11.7反比例函数与几何综合大题专练（重难点培优）-苏科版八年级下册数学尖子生同步培优练习（含答案解析）

第11章反比例函数11.7反比例函数与几何综合大题专练（重难点培优）姓名：_________班级：_________学号：_________一、解答题（共24小题）1．如图，在矩形中，，，点是的中点，反比例函数且的图象经过点，交于点，直线的解析式为．（1）求反比例函数的解析式和直线的解析式；（2）在反比例函数的图象上找一点，使的面积为1，求点的坐标．2．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的，两点，已知点的纵坐标是3．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出的解集；（3）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点，如果的面积为36，求平移后的直线的函数表达式．3．如图，函数与的图象相交于点，．（1）结合图象，直接写出不等式的解集：；（2）求和的值；（3）连接、，求的面积．4．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点．（1）求的值；（2）已知点，，过点作平行于轴的直线，与图象交于点，与直线交于点．我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象在点、之间的部分与线段、围成的区域不含边界）为区域．①当时，区域内的整点的坐标是；②若区域内的整点恰好为6个，则的取值范围为．5．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．（1）分别求一次函数与反比例函数的关系式；（2）设函数．①当时，则的值为；②写出函数的增减性；③在图中画关于的函数图象．6．如图，过点，的直线与反比例函数的图象交于点，点在反比例函数的图象上，且在点的右侧，过点作轴的平行线交直线于点．（1）求直线和反比例函数的表达式；（2）若面积为，求点的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，轴，，．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点作轴，垂足为点，连接、，如果，求点的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，且，．过点作轴交反比例函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数的表达式和点的坐标．（2）求的面积．（3）请直接写出不等式的解集．9．如图，直线与双曲线相交于点，和点．（1）求的值和直线的表达式；（2）请根据图象直接写出不等式的解集．10．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点．（1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；（2）当，时，直接写出自变量的取值范围为；（3）点是轴上一点，当时，请直接写出点的坐标为．11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，轴于点，轴于点，一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，．（1）求点的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图象写出当取何值时，一次函数的值不小于反比例函数的值？12．如图，函数的图象与函数的图象交于点，．（1）求函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式的解集；（3）若点是轴上的动点，当周长最小时，求点的坐标．13．如图，在直角坐标系中，一直线经过点与轴正半轴交于点，在轴正半轴上有一点，且，过点作轴交直线于点，反比例函数经过点．（1）求，的值；（2）求的面积；（3）在反比例函数的图象上找一点（异于点，使与的面积相等，求出点坐标．14．如图，平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与双曲线分别交于点，（点在第一象限，点在第三象限），作轴于点，，，．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出使的取值范围；（3）在轴上是否存在一点，使？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点．（1）求和的值；（2）点在轴正半轴上，且的面积为1，求点坐标；（3）在（2）的条件下，点是一次函数上一点，点是反比例函数图象上一点，且点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，对角线轴，边所在直线与反比例函数的图象交于，两点．（1）求和的函数解析式；（2）当时，求的取值范围；（3）点是轴上一动点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点的坐标．17．如图，动点在函数的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，交函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．（1）若点的坐标为①点坐标为，点坐标为，直线的函数表达式为；②点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；（2）连接、．①当时，求的长度；②试证明的面积是个定值．18．如图，点和是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（3）从下面，两题中任选一题作答．．在（2）的条件下，设点是坐标平面内一个动点，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点的坐标．．设直线交轴于点，点是坐标平面内一个动点，点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形能构成菱形吗？若能，请直接写出点的坐标；若不能，说明理由．19．在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”．（1）若，则点的“影射点”的坐标是；点的“影射点”的坐标是；（2）若点在一次函数的图象上，其“影射点”在一次函数的图象上，则的值是；（3）如图，已知点是点的“影射点”，点是反比例函数图象上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值．20．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．（1）求的值和反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式的解集；（3）在反比例函数图象的第一象限上有一动点，当时，直接写出点纵坐标的的取值范围．21．如图，矩形的顶点，分别落在轴，轴的正半轴上，顶点，，反比例函数的图象与，分别交于，，．（1）求反比例函数关系式和点的坐标；（2）写出与的位置关系并说明理由；（3）点在直线上，点是坐标系内点，当四边形为菱形时，求出点的坐标并判断点是否在反比例函数图象上．22．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数和一次函数于、两点．以为对角线作正方形．（1）当时，求点的坐标．（2）在点运动过程中，求正方形被轴截出的三角形部分的面积与的函数表达式．（3）当正方形边或所在的直线通过点时，求的值．23．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，双曲线交于点，交于点，其中．（1）求反比例函数的表达式及点坐标；（2）判断与的位置关系，并说明理由；（3）点在轴正半轴上，反比例函数图象上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）直接写出当时，的解集；（3）若点为轴上一点，是等腰三角形，直接写出点的坐标．（4）已知点，连接，过原点的直线将四边形分成面积相等的两部分，用尺规作图，作出直线，保留作图痕迹，并直接写出直线的解析式．参考答案一、解答题（共24小题）1．【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到，代入且求得反比例函数的解析式，进而求得，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）设为，由的面积为1，得到，解得或，即可求得的坐标为或．【解答】解：（1）点是的中点，，，四边形是矩形，，，反比例函数且的图象经过点，，反比例函数的解析式为，当时，，，把和代入得，，，直线的解析式为；（2）设为，的面积为1，，解得或，的坐标为或．2．【分析】（1）将代入一次函数解析式中，求出的值，即可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式；（2）关键图象即可求得；（3）令平移后直线于轴交于点，连接、，设平移后的解析式为，由平行线的性质可得出，结合正、反比例函数的对称性以及点的坐标，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）令一次函数中，则，解得：，即点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的表达式为；（2）由图象可知，的解集为或；（3）设平移后直线于轴交于点，连接、如图所示．设平移后的解析式为，该直线平行直线，，的面积为36，，由对称性可知：，，，，，平移后的直线的函数表达式为．3．【分析】（1）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，即可求得，进而求得；（3）先利用待定系数法求出一次函数解析式，则可确定，根据三角形面积公式，利用进行计算．【解答】解：（1）点，，观察图象，不等式的解集为或．故答案为或．（2）的图象过点，．，解得，；（3）把，分别代入得，解得，一次函数解析式为，当时，，解得，则，，．4．【分析】（1）把代入求得，然后根据待定系数法即可求得的值；（2）①当时，得到为，，结合图象即可得到结论；②分两种情况，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）反比例函数的图象与直线交于点．，，，反比例函数的图象经过，；（2）①当时，则为，，在区域内整数点为：，故答案为；②若区域内的整点恰好为6个，当点在点的左侧时，整点为，，，，，，；当点在点的右侧时，整点为，，，，，，，综上所述，若区域内恰有6个整点，的取值范围为：或，故答案为或．5．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）①中，当时，则，的值就是函数与的交点横坐标；②当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而增大；③画出函数的图象即可．【解答】解：（1）把，两点代入得，解得，一次函数为，把代入得，，反比例函数为；（2），，①当时，则．一次函数与反比例函数的图象交于，两点，的值为1或，故答案为1或；②函数随的增大而增大，函数在每个象限内随的增大而增大，当时，函数随的增大而增大，当时，函数随的增大而增大；③列表：12340403描点、连线，画出函数的图象如图，6．【分析】（1）设直线的解析式为，把点，代入，根据待定系数法即可求得直线的解析式，由直线解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；（2）表示出、的坐标，然后根据三角形面积公式得到，整理得，解得或，即可求得点的坐标为或．【解答】解：（1）设直线的解析式为，把点，代入得，解得，直线为，点在直线上，，，反比例函数的图象过点，，反比例函数为；（2）轴，、的横坐标相同，设，则，，整理得，解得或，点的坐标为或．7．【分析】（1）由条件可求得点坐标及，由则可求得点坐标，代入反比例函数解析式可求得的值，可求得反比例函数解析式，把点，点坐标代入求出一次函数的解析式；（2）设出的坐标，从而可分别表示出和的面积，由条件可列出方程，从而可求得点坐标．【解答】解：（1），，，，，，，，，，轴，点的坐标为，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内交于点，将，代入中，联立可得：，解得：，一次函数的解析式为，点在反比例函数的图象上，将代入中，可得：，解得：，反比例函数解析式为；（2）设点，根据题意得，点在第三象限，，，，由（1）可知一次函数的解析式为，又一次函数图象与轴交于点，令代入，可得：，，，，，，，解得：，当时，，，．8．【分析】（1）先得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式，进而即可求得的坐标；（2）根据一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将代入，求出的值，那么．根据三角形面积公式即可求得；（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）在一次函数的图象上，．解得，，点在反比例函数的图象上，反比例函数的表达式为，在反比例函数的图象上，解得，点的坐标为，；（2）把代入，得，，轴，点的纵坐标为2，又点在反比例函数的图象上，，解得，．；（3）观察图象可知，不等式的解集为或．9．【分析】（1）首先利用点的坐标根据待定系数法求得反比例函数的解析式，然后代入，即可得出点坐标，最后根据待定系数法即可得出直线的解析式；（2）根据图象求得即可．【解答】解：（1）双曲线经过，，，双曲线为，把代入得，，解得，，把、的坐标代入得，解得：，一次函数解析式为：；（2）由图形可知，不等式的解集为：或．10．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（3）先求得的坐标，然后根据求得的面积，即可求得，根据中心对称的性质得出，即可得到，从而得到，求得，即可求得的坐标．【解答】解：（1）将，代入得，解得，一次函数为，将代入得，解得，反比例函数的解析式为；（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或，故答案为或；（3）由题意可知，，把代入得，，解得，，，，，，即，，或，故答案为或．11．【分析】（1）计算一次函数的自变量为0时的函数值可得到点坐标；（2）利用平行线分线段长比例定理，由得，再利用三角形面积计算出，则，然后把点坐标分别代入和求出和的值，从而得到两个函数解析式；（3）在第四象限内，写出一次函数图象不在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）当时，，则；（2），，，，，，解得，，把代入得，解得，一次函数解析式为；把代入得，反比例函数解析式为；（3）当时，一次函数的值不小于反比例函数的值．12．【分析】（1）先把，分别代入中求出、的值得到，，然后把点坐标代入中得到的值，从而得到反比例函数解析式；（2）写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，根据两点之间线段最短判断此时的值最小，周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到点的坐标．【解答】解：（1）把，分别代入得，，解得，，；把代入得，反比例函数解析式为；（2）不等式的解集为或；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于，如图，则，，此时的值最小，周长最小，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为，点的坐标为．13．【分析】（1）利用待定系数法即可求得，进而求得的坐标，根据的坐标求得的坐标，代入反比例函数的解析式即可求得的值；（2）根据三角形的面积公式求得即可；（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于，此时与同底等高，所以与面积相等，先求得直线的解析式，进而求得直线的解析式，然后联立方程即可求得的坐标．【解答】解：（1）直线经过点，，解得，直线的解析式为，由直线的解析式可知，，把代入得，，，反比例函数经过点，；（2）；（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于，此时与同底等高，所以与面积相等，，，直线的解析式为，直线的解析式为，解得或，点坐标为．14．【分析】（1）在中，，再用待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）设点的坐标为，则，而，即可求解．【解答】解：（1）在中，，故点、的坐标分别为、，将点、的坐标代入直线的表达式得，解得，故直线的表达式为①，当时，，故点，将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，故反比例函数的解析式②；（2）联立①②并整理得：，解得或，故点，观察函数图象知，的取值范围是或；（3）设点的坐标为，则，而，解得或，故点的坐标为或．15．【分析】（1）将点，点坐标代入解析式，可求解；（2）联立方程组可求点坐标，由的面积，可求点坐标；（3）由平行四边形的性质可得，，由两点距离公式可求解．【解答】解：（1）一次函数与轴相交于点，与轴相交于点．，；（2），，，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，（舍去），点设点的面积，点坐标为；（3）点、都在轴上方．如果以、、、为顶点的四边形为平行四边形，，，设点，则点，，，或，，（舍去），（舍去），，点，点或点，，点，．16．【分析】（1）由图形的对称性知，点、关于对称，则点的坐标为，进而求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）由，即，即可求解．【解答】解：（1）连接，四边形为菱形，轴，由图形的对称性知，点、关于对称，则点的坐标为，将点、的坐标代入直线的表达式得，解得，故①；将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，则②；（2）联立①②得：，解得（舍去）或3，则点，观察函数图象知，当时，则的取值范围为或；（3）设点的坐标为，由点、、的坐标得：，，，由题意得：，即，解得，故点的坐标为，或，．17．【分析】（1）①把代入中求得点的纵坐标，进而得点坐标，把代入中求得点的横坐标，进而得点坐标，再用待定系数法求得的解析式；②设，，显然为平行四边形的对角线时不存在，则必为平行四边形的边，分别两种情况或，求出结果便可；（2）①设，则，，由列出方程求得，由两点距离公式求得；②延长与轴交于点，设，则，，，根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．【解答】解：（1）①点的坐标为，轴，轴，，，把代入中，得，，把代入中，得，，把、的坐标都代入中，得，解得，，．故答案为：，；；；②设，，当四边形为平行四边形时，，，，，，，，，，，当四边形为平行四边形时，，，，，，，，，，，，；（2）①设，则，，，，，解得，，；②延长与轴交于点，设，则，，，，，，，，为常数，的面积是个定值．18．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，进而求解；（3）：分是边、是对角线两种情况，利用图形平移和中点公式分别求解即可．：分为边、是对角线两种情况，利用菱形的性质分别求解即可．【解答】解：（1）将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，故反比例函数表达式为，当时，，即点的坐标为，将点、坐标代入一次函数表达式得：，解得，故一次函数表达式为；（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点为所求点，理由：的周长为最小，由点、的坐标，同理可得：的表达式为，故点的坐标为；（3）能，理由：：由（1）（2）知，点、、的坐标分别为、、，设点的坐标为，①当是边时，则点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，同样点（D）向右平移2个单位向下平移4个单位得到，则，或，，解得或；②当是对角线时，由中点公式得：，，解得；故点的坐标为或或．：由直线的表达式知，点，由点、的坐标知，设点的坐标为，点的坐标为，①当为边时，则或，即或，解得或8（舍去）或4，即或4；②当是对角线时，则且的中点即为的中点，则，解得，综上，点的坐标为或或或．19．【分析】（1）根据“影射点“的定义，将，绕点旋转，根据中心对称即可求得；（2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点“即可求得；（3）根据点是点的“影射点“，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图象上一点，分类讨论构造并证明全等，即可求得．【解答】解：设的坐标是，的坐标是，，绕点旋转，，，，，，，，，，，，，故答案为：，；（2）根据定义，是轴上的点，设，点在一次函数，令，得，则与轴的交点为，其“影射点“在一次函数，令，得，则与轴的交点为，，解得：，故答案为：1；3①如图，当时，连接，分别过，向轴作垂线，垂足为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在上，，解得：或，，，；②如图，当时，过点作轴，分别过．向作垂线，垂足为，，，，，，，，，，，，，，，，，解得：，，，，，，即，，在上，，解得：，综上所述，或．20．【分析】（1）先将点代入，求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的的取值范围即可；（3）过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则，由直线的解析式可得出直线的解析式，联立直线和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，结合函数图象及，可知在的右边，进而求出点纵坐标的的取值范围．【解答】解：（1）直线过点，，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式为；（2）在点右边，即时，直线在双曲线上方，所以不等式的解集是；（3）如图，过点作的平行线，交反比例函数的图象于点，则．直线的解析式为，直线的解析式为．由，解得，点的坐标为；，，在的右边，点纵坐标．21．【分析】（1）求出，，再用待定系数法即可求解；（2）证明，即可求解；（3）①当点在点的下方时，求出，，求出点，则点，即可求解；②当点在点的上方时，同理可解．【解答】解：（1），，则，而，，故点，，将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，故反比例函数表达式为，当时，，故点；（2）由（1）知，，，点，点，，则，，故，，；（3）①当点在点的下方时，当点在点的右方时，如下图，过点作轴于点，四边形为菱形，则，在中，，，则，故，则，，故点，则点，当时，，故点在反比例函数图象上；②当点在点的上方时，同理可得，点，，同理可得，点在反比例函数图象上；综上，点的坐标为或，都在反比例函数图象上．22．【分析】（1）求出点、的坐标，则，，即可求解；（2）当时，；当时，同理可得，，即可求解；（3）当过点时，则，即，解得（负值已舍去）；当过点时，则，即，解得，即可求解．【解答】解：（1）当时，，解得，故点的坐标为，，同理可得，点，，则，，当时，即，解得（舍去）或2，即点；（2）当时，设