>〃>0)的左、右焦点分别为耳，F2f半焦距为1,以线段月苍为直径

的圆恰好过椭圆C的上、下顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若关于直线x=c对称的射线gM与5N分别与椭圆C位于X轴上方的部分交于“，W两点，

求证：直线MN过X轴上一定点.

【答案】(1)y+∕=l;(2)证明见解析.

【分析】(1)先求出c,6之间的等量关系，再结合。，b,C间的关系即可求出椭圆C的方程；

(2)设出直线MN的方程，与椭圆C的方程联立，利用韦达定理及已知即可得出加，k的关系，进

而即可得到直线所过的定点坐标.

【详解】(1)以线段耳行为直径的圆恰好过椭圆C的上下顶点，.∙∙c=b∙

.c=l,b=1,.*.cι~=b~+c~=2,

椭圆C的方程为1+y2=ι.

(2)由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=京+，”，

y=kx+ιn

消去y并整理得(1+2用/+4成+2-1)=0.

设点IMa,y),N(x,y),

22

-Akm2(m2-l)

则rill…=B'XlX2=--------T2

12l+2jt2

/NFE=NMgA,且由题意知kMF2和kNFi必存在,

=

,∙^MF2^*"^NF20.

…八M%CAx1+tnkx^+nιʌ

又K(1,O),.-.-^-+ɪɪθ,即^~r+∙2±^二0,

再一1%一ɪ%一ɪ%一ɪ

整理得2处X,-2m=(k-m)^xl+x1),

2(m2-l)

Cz.、-4km

得2k-2m=(κ-m)----------7

1+2公1+2公

即2knr—2k—m—2k2In—hn2—Icm,解得相=—2k,

：,MN的方程为y=收-2∙=∖(x-2).

Δ=16*2m2-8(1+2*2)(m2-1)>O,

BPl+2*2>m2,Λ1+2*2>4*2,解得-旦<k<g.

2