2023年中考数学考前练习：已知比例系数求特殊图形的面积 高频压轴题（含答案解析）

2023年中考数学考前冲刺：已知比例系数求特殊图

形的面积高频压轴题

1、如图，一次函数y=mx+1的图象与反比例函数y=B的图象交于点/,B,交y轴于点

C,点8的横坐标为1,且AC=2CB,连接。4,OB.

⑴求A40B的面积；

⑵求反比例函数的表达式；

⑶根据图象直接写出满足不等式W<mx+1时，X的取值范围.

2、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，RzlSO/8的直角边08在X轴的正半轴

上，点N的坐标为(6,4),斜边。的中点O在反比例函数y=§(x>0)的图象上，AB

交该图象于点C,连接OC

⑴求人的值；

⑵求回O/C的面积.

3^如图，已知点｛(1,-2)在反比例函数y=例图象上，直线y=-x+l与反比例函数y

=5勺图象的交点为点B、D.

X

(1)求反比例函数和直线/8的表达式；

(2)求SAZOB;

(3)动点P(x,0)在X轴上运动，若尸是等腰三角形时，直接写出点P的坐标.

4、如图，在平面直角坐标系中，四边形。48C为矩形，点8在函数M=((X>0)的图象

上，边/8与函数以=：(x>0)的图象交于点。.求四边形OD8C的面积.

5、如图，在X轴的正半轴上依次截取。4=442=A2A3=…=ATl-14九=2,过点儿、

&、&...、Al分别作X轴的垂线与反比例函数y=/的图像相交于点A、P2、P3…、匕得

直角三角形OPlA、A1P2A2,A2P3A3,A3P4A4....An-1PnAn,并设其面积分别为/、

^2、S3...、Sn.

⑴求P2、P3、Pn.的坐标

⑵求的值；

Srl

6、如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=3的图像与反比例函数y=E的图像交于

A,B两点，且点A的坐标为(6,a).

(1)求反比例函数的表达式；

(2)已知点C(b,4)在反比例函数y=(的图像上，点P在X轴上，若ElAOC的面积等于

回Ac)P的面积的两倍，请求出点P的坐标.

7、如图，已知反比例函数y=E(k>0)的图象经过点A(1,m),过点A作ABBy轴于点

B,且IaAOB的面积为L

(I)求m,k的值；

(2)若一次函数y=nx+2(n≠0)的图象与反比例函数y考的图象有两个不同的公共点，求

实数n的取值范围.

8、如图，过反比例函数y=j(x>O)的图象上任意两点AB,分别作X轴的垂线，垂足为

A',B',连接。4,OB,44'与05的交点为尸，记0JOP与梯形PdB'B的面积分别为S^S2,

试比较S1,S2的大小.

9、如图，一次函数y=x+4的图象与V轴交于点C,与反比例函数y=E的图象交于/(一

1,m),B(n,1)两点,

⑴求“、8两点的坐标和反比例函数的表达式；

⑵连接04、OB,求ElON8的面积；

⑶在X轴上找一点P,使我+尸8的值最小，求满足条件的点P的坐标.

10、如图，已知一次函数y=∕cq+b与反比例函数y=*的图象交于第一象限内的点

4(1,6)和8(6,m),与X轴交于点C,交y轴于点D.

⑴分别求出这两个函数的表达式：

(2)连接04、0B,求A40B的面积;

⑶点P为坐标平面内的点，若点。，A,C,P组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P

的坐标.

11、已知反比例函数与矩形ABCD交于点M、N,连接OM,ON,M(3,2),SWi柩

OMBN=6,求反比例函数的解析式及B点、N点的坐标.

V

12、已知点4为函数y=：(x>0)图象上任意一点，连接。4并延长至点B,使AB=04

过点8作BCHX轴交函数图象于点C,连接OC.

⑴如图1,若点4的坐标为(4,n),求n及点C的坐标;

(2)如图2,过点力作ADIBC,垂足为。，求四边形OCZM的面积.

13、如图，已知直线尸》与双曲线尸［(⅛>0)交于4B两点,且点/的横坐标为6

⑴求k的值;

(2)若双曲线y=W(k>0)上一点C的纵坐标为9,求0/fOC的面积；

⑶过原点。的另一条直线/交双曲线y=((k>0)于尸、0两点(P点在第一象限)，若

由点/、B、P、。为顶点组成的四边形面积为96,求点尸的坐标.

14、如图，一次函数y=∕qx+b的图象与反比例函数y=O的图象相交于/、8两点，其中

点/的坐标为(一1,4),点B的坐标为(4,n).

⑴求这两个函数的表达式；

⑵一次函数y=∕qx+b的图象交y轴于点C,若点尸在反比例函数y=§的图象上，使得

SACOP=9，求点P的坐标•

15、如图，/、8两点在反比例函数y=f(x>0)的图像上，其中左>0,Za邺轴于点C,

BOSt轴于点。，且NC=I

(1)若左=2,则/O的长为,鲂。。的面积为；

(2)若点8的横坐标为上且左>1,当Zo=/8时，求左的值.

16、通过构造适当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些

不等关系或最值，这是"数形结合"思想的典型应用.

⑴【理解】如图①，ACLBC,CDLAB,垂足分别为C、D,E是ZB的中点，连接CE,

已知=α,BD=b,(0<a<b).

图①

①已知CD可以用面表示，请用含α,b的代数式表示CE的长；

②比较大小：CECD(填或"=〃)，并用①中的结论证明该大小关系.

(2)【应用】如图②，在平面直角坐标系中，点M、/V在反比例函数y=：(x>0)的图像

上，横坐标分别为nɪ,n,设p=m+n,q=3+;,记，=新.

①当m=1,n=3时，I=,当m=2,n=2El寸，I=；

②通过归纳猜想，可得，的最小值是.请利用留②构造恰当的图形，并说明你的猜

想成立.

17、如图，点尸在反比例函数y=：第一象限的图象上，PAlx轴于点4则△OPA的面积

为•

18、如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A,B在函数y=§Q>0)的图象上

(点B的横坐标大于点4的横坐标)，点力的坐示为(2,4),过点4作X轴于点。，过点B

作BCJ.X轴于点C,连接04AB.

(1)求上的值.

(2)若。为OC中点，求四边形04BC的面积.

19、如图是反比例函数y=I与反比例函数y=：在第一象限中的图象，点P是y=：图象上

一动点，为取轴于点4,交函数y=：图象于点C,PB眇轴于点8,交函数y=：图象于点

。，点。的横坐标为”.

⑴求四边形ODPC的面积；

⑵连接。C并延长交X轴于点E,连接D4、PE,求证：四边形D4EP是平行四边形.

20、如图，一次函数y=x+l的图象与反比例函数的图象交于点/(1,«).

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点、P(拉，0)在X轴上一点，点/是反比例函数图象上任意一点，过点〃作脑皿

轴，求出ElMNp的面积；

(3)在(2)的条件下，当点尸从左往右运动时，判断0MNP的面积如何变化？并说明理

由.

21、如图，一次函数y=七x+b(k≠0)与反比例函数y=§(x>0)的图像交于4(l,6),

B(3,τn)两点.

y

c

OD∖x

⑴求反比例函数和一次函数的解析式：

⑵根据图象直接写出Bx+b<暂时，X的取值范围：

⑶求A4。B的面积.

22、如图，在平面直角坐标系中，一次函数为=αx+3的图象与反比例函数先=5的图象

交于N、E两点,直线NE与坐标轴交于/、B两点,过点8作X轴的平行线BC,BC交反

比例函数图象于点/，已知点/坐标为(-4,0),器=：.

AB5

⑴求α的值和反比例函数的解析式.

⑵若yi>y2,直接写出自变量X的取值范围.

⑶若点。在X轴正半轴上，且OD=Ta4,连接CD,OC,双曲线上是否存在一点P,使得

SACoD=SAP*0?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由•

23、已知反比例函数y=?kHO)的图象经过点B(3,2),点B与点C关于原点C)对称，BA0×

轴于点ACD0x轴于点D

(1)求这个反比函数的表达式；

(2)求回ACD的面积.

24、如图，点4（—3,n）在反比例函数丫=一；炽＜0）的图像上，连接Z。并延长、交反比例

函数丫=$0＞。）的图像于点8，已知04=308.

（1）求〃，女的值.

（2）若点尸在X轴上，且陋PB的面积为2,求点尸的坐标.

25、已知反比例函数y=：与正比例函数相交与点/,点N的坐标是（1,机）.

⑴求此正比例函数解析式；

⑵若正比例函数y=［尤与反比例函数y=:的图象在第一象限内相交于点B,过点A和点B

分别做X轴的垂线，分别交X轴于点C和点。，4C和OB相交于点P,求梯形PCDB的面

积；

⑶连接求A40B的面积.

26、如图，直线x=t（t＞0）与双曲线y=B（ki＞0）交于点A,与双曲线y=孑的＜0）交于点B,连接

0A,OB.

⑴当ki、k2分别为某一确定值时，随t值的增大，回AoB的面积（填增大、不变、或

减小）

(2)⅛kι+k2=0,SAAOB=8时,求ki、k2的值.

27、如图，反比例函数的图象过点/(2,3).

(1)求反比例函数的解析式；

(2)过/点作/CSx轴，垂足为C.若尸是反比例函数图象上的一点，求当日以C的面积

等于6时，点尸的坐标.

28^如图，在平面直角坐标系XSl中，直线y=ox+b与双曲线y=£(x>0)交于/(1,

3),B(3,加)两点，与X轴交于点C,与y轴交于点。，连接04,0B.

（1）求a,b,求的值;

（2）求A0∕8的面积；

⑶在X轴上是否存在点尸，使APCO的面积等于AONB的面积的3倍，若存在，请直接写

出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

29、如图，平面直角坐标系中，直线yι=⅛x+b分别与X,y轴交于点Z,B,与双曲线%=:

分别交于点C,D（点C在第一象限，点。在第三象限），作CE,X轴于点E,。/=4,

OE=OB=I.

⑴求反比例函数的解析式；

⑵请直接写出使yι>y2的X取值范围；

⑶在y轴上是否存在一点P,使SZ∖NBP=SZXCEP?若存在，请直接写出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

30、如图，已知反比例函数y=E图象的一支经过点力（2,3）和点8（点8在点Z的右

侧），作8。沙轴，垂足为C,连接ZC,AB.

⑴求反比例函数的解析式;

⑵若a48C的面积为7,求8点的坐标.

>>>精品解析<<<

I、⑴W

⑵y=I

(3)—2<X<O或%>1

【分析】(1)过点48分别作y轴的垂线，交V轴于点FE,证明求

得AF=2EB=2,由一次函数y=mx+1的图象与y轴交于点C,求得OC=I,根据

=SAAOC+SABOC即可求解；

(2)根据反比例函数k的凡何意义，由/F=2BE可得OE=20F,求得CE=1,即可得出

8的坐标，继而求得解析式；

(3)根据一次函数与反比例函数的交点的横坐标，结合函数图象即可求解.

【解析】(1)解：如图，过点48分别作y轴的垂线，交V轴于点尸，E.

∙∙∆CBESXCAF9

BE_EC_BC

AF~CF~AC'

回点8的横坐标为1,

团EB=1.

^AC=2CB,

^AF=2EB=2.

・・.A的横坐标为-2

13一次函数y=mx+1的图象与y轴交于点C,

回。C=1.

团SMOB=S>A0C+SABoC

3

=

2

(2)团点4,8在反比例函数y=B的图象上，且4F=28E,

回。E=20F.

0FC÷CO=2(CF-C0).

即EC+1=2(2CE-1).

团CE=1.

即点8的坐标为(1,2).

跳=1X2=2.

回反比例函数的解析式为y=：

(3)•••力的横坐标为-2,点8的坐标为(1,2).

根据函数图象可知，当X<mx+1时，—2<x<0或x>l.

X

【点评】本题考查了一次函数与反比例函数结合，相似三角形的性质与判定，/C的几何意

义，掌握以上知识是解题的关键.

2、⑴6

(2)9

【分析】(1)根据线段中点的坐标的确定方法求得点。的坐标，再根据反比例函数图象上

点的坐标特征求出Q

(2)由反比例函数解析式求出点C的纵坐标，进而求出AC的长，再根据三角形的面积公式

计算即可.

【解析】(1)解：•••点4的坐标为(6,4),点。为04的中点，

二点。的坐标为(3,2),

•••点。在反比例函数y=(的图象上，

ʌ/c=3×2=6；

(2)解：由题意得，点C的横坐标为6,

•••点C的纵坐标为：J=I,

6

.-MC=4-1=3,

.∙∙AfMC的面积=I×6×3=9.

【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，

掌握反比例函数的性质、解题的关键是正确求出AC的长度.

3、(1)y=-∣,y=x-3;(2)SA∕OB=∣;(3)P1(√5,0),P2(-√5,0),P3(2,0).

PM∣,O)∙

【分析】(1)运用待定系数法先求出反比例函数解析式，再求出B的坐标，从而求出直线

AB的解析式；

(2)利用反比例函数k的几何意义进行面积转化求解即可；

(3)列出各边长的表达式，根据不同情况进行分类讨论即可.

【解析】(1)将4(1,—2)代入y=3得k=-2,故反比例函数解析式为y=-j,

联立｛,解得｛；二2或「二二，即：B(2,-1),D(-l,2)

y=-%+1y-τy-z

设直线48的解析式为：y=τnx+n,

将4(l,-2),B(2,-1)代入得：｛Jntn=-2解得：｛a=；，

v2m+n=-1kn=-3

则直线AB的解析式为：y=x-3

・••反比例函数解析式为丁=一/直线AB的解析式为：y=x-3;

(2)作AMJ.x轴，BNIX轴，AHly轴，

贝∣JSΔAOB+SΔ04H+S^OBN=S矩厨HAM+S梯形MABN，

等矩形

根据反比例函数IkI的几何意义可知：SAtMH=SboBN=OHAM="，

112

∙∙∙SAAOB=S梯形MABN=|MN(4M+B∕V)=ɪ×(2-1)×(2+1)=|,

(3)由题：。4=花，OP=∣x∣,AP=J(X-I)2+4,

①若04=OP,则遍=IX解得％=±病，故：P1(√5,0),P2(-√5,0);

②若OA=AP,则遍=J(X—1)2+4,解得X=2或0(舍去)，故：P3(2,0)；

③若OP=AP,则IXl=J(X_1尸+4,解得x=∣,故：P4(∣,0);

综上，所有P的坐标为：P1(√5,0),P2(-√5,0),P3(2,0),P4(∣,0).

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及等腰三角形的判定与性质，熟

练掌握反比例函数k的儿何意义，以及分类讨论的思想是解题的关键.

4、3

【分析】根据反比例函数上的儿何意义可知：EL40。的面积为1,矩形/8C。的面积为4,

从而可以求出阴影部分ODBC的面积.

【解析】解：13点。是函数H=:(x>0)图象上的一点,

IIB4。。的面积为Tx2=1,

13点B在函数H=：(x>0)的图象上，四边形/8C。为矩形，

团矩形NBCO的面积为4,

团阴影部分ODBC的面积=矩形ABCO的面积也1。。的面积=4-1=3,

故选：B.

【点评】本题考查反比例函数的几何意义，解题的关键是正确理解的几何意义.

5、(l)P2(4,∣),P3(6,∣)Λ(2n,;)

⑵%

【分析】(I)根据。ZI=A1A2=A2A3=…=An_1An=2结合反比例函数解析式求出

P2、P3、Pn、即可；

(2)根据反比例函数y=3中k的几何意义再结合图像进行解答.

【解析】(I)解：WA1=A1A2=A2A3=…=An^1An=2,

团PI的横坐标为2,P2的横坐标为%P3的横坐标为6...匕的横坐标为2九，

0P2ΛP3、Pn、均在反比例函数y=日上，

团「2(4,}〃3(6,|),%(2几》；

(2)回过双曲线任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角

形的面积S是一个定值，S=Tlk|,

空L=5,SΔOAIPI=5,

团。4]—√4J½2=人2人3=***=4九-1"九=2,

02

∙^ΔΛ142P2=2×∣×∣=∣,ShA2a3p3=×I×I=I'

51ς

Ia2,

SjI=S^AnlAnpn=×~×2=n

即S”.

【点评】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，反比例函数y=：中/c的几何意义，

熟练掌握反比例函数的性质以及k的几何意义是解本题的关键.

6、(1)反比例函数的表达式为V=?;(2)点尸的坐标为0,0)或(一(0).

【分析】(1)先求解A的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式，

(2)先求解C的坐标，利用SXAOC=S西地形COEA-SXoAE=S四边形CoEASACOD=S梯

%C7)EN求解SzMOc，再求SΛ4°P,利用面积公式可得答案.

【解析】解：(1)回点4(6,。)在正比例函数尸3的图像上

加=Zχ6=2

3

团点力(6,2)在反比例函数尸例图像上

02=-,

6

・•・k=12

回反比例函数的表达式为尸苫.

(2)分别过点C,N作CDat轴，/£0X轴，垂足分别为点。，E.

回点C(b,4)在反比例函数尸芋的图像上

回4=三b=3,即点C的坐标为(3,4)

b

团点4,C都在反比例函数y=j的图像上

[3S21O√4E=SACOZ)=3X12—6

^∖SΔAOC=S四边形COEA-SΔOAE=S四边形CoEA-SΔCOD=S梯形CDEA

团SjoC=I（CD+∕0∙OE=,（4+2）X（6-3）=9

Ela4。C的面积等于EWOP的面积的两倍

1Q

^SΔAOP=^ΔAOC=Γ

设点夕的坐标为（加，0）

则SΔAOP=^×2-IWI=I-.

9

回加=±5，

回点尸的坐标为《，0）或（一£0）.

【点评】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，考查反比例函数中系数k

的几何意义，掌握以上知识是解题的关键

7、（l）m=2;k=2；⑵n>-plnHθ.

【分析】⑴根据三角形的面积公式即可求得m的值；

⑵若一次函数y=nx+2（n≠0）的图象与反比例函数y专的图象有两个不同的公共点，则方程

-=nx+2有两个不同的解，利用根的判别式即可求解.

X

【解析】（1）由已知得：SAAoBWXIXm=1,解得：m=2,

把A（1,2）代入反比例函数解析式得：k=2;

⑵由（1）知反比例函数解析式是y=∣,

由题意得：［y=l有两个不同的解，即二nx+2有两个不同的解，

Iy=Tl%+2x

方程去分母，得:n×2+2x-2=0,

则!3=4+8n>0,解得：n>-［且∏H0.

8、Sl=S2

【分析】利用图形面积关系可得：SU0P=S>AOALSop,S梯形AlPBB，=SABOB，-S>NθP,

再利用反比例函数的k的几何意义可得：SM。*=SziBOl=L从而可得答案.

【解析】S1=S2

【点评】本题考查的是反比例函数的系数k的几何意义，解题的关键是掌握反比例函数系

数k与过反比例函数图象上任意一点向两轴作垂线所形成的矩形的面积之间的关系.

9、(I)S(-1,3)、A(-3,1),y=

(2)4

⑶(-|，0)

【分析】(1)把Z(-1,加)、B(〃，1)两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出机、

n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；

(2)求得C的坐标，然后根据SA∕O8=S2UOC-SA8OC求得即可；

(3)作5点关于X轴的对称点夕，连接ZI9交X轴于P点，则夕(-1,-3),利用两点之

间线段最短可判断此时R1+P8的值最小，再利用待定系数法求出直线/夕的解析式，然后

求出直线与X轴的交点坐标即可得到P点坐标.

【解析】(I)解：把8(-1,加)、A(〃，1)两点的坐标代入y=x+4,

得∕w=-l+4=3,«+4=1,n--3,

则B(-1,3)、A(-3.1).

把8(-3,1)代入y=5，得"-3xl=-3,

回反比例函数的表达式为y=

(2)国一次函数产尤+4的图象与y轴交于点C,

0C(0,4),OC=4,

回8(-1,3)、A(-3,1),

11

^S∆AOB=S∆AOC-S∆BOC=^×Λ×3-^×4×1=^

(3)作8点关于X轴的对称点夕，连接49交工轴于P点，则9(-1,-3),

aPA+PB=PB*P4=AB',

团此时以+PB的值最小,

设直线49的解析式为y=mx+nf

把点9I,-3),Z(-3.1)的坐标代入户加x+〃，得｛二猊

解得｛々［二］

回直线M'的解析式为y=-2x-5,

当片O时，X=—|,

回点P的坐标为(一去0).

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键,

(I)是熟练掌握待定系数法，(2)利用割补法，(3)是作出点8关于X轴的对称点

B',求得对称点的坐标.

10、(l)y=py=-X+7

喈

(3)点P的坐标为：(8,6),(-6,6),(6,-6)

【分析】(1)直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；

(2)利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；

(3)利用平行四边形的性质结合当4P0OC且ZP=OC时，当/P回OC且NP=OC时，当

AO^P"C,且/0=户'C时，分别得出答案.

【解析】(1)回点4(1,6)在反比例函数y=孑的图象上,

6=，，解得：k2=6)

回反比例函数的表达式是：y=-：

■-B(6,Tn)在反比例函数y==的图象上，

ʌm=1,

・・・B(6,1),

将点4(1,6),B(6,1)代入y=k∕+b,可得：［;二之D,

(1—ORl十D

解得:{k:

团一次函数表达式是：y=—%+7；

(2)由(1)知，直线48的解析式为y=-x+7,则D(0,7),C(7,0),

1135

∙∙∙SAAOB=SbCOD-(SAAOD+⅛BOC)=-OC-0D-k=-×7×7-7=―；

(3)如图所示：

当4P∣∣0C且AP=OC时，则AP=OC=7,

∙.∙½(1,6),

P点坐标为(8,6)；

当AP'∣∣OC且4P'=OC时，贝！∣AP)=0C=7,

”(1,6),

∙∙∙P'点坐标为：(-6,6)；

^AO∖∖P"C,且40=P"C时，则点4与P”到X轴距离相等，且P"点横坐标为7-I=6,

∙∙∙P"点坐标为:(6,-6)

综上所述：点P的坐标为：(8,6),(—6,6),(61—6).

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边

形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键.

11、N(-,4)

2

【分析】根据点”的坐标可得出反比例函数的解析式,即可得出三角形CMM的面积和三角

形OeN的面积,由SsoΛ∕8N=6,可得出点B的坐标,进而得出点N的坐标.

k

【解析】回设反比例函数的解析式为y=X,

k

把M(3,2)代入y=X,得k=6,

_6

回反比例函数的解析式为y=x,

回S:用柩OMA=S:用柩ONC=3，

0SIqii柩OMBN=6,

回S矩胫OABC=6+3+3=12，

0OA=3,IaAB=4,

ElB(3,4),

0OC∙CN=6,

3,

回CN=2,

_3

BIN(2,4).

【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数〃的几何意义,过双曲线上的任意一点分

别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于网.本知识点是中考的重要考点,同

学们应高度关注.

12、(1)(2,2)

(2)4

【分析】(1)先由反比例函数解析式求出4点坐标，再由中点坐标公式求得8点坐标，

由于BCllX轴，得到点8和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数

解析式求出点C的横坐标，即可解决；

(2)设出/点坐标，由Oa=AB得到8点坐标，由于BCIlX轴，ADLBC,可以得到ADil

y轴，由此写出点。坐标，由于BCIlX轴，且点C在图象上，求出点C的坐标，故可以得

到8C和8。的长度，进而求得AOBC和AADB的面积，进而求解.

【解析】⑴解：将点A坐标代入到反比例函数y="得，

4n=4,

Eln=1,

回点4的坐标为(4,1).

BAB=OAf0(0,0),

回点B的坐标为(8,2).

MellX轴，

回点C的纵坐标为2,

令y-2,

则±=2,

X

以=2,

回点C的坐标为(2,2)；

（2）解:设力（m,g.

^∖AB=OA,

回点B的坐标为（2m,2）.

0BCIlX轴，

0BCJLy轴,

又财D1BC,

^ADIly轴,

回点D的坐标为（m,/

13BCIl久轴，且点C在函数图象上,

配（舞）

回SAoBC=匏C*=（2m-胃3=6，

114

SAADB=-BD-AD=-m--=2.

回四边形OCDA的面积为SAOBC-S2=6—2=4.

【点评】本题主耍考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的

点的坐标特征，是解决本题的关键.

13、（1）18

（2）24

（3）P（18,1）或（2,9）

【分析】（1）先求得点4的坐标，进而待定系数法求得反比例函数解析式；

（2）根据反比例函数k的几何意义以及图形可得SAAOC=S4CON+S褊形AMNC-SXAOM=S拂

形AMNC,据此求解即可

（3）由反比例函数的图象关于原点对称，可得由点4、B、P、。为顶点组成的四边形是平

行四边形，过/作/M0x轴于"，过P作PAa:轴于N,可得四边形的面积为96,

根据SδAOP=SδAoM+S梯形AMNP-SAPoN=S榛形AMNP,建立方程，解一元二次方程求解即

可，然后根据P在第一象限，取值即可.

【解析】（I）解：在y=∣r中X=6时，y=3,即点/（6,3）,

将点」（6,3）代入产：得：k=18;

（2）解：如图1,把），=9代入产手得，x=2,

QNMX

如图所示，过点C、4分别作X轴的垂线，垂足为N、M

回点C在双曲线y=E上

团当y=9时，X=2

回点C的坐标为(2,9),A(6,3),

13点C、4在双曲线y=?上

团SACON=^ΔA0M

SAAoC=SACoN+S施形AMNC-SAAoM=S^√1WC=-(9+3)(6-2)=24;

（3）解：如图2,回反比例函数的图象关于原点对称,

自由点N、B、P、。为顶点组成的四边形是平行四边形，

团P。与48交于。点，

过/作NAfflx轴于"，过尸作尸NHx轴于N,

回四边形APBQ的面积为96,

,

05zμ4OP=⅛四边形APBQ=24,

朋在双曲线上，设P（x,竺），

X

团Sj。尸=S∕OM+S梯形AMNP-S^PON=S梯形AMNP,

吗（3Tlx∙6∣=24,

整理得f-i6χ-36=0和√+16Λ--36=0,

解得久1—18,X2——2,x3=2,X4=18

EP在第一象限，

解得x=2或18,

BP（18,1）或（2,9）；

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数与几何图形综合，反比例函

数k的几何意义，解一元二次方程，掌握反比例函数的图象与相纸是解题的关键.

14、（1）反比例函数的表达式为y=—%一次函数的表达式为y=—x+3

(2)点P的坐标(6,-§或(-6,|)

【分析】(1)先把点4(-1,4)代入反比例函数y=个求出右，再求出点8的坐标，最后求

出一次函数解析式；

(2)先根据面积求出点尸的横坐标，再代入解析式计算即可.

【解析】⑴把点4(一1,4)代入反比例函数y=自得，4=旨

Elfc2=-4，

团反比例函数的表达式为y=-%

将点8(4,九)代入y=-：得，n==-1,

0β(4,-l),

fclfe

将4、B的坐标代入y=k1x+bW[^ΛJ2解得汽=T

(4KI十。一一上，Ib=3.

回一次函数的表达式为y=—%+3.

(2)在y=-x+3中，令％=0,则y=3,

团直线4B与y轴的交点C为(0,3),

设P(%y),由题意得2×3×|%|=9,

团IXl=6,

0%=6或%=—6,

当％=6时，y=—^=—此时点尸的坐标为(6,—：)；

当％=-6时，y=—^=|,此时点尸的坐标为(—6,∣)∙

团点P的坐标(6,—|)或(一6,|).

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数

的解析式，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

15、(1)√5;1.(2)Λ=2+√3.

【分析】(1)由AC和k的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长度，由

点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出ABOD的面积；

(2)根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式

即可求出AB、AO的长度，由AO=AB即可得出关于k的方程，解之即可求出k值，再根据

k>l即可确定k值.

【解析】解：(1)13AC=1,k=2,

回点A(1,2),

IaoC=2,OA=√AC2+OC2=√5.

团点B在反比例函数y=：(×>0)的图像上，

0S∆BθD=∣∣k∣=1.

故答案为近；1.

(2)0A,B两点在函数y=：(x>0)的图像上，

0A(1,k),B(k,1),

----------I22

ElAO=Vtl2+k2,AB=J区-1)+〈1-k).

IUAO=AB,

______I22

0√12+k2=Jrk-1；+a-k),

解得：k=2+√5或k=2-√5.

0k>l,

0k=2+√3.

【点评】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及

两点间的距离公式，解题的关键是：(1)根据反比例函数系数k的几何意义直接求面积；

(2)由两点间的距离公式得出关于k的方程解题的关键.

16、⑴①CE=法；②>,理由见解析

(2)①$1；②1,理由见解析

【分析】(1)①利用直角三角形斜边中线的性质求出EC.

②根据垂线段最短，可得结论，根据完全平方公式进行证明即可求解.

(2)①根据m,n的值代入计算即可.

②如图2中，过点M作Ma1X轴于4,ME1y轴于E,过点N作NB1X轴于B,NF1y轴

于F,连接MN,取MN的中点/,过点/作/GIy轴于G,/CIx轴于C,则八等，手)，根

据反比例函数k的几何意义，求解即可.

【解析】(1)解：①IL4D=α,BD=b,AC1BC,E为AB的中点，

IaZTIeB=90°,AE=EB,

.∙.FC=∣ΛB=∣(α+h),

②∙∙∙CD1AB,

•••根据垂线段最短可知，CE>CD,

V(√α-√h)2≥0,0<a<b

.,.a—2√0h+ð>0

即Q÷ð>2Vah

...叱>疯

2

VCE=—,CD=Vab,0<a<b

2

.∖CE>CD

故答案为：>;

(2)解：①当?n=l,几=3时，p=m+n=4,q=~+=∣+i=L=：pq=：X

.44

4×-=-；

33

Illl11

当τn=2,n=2时，p=?n+τι=4,q=­+-=一+-=1,I=-pq=-×4×l=l;

L'Tnn224厂？4

故答案为：-,1；

②猜想：/的最小值为L

故答案为：1.

理由：如图2中，过点M作MAlX轴于4MELy轴于E,过点N作NBjLX轴于B,NF1

y轴于尸，连接MN,取MN的中点/,过点/作/Gly轴于G,/C_Lx轴于C,则/（等，

V）-

当Tn≠兀时，点/在反比例函数图象的上方，

.∙.矩形/COG的面积＞1,

当Tn=Zl时，点/落在反比例函数的图象上，矩形/COG的面积=1,

矩形/COG的面积》1,

,m+nτ∏+"、1

∙∙

即1,

•,」的最小值为1.

【点评】本题考查了考查了反比例函数的性质，直角三角形斜边中线的性质、二次根式的

混合运算等知识，解题的关键是理解反比例函数k的几何意义.

17、3

【分析】根据反比例函数上值得意义及三角形面积公式即可得到答案.

【解析】解：由题意得,

SAOP4=3。A×PA=∣xy=ɪ×6=3,

故答案为3.

【点评】本题考查反比例函数上与面积关系，解题的关键是理解上的意义.

18、(1)8；(2)10.

【分析】(1)将点A的坐标为(2,4)代入y=∕(x>0),可得结果；

(2)利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式

可得结果.

【解析】解：(1)将点4的坐标为(2,4)代入y=HX>0),

可得k=xy=2x4=8»

・・.k的值为8；

(2)∙∙∙k的值为8,

・•・函数y=/的解析式为y=

•・・D为。C中点，OD=2,

・・・OC=4,

点B的横坐标为4,将X=4代入y=p

可得y=2,

•・•点8的坐标为(4,2),

S四边形OABC=s∆A0D+sggaι^ABCD=∣×2×4+∣(2+4)×2=10.

【点评】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题

的关键.

19、⑴四边形PC的面积为2；

⑵证明见解析.

【分析】(1)根据题意，先求出点。的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到

点P的横坐标；利用矩形的面积计算公式及反比例函数左值的几何意义，利用

^BiilKODPC=sKjilKOAPB~s^OBD~S&OAC>求解即可得；

(2)根据题意可得点C的坐标为(2a,ɪ)，得出PC=S=3,结合图象可得DP∣∣4E,

aa

利用平行线的性质及全等三角形的判定可得4DPC≤ΔEAC,根据全等三角形的性质得出

DP=AE,由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明.

(1)

解：团点。的横坐标为α,且点。在函数y=：图象上，

El点D的纵坐标y=

又尸8珈轴，且点尸在y=：图象上，

团点P的纵坐标y=

团点P的横坐标为X=2α,

2

〃，一)；

EIP(2a

212

团S四边形%PB=2QXG=4,SXoBD=SA。AC=IXQX展=ɪ,

13S四边形0DPC=4-2x1=2,

团四边形ODPC的面积为2；

(2)

证明：明4取轴于点4交函数y=：图象于点C,

团点。的坐标为(

20-a),

又(2a,-),

∙.∙Pa

团PC=CA=

团PB1y轴，

即P∣∣4E,

团乙PDE=∆DEAf∆DPA=∆PAEf

在AOPC与

乙PDE=Z.DEA

∆DPA=Z.PAE,

PC=AC

[?!△DPC≡ΔEAC9

WP=AEf

团四边形NEP是平行四边形.

【点评】此题考查反比例函数的性质、反比例函数图象与几何图形、坐标与图形、平行线

的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理等知识，熟练掌握反比例函数

的性质及计算方法是解题的关键.

、(；回的面积是不变的常数理由见解析.

20l)y=3X(2)1(3)MNP1,

【分析】(1)将点/的坐标代入V=X+1得："=1+1=2,故点4(1,2),进而求解；

⑵MV班轴，故MNaV轴，则EWP的面积S=SzOΛ∕N=*=l;

(3)由(2)知团MNP的面积为1,为常数，即可求解.

【解析】解：(1)将点/的坐标代入y=x+l得：«—1+1=2,故点/(1,2),

设反比例函数的表达式为：y=3将点/的坐标代入上式得：2=f,解得：k=2,

yX1

故反比例函数表达式为：

y=4X

(2)GlMA妙轴，故MVar轴，

则I3M7VP的面积S=SQMN=Wk=I;

(3)由(2)知SWMP的面积为1,为常数，

故awvp的面积是不变的常数1.

【点评】此题主要考查一次函数、反比例函数和几何综合，熟练掌握函数图象和性质是解

题关键.

21、(l)y=­2.x+8>y=∣

(2)0<x<1或%>3

(3)8

【分析】(1)把4的坐标代入反比例函数解析式即可求得右的值，然后把X=3代入即可

求得?n的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；

(2)根据图象可得结论；

(3)求出点C的坐标,根据SAAOB=SABOC—Sea。C即可求解.

【解析】(1),；4(1,6),8(3,Tn)在y=当的图象上，

∙*∙k-2=6,

・••反比例函数的解析式是y=∣.

**•771=2.

∙.∙A(1,6),B(3,2)在函数y=∕qx+b的图象上,

解得：

则一次函数的解析式是y=-2x+8.

所以一次函数的解析式是y=—2X+8,反比例函数的解析式是y=*

(2)由图象得：当0<%<1或%>3时，k1x+h<y；

(3)•••直线>=一2%+8与、轴相交于点。，

二C的坐标是(0,8).

∙"∙ShAOB~SABOC-SAAOC=ɪ×8×(3—1)=8.

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析

式是解题关键.

3Q

22、(i)<z=-.y2=-

(2)x的取值范围是X>2或一6<x<0

(3)存在,P的坐标为(6,|)或(—6,—|)

【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)观察函数图象即可求解；

(3)SACOD=之。DXyC=TX2X3=3,设点P的坐标为(，机)，则SAPAo=之人。.1m1=

ɪ×4×∣m∣=3,即可求解.

【解析】(1)(1)将点Z的坐标代入％=QX+3得：0=-4α+3,

解得α=p

故一次函数的表达式为yι=∣x+3①，

令X=0,则为=3,故点B(0,3)；

在RtAABO中，OB=3,OA=4,则BA=5,

而器=3则BM=3,

AB5

则点M的坐标为(3,3),则点C的纵坐标为3,

将点M的坐标代入丫2=5并解得k=9,

故反比例函数表达式为了2=：②

(2)联立①②得：∣=∣x+3,解得％=2或一6,

故点N、E的横坐标分别为2,-6,

从函数图象看，yι>y2»自变量X的取值范围是％>2或一6VXV0；

(3)WD=∣0Λ,则。。=2,

则S^coo=2。。XyC=^X2X3=3,

设点P的坐标为(∖m),

则SAPAO=I>40∙∣m∣=ɪ×4×∣zn∣=3,

解得m=±|,

故点P的坐标为(6,|)或(-6,

【点评】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查的是反比例函数与一次函数的性

质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中.

、；

23(1)V=-X(2)6.

【解析】试题分析：(1)将5点坐标代入y=5中，求得k值，即可得反比例函数的解析

式：(2)分别求得点C、点/、点。的坐标，即可求得IlMC。的面积.

试题解析：

kk

⑴将8点坐标代入y=r中，得'=2,解得％=6,

6

团反比例函数的解析式为尸

(2)回点8与点C关于原点。对称，

回C点坐标为(-3,-2).

皿取轴，CDELt轴，

Ew点坐标为(3,0),。点坐标为(-3,0).

II

^SΔACD^AD-CD^)×∖3-[-3)]×∖-2∖=6

24、(1)>7=1,k=-I

⑵(-3,0)或(3,0).

【分析】(1)将点Z(-3,〃)代入尸I可求出〃的值，进而求出