山东省潍坊市昌邑市2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试卷

九年级数学参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在实数1、﹣1、、中，最大的数是（）A．1 B．﹣1 C． D．【考点】实数大小比较；算术平方根．【答案】D【分析】先求出的近似值，然后根据正负数的大小比较即可．【解答】解：∵，∴，∴最大的数是，故选：D．【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键．2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【答案】D【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．3．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．b+c＞0 D．|a|＞|b|【考点】实数与数轴．【答案】D【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【解答】解：A、∵a＜﹣4，∴结论A错误；B、∵b＜﹣1，d＝4，∴bd＜0，结论B错误；C、∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，∴b+c＜0，结论C错误；D、∵a＜﹣4，b＞﹣2，∴|a|＞|b|，结论D正确．故选：D．【点评】本题考查了实数与数轴以及绝对值，观察数轴，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．4．右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【答案】C【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图如下：．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．5．一次函数y＝kx+2和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（）A． B． C． D．∞【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．【答案】C【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵y＝kx+2，∴b＞0，∴一次函数图象与y轴交点在y轴正半轴．故A、B选项不符合题意；C、因为一次函数图象经过一、二、三象限所以k＞0，由反比例函数经过一、三象限所以k＞0，故C选项符合题意；D、因为一次函数图象经过一、二、三象限所以k＞0，由反比例函数经过二、四象限所以k＜0，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．6．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B分别是坐标轴上的点，将△OAB沿x轴正方向平移个单位长度得到△FDE，若A（0，3），，则四边形ABEG的面积是（）A． B．4 C． D．【考点】坐标与图形变化﹣平移；三角形的面积．【答案】C【分析】根据四边形ABEG的面积等于梯形GOFD的面积，即可得出答案．【解答】解：∵A（0，3），，∴OA＝3，OG＝1，根据平移可得四边形ABEG的面积等于梯形GOFD的面积，OF＝，DF＝OA＝3，∴四边形ABEG的面积是（1+3）××＝．故选：C．【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质是关键．二．多选题（共4小题）（多选）7．下列说法正确的有（）A．（﹣2）﹣2＝4 B． C． D．【考点】立方根；负整数指数幂；算术平方根．【答案】BD【分析】利用负指数幂，二次根式的性质，立方根的性质以及分母有理化法则化简即可．【解答】解：A、，故错误，不合题意；B、，故正确，符合题意；C、，故错误，不合题意；D、，故正确，符合题意；故选：BD．【点评】此题主要考查了负指数幂，二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．（多选）8．下列说法正确的是（）A．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角；垂线；垂线段最短．【答案】ABD【分析】A．根据同一平面内两条直线的位置关系可知，可判断出A是否正确；B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断出B是否正确；C．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，说法错误，也可能是同位角，可判断出C是否正确；D．根据垂直的性质，可判断出D是否正确．【解答】解：A，根据同一平面内两条直线的位置关系可知，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行的说法是正确的，选项A符合题意；B，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项B符合题意；C，如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，说法错误，也可能是同位角，选项C不符合题意；D，根据垂直的性质：从直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短，选项D符合题意；故选：ABD．【点评】本题主要考查了平行线的性质、同位角、对顶角、垂线最短等知识点，解题关键是熟悉相关的定义和判定方法．（多选）9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，n），其部分图象如图所示．下列结论正确的是（）A．3a+c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．若，是抛物线上的两点，则y1＞y2 D．关于x的方程ax2+bx+c＝n+1无实数根【考点】二次函数的性质．【答案】CD【分析】由抛物线顶点坐标可得抛物线对称轴，从而可得b与a的关系，由x＝﹣3时，y＜0可得x＝1时y＞0；由图象得x＝﹣2时y＞0，从而可得4a﹣2b+c＞0；由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，根据点，到对称轴的距离大小可判断y1＞y2；由抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，可判断方程ax2+bx+c＝n+1无实数根．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（﹣1，n），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，由图象可得x＝﹣3时，y＜0，由抛物线对称性可得x＝1时，y＝a+b+c＝3a+c＜0，∴A错误，由图象可得x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，B错误．∵﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣），抛物线开口向下，∴y1＞y2，C正确．∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n+1无交点，∴方程ax2+bx+c＝n+1无实数根．D正确．故选：CD．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．（多选）10．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”，玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，则（）A．∠ABC＝ B．弧AD的长为 C．该平面图形的周长为 D．该平面图形的面积为【考点】弧长的计算；平行线的性质；圆周角定理．【答案】CD【分析】设O是扇形的圆心，由题意可知BC是△AOD的中位线，得出OA＝OD＝AD＝4，证得△AOD是等边三角形，得出∠BAD＝∠ADC＝∠AOB＝60°，根据平行线的性质得出∠ABC＝120°，利用弧长公式求得弧AD的长为，进而即可求得该平面图形的周长为，利用扇形的面积公式和的表示矩形的面积即可求得该平面图形的面积为．【解答】解：设O是扇形的圆心，∵AD∥BC，AD＝2AB＝2CD＝2BC＝4，∴B、C分别是OA，OD的中点，∴OA＝OD＝4，∴△AOD是等边三角形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠AOB＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°，故A不合题意；的长为：＝，故B不合题意；该平面图形的周长为2+2+2+＝，故C符合题意；∵S扇形AOD＝＝，∴该平面图形的面积＝S扇形AOD﹣S△BOC＝﹣×＝﹣，故D正确．故选：CD．【点评】本题考查平行线的性质，的表示矩形的判定和性质，弧长的计算，扇形的面积，掌握弧长的计算公式以及扇形的面积公式是正确解答的前提，求出弧AD所对应的圆心角和半径是正确解答的关键．三．填空题（共4小题）11．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为﹣1．【考点】二元一次方程组的解．【答案】见试题解答内容【分析】已知方程组的解，求系数，可把解代入原方程组，得到关于a、b的新方程组，进行解答，求出a、b的值即可．【解答】解：∵把代入二元一次方程组，得：，①+②得：4a＝8，解得：a＝2，把a＝2代入①得：b＝3，∴a﹣b＝2﹣3＝﹣1；故答案为：﹣1．【点评】此题考查了二元一次方程组的解的定义及二元一次方程组的解法，是基础知识，需熟练掌握，注意掌握二元一次方程组的两种解法．12．若利用计算器求得≈2.573，≈8.136，则根据此值估计6619的算术平方根是81.36．【考点】计算器—数的开方．【答案】81.36．【分析】被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，据此依据．【解答】解：被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍，∵，∴．故答案为：81.36．【点评】本题主要考查计算器﹣数的开方和数字的变化规律，解题的关键是得出被开方数每扩大为原来的100倍，其算术平方根相应的扩大为原来的10倍的规律．13．如图，Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，反比例函数的图象经过AC的中点D，若S△AOC＝6，则k的值为﹣6．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【答案】﹣6．【分析】根据题意可得S△OCD＝S△AOC＝，依据反比例函数k值几何意义可解得k值．【解答】解：∵D是AC的中点，S△AOC＝6，∴S△OCD＝S△AOC＝，∵Rt△AOC的直角边OC在x轴上，∠ACO＝90°，∴丨k丨＝2S△OCD＝2×3＝6，∵图象在第二象限，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，求出S△OCD是关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，以C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点D，以A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，则＝．【考点】勾股定理．【答案】．【分析】由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，先利用勾股定理计算出AC＝2，则AD＝2﹣2，所以AE＝2﹣2，再计算出BE＝6﹣2，然后计算的值．【解答】解：由作法得CD＝CB＝2，AE＝AD，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝2，∴AD＝AC﹣CD＝2﹣2，∴AE＝2﹣2，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．四．解答题（共7小题）15．先把代数式化简，然后再从1、2、3中选择一个合适数字代入求值．【考点】分式的化简求值．【答案】x﹣2，当x＝3时，原式＝1．【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式＝x﹣2，然后根据分式有意义的条件可以把x＝3代入计算即可．【解答】解：原式＝•………………6分＝x﹣2，………………8分∵x﹣2≠0且x﹣1≠0，∴x可以取3，………………9分当x＝3时，原式＝3﹣2＝1．………………11分【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【答案】﹣2＜x≤1，在数轴上表示见解析过程．【分析】先求出不等式组的解集，然后再数轴上表示出解集即可．【解答】解：，解不等式①得：x≤1，………………3分解不等式②得：x＞﹣2，………………6分所以﹣2＜x≤1；………………8分在数轴上表示如下：．………………11分【点评】本题主要考查了解不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求出不等式组的解集是解答本题的关键．17．在互联网发达的今天．网络电商平台越来越多．针对人们常用的购物商城使用情况，某实验学校对九年级部分学生自己喜爱的商城情况进行调查了解：A．某宝；B．某拼；C．某东；D．某会；E．某猫．将自己喜爱的商城人数绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次参加调查的学生人数是80；把条形统计图补充完整；（2）若在C组中选出的3名同学（1名男生和2名女生）和E组中选出的3名同学（2名男生和1名女生）中各推荐1名学生在主题班会上发言推荐自己喜爱的商城，请用列表或画树状图的方法求所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【答案】（1）80，把条形统计图补充完整见解析；（2）．【分析】（1）由B组人数和所占的百分比即可得出本次参加调查的学生人数，再求出D组的人数，补充完整条形统计图即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生的结果有5种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次参加调查的学生人数为：＝80，………………3分故答案为：80；D组的人数为：80﹣（16+18+20+8）＝18，………………4分把条形统计图补充完整如下：………………6分（2）画树状图如下：………………10分共有9种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生的结果有5种，∴所选两名同学中恰好是1名男生和1名女生的概率为．………………12分【点评】本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质；三角形中位线定理．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由三角形中位线定理得DE＝BC，DE∥BC，再由CF＝BC，得DE＝CF，即可得出结论；（2）过点D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠B＝60°，BD＝AB＝4，则∠BDH＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得BH＝DB＝2，由勾股定理得DH＝2，然后由CF＝CB＝4，即可求解．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，………………3分∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形．………………6分（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，∵∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝DB＝2，………………7分∴DH＝＝，………………10分∵CF＝CB＝4，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．………………12分【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFC为平行四边形是解题的关键．19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AB＝20，CD＝12．求AE的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【答案】（1）见解答；（2）．【分析】（1）连接OC，BC，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用勾股定理在Rt△OCH中求出OH＝8，根据OC⊥CF，CH⊥OE，∠COH＝∠EOC，得出△OCH∽△OEC，求出OE的长，则AE＝OA+OE．【解答】（1）证明：连接OC、BC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，AO＝OB，………………1分∵AB⊥CD，∴AB平分弦CD，AB平分，………………2分∴CH＝HD，，∠CHA＝90°＝∠CHE，∴∠BAD＝∠BAC＝∠DCB，………………3分∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝2∠BAD＝2∠BCD，∵∠ECD＝∠ECB+∠BCD，∴∠BCE＝∠BCD，∴∠BCE＝∠BAC，∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠OCA，∴∠ECB＝∠OCA，………………5分∵∠ACB＝90°＝∠OCA+∠OCB，∴∠ECB+∠OCB＝90°，∴半径CO⊥FC，∴CF是⊙O的切线；………………7分（2）解：∵AB＝20，CD＝12，在（1）的结论中有AO＝OB＝10，CH＝HD＝6，在Rt△OCH中，OH＝＝8，………………8分∵OC⊥CF，CH⊥OE，∠COH＝∠EOC，∴△OCH∽△OEC，………………10分∴，∴，∴OE＝，∴AE＝OA+OE＝10+＝．………………13分【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．20．如图所示，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD＝∠B．（Ⅰ）求证：AD是⊙O的切线；（Ⅱ）若AD＝2CD＝3时，求阴影部分的面积．【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；圆周角定理．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）π−【分析】（Ⅰ）连接OD，由OD＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠CAD＝∠ODB，求出∠ADO为90°，即可证AD是⊙O的切线；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到CD＝，∠CAD＝30°，求得∠B＝30°，得到∠CAB＝60°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，如图所示：∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，………………2分∵∠B＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODB，………………3分在Rt△ACD中，∠CAD+∠CDA＝90°，∴∠ADO＝180°﹣（∠ADC+∠ODB）＝90°，………………5分∴OD⊥AD，∵OD是半径，∴AD为⊙O的切线；………………7分（Ⅱ）∵AD＝2CD＝3，∠C＝90°，∴CD＝，∠CAD＝30°，∵∠CAD＝∠B，∴∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，………………9分∵OD＝OB，∴∠ODB+∠B＝60°，∴∠DOB＝120°，∵AD＝3，AO＝2OD，∴AO2＝AD2+OD2，∴（2OD）2＝32+OD2，∴OD＝，………………11分∴阴影部分的面积＝−12【点评】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．21．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．（1）直接写出b，c的值；（2）如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l的右侧时，连接PA，过点P作PD⊥PA，交直线l于点D．若PA＝PD，求m的值；（3）过点P作x轴的平行线与直线BC交于点Q，线段PQ的长记为d．求d关于m的函数解析式。【考点】二次函数综合题．【答案】（1）b＝2，c＝3；（2）；（3）；【分