2023年四川省绵阳市涪城区中考数学模拟试卷（含答案）

2023年四川省绵阳市涪城区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若|5—用=%—5,则X的取值范围为（）

A.X>5B.X≥5C.X<5D.X≤5

2.如图所示的钢块零件的主视图为（）

3.中国信息通信研究院测算，2020—2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万

亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元.其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（）

A.10.6×IO4B.1.06×IO13C.10.6×IO13D.1.06×108

4.关于等边三角形，下列说法不正确的是（)

A.等边三角形是轴对称图形B.所有的等边三角形都相似

C.等边三角形是正多边形D.等边三角形是中心对称图形

5.已知一组数据：1,2,a,b,5,8的平均数和中位数都是4（α,b均为正整数），在去掉其

中的一个最大数后，该组数据的（)

A.中位数不变B.众数不变C.平均数不变D.方差不变

6.如图，ABCDEF是中心为原点。，顶点4。在X轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐

标为（）

A.(2,2√^3)B.(-2,2)C.(-2,2√-3)D.(-1,√^3)

7.正整数a、b分别满足病<α<悚、。<b<∕7,贝IJba=()

A.4B.8C.9D.16

8.小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁

获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若

两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏,

下列判断正确的是()

A.三人获胜的概率相同B.小明获胜的概率大

C.小颖获胜的概率大D.小凡获胜的概率大

9.等底、等体积的圆柱和圆锥,圆锥的高是6分米，圆柱的高是()

A.2分米B.3分米C.6分米D.18分米

10.如图1,在菱形ABC。中，44=60。，动点P从点4出发，沿折线4。TDCTCB方向匀

速运动，运动到点B停止.设点P的运动路程为X,△4PB的面积为y,y与X的函数图象如图2所

ABO

图1图2

A.√3B.2√3C.3√3D.4√3

11.二次函数y=αM+bx+c的图象不经过第二象限，贝∣J*b、C的取值范围是（）

A.α>0,b<0,c=0B.α<0,b<0,c≤0

C.«<0,b<0,c>0D.α<0,b>0,c≤0

12.如图，在矩形4BCD中，。为4C中点，EF过。点且EF_L4C分别交

DC于F,交AB于E,点G是4E中点且NAOG=30。，则下列结论正确的

个数为（）

①DC=30G;②OG=TBC；③AOGE是等边三角形；④SAAOE=

1

S

6-

矩形ABCD■

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.分解因式α3-81α的结果是.

14.方程告=7¼的解是____.

x—12x-2

15.如图1,△4BC中，。是AC边上的点,先将ABD沿着8。翻折，使点4落在点A处,且4f√∕BC,

交4C于点E（如图2）,又将ABCE沿着AB翻折，使点C落在点C'处，若点C'恰好落在BC上（

如图3）,且ZT'EB=75。，贝叱C=

16.如图，地面上两个村庄C、。处于同一水平线上，一飞行器

在空中以12千米/小时的速度沿MN方向水平飞行,航线MN与C、

。在同一铅直平面内.当该飞行器飞至村庄C的正上方4处时，测

得NM4。=60。，该飞行器从4处飞行40分钟至B处时，测得

∆ABD=75°,则村庄C、。间的距离为千米.（，？≈1.732,

结果保留一位小数）

17.不等式组F?≥2的解集为

IX—4Vo

18.如图，点4是半径为2的。O上一点，点C是。。上一动点（不与点

4重合），以C为直角顶点画等腰直角AABC,O,C在直线AB的两侧,

则线段OB长的最小值为.

三'计算题（本大题共1小题，共12.0分）

19.陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高.家

乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售.去年青李成熟之际，商会收集了大量的

青李，用4B两种型号的货车，分两批装箱运往C市销售，具体运输情况如下表：

第一批第二批

4型货车的辆数（单位：辆）815

B型货车的辆数（单位：辆）410

累计运输物资的吨数（单位：吨）4495

备注：第一批、第二批每辆货车均满载

（1）求4、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？

（2）已知A型车满载运往C市一趟的运费为540元，B型车满载运往C市一趟的运费需要740元,

商会后续又筹集了40吨青李，现需要10辆货车运送青李.为控制运费不超过6600元，试问有

哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？

四、解答题（本大题共6小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.（本小题16.0分）

先化简，再求值：其中cl=（3-仁）。+C）T—QZi*.

a+2αz-4α+33，v

21.（本小题12.0分）

青少年“心理健康”问题越来越引起社会的广泛关注，某区为了解学生的心理健康状况，对

中学初二学生进行了一次“心理健康”知识测试，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘

制了频率分布表和频率分布直方图的一部分.

学生心理健康测试成绩频率统计表

分组频数频率

50〜6040.08

60〜70140.28

70〜80m0.32

80-9060.12

90〜Ioo100.20

合计1.00

请解答下列问题:

(1)学生心理健康测试成绩频率统计表中的m=

(2)请补全学生心理健康测试成绩频数统计图；

(3)若成绩在60分以下(不含60分)心理健康状况为不良，60分-70分(含60分)为一般，70分

-90分(含70分)为良好，90分(含90分)以上为优秀，请补全学生心理健康状况扇形统计图.

22.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系中，直线y=αx+b与双曲线y=/相交于A(I,m),B(n,-2)两点,

直线与X轴、y轴交于C,。两点，且tan乙4OC=1.

(1)求k,a,b的值；

(2)求B的面积.

23.(本小题12.0分)

如图，点E,F分别为矩形ZBCD边4。，CD上的点，以BE为直径作。。交BF于点G,且EF与

。。相切，连结EG.

(1)若4E=EG,求证：AABE三AGBE.

(2)若AB=2,tan∆EBF=ɪ.

①求。E的长.

②连结AG,若AABG是以AG为腰的等腰三角形，求所有满足条件的BC的长.

(3)连结CG,若CG的延长线经过点4,且EC=EG,求雾的值.

24.(本小题12.0分)

如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与％轴交于4(2,0)、B两点,与y轴交于点C,顶点。的坐

标为(4,—2).

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知直线I：y=与抛物线交于E、尸两点(点E在F的左侧)，点G为线段EF上的一个动点，

过G作丁轴的平行线交抛物线于点H,求GH+GF的最大值及此时点G的坐标；

(3)在(2)的条件下，如图2,若点G是OF的中点，将AOBG绕点。旋转，旋转过程中，点B的

对应点为夕、点G的对应点为G',将抛物线沿直线AF的方向平移(两侧均可)，在平移过程中点

。的对应点为D',在运动过程中是否存在点B'和点D'关于△4BF的某一边所在直线对称(B'与

。'不重合），若存在，请直接写出点B'的坐标;若不存在，请说明理由.

图2

25.（本小题14.0分）

定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形.

【性质初探】如图1,已知，°ABCD,4B=80。，点E是边4。上一点，连结CE,四边形ABCE恰

为等腰梯形.求NBCE的度数;

【性质再探】如图2,已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCEF,BF=CE,

连结BE、CF.求证：BE=CF；

【拓展应用】如图3,∙4BC。的对角线AC、BD交于点O,AB=2,NABC=45。，过点O作4C

的垂线交BC的延长线于点G,连结。G.若NCDG=90。，求BC的长.

图1

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∙∙∙∣5-x∣=x-5,

5-X≤O,

即X≥5,

故选：B.

根据绝对值的定义得到5-x≤O即可.

本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提.

2.【答案】A

【解析】解：从正面看是一个“凹”字形，

故选：A.

根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图.

3.【答案】B

【解析】解：10.6万亿=10600000000000=1.06XIO13.

故选：B.

科学记数法的表示形式为aXIO1*的形式，其中i≤∣α∣<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成ɑ时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，

n是非负数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXIOn的形式，其中1≤∣α∣<10,n

为整数，表示时关键要正确确定ɑ的值以及n的值.

4【答案】D

【解析】解：4、根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，所以本选项错误；

B、因为所有的等边三角形的角都是60。，所以本选项错误；

C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以本选项错误；

。、根据中心对称图形的定义，等边三角形不是中心对称图形，所以本选项正确；

故选：D.

根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，即可判断；根据所有的等边三角形

的角都是60。，即可判断；根据等边三角形的角相等，边相等，即可判断；根据中心对称图形的定

义即可判断.

本题主要考查对等边三角形的性质，多边形，相似三角形的判定，轴对称图形，中心对称图形等

知识点的理解和正确，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：根据数据1,2,a,b,5,8的平均数为4,得(1+2+α+b+5+8)=6X4,解

得α+ð=8：

由中位数是4,所以α=b=4或α=3,b=5；

去掉一个最大数8后，该组数据的平均数和方差都变小，中位数可能是4,也可能是3,

当a=b=4时，众数与原来相同，都是4；

当a=3,b=5时，众数与原来也相同，都是5.

故选：B.

根据该组数据的平均数得出α+b的值，再根据中位数得出a、b的值，讨论去掉一个最大数后，该

组数据的平均数、标准差和中位数、众数的变化情况.

本题考查了数据的分析与应用问题，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数，方差的定义以及

求解方法，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，得出OF=4,4G0F=30。是解题的关键.

连接OF,由于正六边形的中心角是60。，贝IJAAO尸是等边三角形，OF=4,设EF交y轴于G,那么

NGoF=30。，然后在RtaGOF中，利用勾股定理求出GF与OG的值，进而得到点F的坐标.

【解答】

解：连接。口

・•.△40户是等边三角形，

.∙.OA=OF=4.

设EF交丫轴于G,贝叱GoF=30°.

在RtAGOF中，

∙.∙∆GOF=30o,OF=4,

ʌGF=2,OG=2√^^3∙

.∙.F(-2,2√^3).

故选：C.

7.【答案】D

【解析】解：「√53<V64<V98,ΛΛ7<√4<√^7,

.∙∙α=4,6=2.

ʌ24-16.

故选：D.

根据a、b的取值范围，先确定a、b,再计算

本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据a、b的取值范围确定a、b的值

是解决本题的关键.

8.【答案】D

【解析】解：如图所示:

开始

所有的可能为；（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

故小明获胜的概率为：小颖获胜的概率为：;，小凡获胜的概率为：;，

442

故此游戏小凡获胜概率大，

故选：D.

利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可.

本题主要考查列表法和树状图，正确利用树状图法求概率是解题关键.

9.【答案】A

【解析】解：•••圆柱的体积公式U=S九，圆锥的体积公式V=gs∕l,

等底等体积的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的今

6xg=2（分米），

故选：A.

根据圆柱的体积公式U=Sh与圆锥的体积公式U=gs∕l得出等底等体积的圆锥与圆柱,圆柱的高是

圆锥的高的主由此可得出答案.

考查了圆柱与圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥与圆柱的计算公式，难度不大.

10.【答案】B

【解析】解：在菱形ZBCD中，乙4=60。，

••.△ABD为等边三角形，

设4B=ɑ,由图2可知，A4BD的面积为34百，

∙'∙∆4BD的面积=2=3√-3>

解得：a=2√^3,

故选：B.

根据图1和图2判定三角形ZBD为等边三角形，它的面积为32解答即可.

本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此

题的关键.

Il.【答案】D

【解析】解：•••二次函数y=α∕

限,

则大致图象为右图所示,

由图象即可判断出α<0,b>0,

故选：D.

根据二次函数y=ɑ/+bx+C的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定a的符号，

与y轴交点决定C的符号，对称轴所在位置决定b的符号.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数y=ax2+bx+C不过第二象限画出大致图

象是解题的关键.

12.【答案】C

【解析】解：∙∙∙EFJ.4C,点G是AE中点，

.∙.OG=AG=GE=^AE,

•••乙AoG=30°,

.∙.WAG=∆AOG=30o,NGoE=90°-乙4。G=90°-30°=60°,

；.△OGE是等边三角形，故③正确；

设AE=2a,贝IJoE=OG=α,

由勾股定理得，AO=√AE2-OE2=√(2α)2-α2=√rNa,

•••。为AC中点，

ʌAC—2AO——2√^^3a>

.∙.BC=^AC=∣×2y∕~3a=Ca,

在RtΔABC中，由勾股定理得，AB=I(2√-3a)2-(√^^3a)2=3a，

•••四边形ABCD是矩形,

ʌCD=AB=3Q,

.∙.DC=30G,故①正确；

∙.'OG=α,ɪBC——^―ɑ，

∙∙.OG≠^BC,故②错误；

∙∙∙SMoE=lɑ∙V-3α=Ta2，S矩形ABCD~3α'=3Ha2,

ʌSAAoE=%S矩形ABCD，故④正确；

综上所述，结论正确的是①③④，

故选：C.

由直角三角形斜边上的中线性质得OG=AG=GE=^AE,再求出求出NGoE=60。，得△OGE是

等边三角形，则③正确；设4E=2a,由等边三角形的性质表示出OE,再由勾股定理列式求出40,

从而得到AC,再求出BC,然后由勾股定理求出AB=3α,得①正确，②错误；最后由三角形的

面积和矩形的面积得④正确即可.

本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判

定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BC的长是解题的关键.

13.【答案】α(α+9)(α-9)

【解析】解:原式=α(α2-81)

=Q(Q+9)(Q—9).

故答案为：ɑ(ɑ+9)(α—9).

先提取公因式，再利用平方差公式.

本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式是解决本题的关键.

14.【答案】X

【解析】解：去分母得：2x=l,

解得：x=∣1

检验：当X=T时，2(x-l)Kθ,

•••分式方程的解为X=ɪ

故答案为：X=ɪ.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到％的值，经检验即可得到分式方程的解.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

15.【答案】80

【解析】解：-A'D//BC,

∙∙Z.Λ,=乙CBE,

由折叠可得：=∆A',乙ABD=4DBE=LCBE,∆BC'E=∆C,

ʌZ-A=Z-ABD=Z-DBE—Z-CBE,

•・・∆BC,E+∆C,EB+乙DBE=180o,∆C,EB=75°,

・・・Z.BCE+乙DBE=105°,

，乙C+乙DBE=105°,

V+NC+∆ACB=180°,

・・・ZC+4乙DBE=180°,

・•・Z.C=80°,

故答案为：80.

先由平行线性质得:/4'=4CBE,再由折叠可得：44=∆A',∆ABD=乙DBE=Z.CBE,∆BC'E=∆C,

则乙4=乙4BD=NDBE=4CBE,由三角形内角和定理知4BC'E+Z∙C'EB+NDBE=180。，而

4CEB=75。,可求得NC+NDBE=105。，然后由44+4C+ZTlCB=180。，则4C+44DBE=

180°,即可求出NC度数.

本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出NC+乙DBE=105。和4C+44。BE=

180。是解题的关键.

16.【答案】5.5

【解析】解：如图，过B作BEj.4。于E,

CD

∙.∙乙NAD=60°,4ABD=75°,

.∙.Z.ADB=45°,

■：AB=12x卷=8（千米），

∙∙∙AE=4（千米）.BE=千米），

ʌDE=BE=4C（千米），

.∙.AD=（4+4C）（千米），

VNC=90,∆CAD=30°,

.∙.CD=^AD=2+2√^≈5.5（千米）.

故答案为：5.5.

过B作BE1AC于E,三角形的内角和得到4力。8=45°,根据直角三角形的性质得到4E=4

米.BE=米，求得ZD=（4+4，忑）米，即可得到结论.

本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出4。=（4+

41。米是解答此题的关键.

17.【答案】3≤x<4

【解析】解：解不等式号≥2,得：x≥3,

解不等式x—4<0,得：X<4,

则不等式组的解集为3≤x<4.

故答案为：3≤X<4.

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无

解了确定不等式组的解集.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.【答案】φ

【解析】解：如图延长CB交。。于点。，连接AD,

•：ZC=90°,

・・・AD是。。的直径，

∙∙∙4D过点O,

当。BICD时，OB有最小值,

∙∙∙BD=BC,

•••△4BC是等腰直角，

.∙∙AC=BC,

AC=BC=BD,

设AC=%,则DC=2x,

∙∙∙O。半径为2,

•••AD=4,

在Rt△4CB中，根据勾股定理得，

DC2+AC2=DA2,

ʌ4x2+X2=16,

解得X=警，

即AC=等

•••。点是中点，B点是CD中点，

.∙.OB是AaDC的中位线，

ΛOB=；4。=手，

故答案为：亨.

延长CB交。0于点D,连接4D,根据NC=90。，得TW是。。的直径，当OB_LCD时，OB有最小

值，根据垂径定理得BC=BC,。是D4中点得OB是AADC的中位线，所以先求4C的长，根据△ABC

是等腰直角，再根据勾股定理求出C4长，从而得出。B长.

本题考查了等腰直角三角形、勾股定理、三角形中位线性质，熟练掌握这三个定理的综合应用，

辅助线的做法是解题关键.

19.【答案】解：（1）设A种型号货车每辆满载能运X吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李，

依题意,得:朦篇上

解得:席•

答：A种型号货车每辆满载能运3吨青李，B种型号货车每辆满载能运5吨青李.

（2）设需Tn辆A种型号货车，（10-Tn）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地,

ttBffi⅛-汨（3m+5（10-τn）≥40

依题忌，伶：（54Om+740（10-m）≤6600'

解得：4≤m≤5,

又∙∙∙m为正整数，

.∙.m=4或5,

二运输方案有两种：①4辆A种型号货车，6辆B种型号货车；

②5辆A种型号货车，5辆B种型号货车.

【解析】（1）设4种型号货车每辆满载能运X吨青李，B种型号货车每辆满载能运y吨青李，根据前

两批具体运输情况数据表，即可得出关于X,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设需Tn辆4种型号货车，（Io-Tn）辆B种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，由题意列

出一元一次不等式组可得出答案.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

(α+3)2α+l

2。.【答案】解：原式

Q+3

Q+3(Q+2)(Q-2)a+1

α+2(α+3)2a+3

a—2α+l

α+3α+3

-3

α+3,

vα=l+3-l=3,

原式=基=一"

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由零指数幕、负整数指数幕及算术

平方根得出α的值，继而代入计算可得.

本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算顺序和运算法则及零指数募、负整数指数

事及算术平方根是关键.

21.【答案】（I）16

补全的学生心理健康测试成绩频数统计图如下图所示,

(3)由题意可得，

良好率：(0.32+0.12)X100%=44%,

优秀率：0.2X100%=20%,

故补全的学生心理健康状况扇形统计图，如上图所示，

【解析】

解：(1)由表格可得，抽取的学生数为：4÷0.08=50,

∙∙∙m=50×0.32=16,

故答案为：m=16；

(2)见答案

(3)见答案

【分析】

(1)根据表格中的数据可以算出抽取的学生总数，从而可以得到Tn的值；

(2)根据表格中数据和计算出的Tn的值，可以将条形统计图补充完整；

(3)根据题意可以得到良好率和优秀率，从而可以将扇形统计图补充完整.

本题考查扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需

要的条件.

22.【答案】解：(1)过点4作AE_LX轴于点E,如图

tan∆AOC=1,4(1,m),B(n,-2)

：・m=1

Λ1=—

2×1

ʌfc=2

.∙.-2=ɪ

2n

1

ʌn=-2

・・・4(1,1),8(一±-2)

把4(1,1),B(——2)分别代入y=ax+b得:

ʃɑ+&=1

[―ɪɑ+b=-2

解得於三1

ʌy=2%—1

.∙.fc,α,b的值分别为2,2,-1.

(2)Vy=2x-1

・・・当％=0时，y=-1,即D(O,-1)

•1■S&AOB=-OD×XA+^OD×(-XF)

=^ODX(XA-XB)

=∣×l×(l÷i)

_3

一4

・•・△40B的面积为

【解析】(1)过点4作4E,X轴于点E,解直角三角形得4点坐标，再用待定系数法求得双曲线的解

析式，再代入B点坐标求得n,进而用待定系数法求得a、b；

(2)求得。点坐标，再由△4。B的面积等于△AoD的面积加上△BoD的面积即可求得结果.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数的解析式、锐角三角函数及函数与

坐标轴围成的三角形的面积问题，熟练掌握相关性质并数形结合是解题的关键.

23.【答案】⑴证明：∙.∙BE为直径，

.∙.∆BAE=∆BGE=90°.

在Rt∆ABE和RtΔGBE中,

(AE=GE

IBE=BE'

：.Rt∆ABE和RtΔGBE(HL);

(2)解：①∙.∙EF与。。相切，

・•・BE±EF,

・•・乙BEF=90°,

・・・∆AEB+乙DEF=90°.

•・・四边形/BC。为矩形，

・••Z-BAE=90°,

・•・∆ABE+乙AEB=90°,

:∙∆ABE=∆DEFf

VZ.BAE=∆D=90°,

ABESSDEF,

tAB__B£

ʌDF=FF*

在RtABEF中,

Vtan乙EBF=

EF1

Λ---=—,

BE2

.∙.OE=；/IB=TX2=1；

②若△48G是以AG为腰的等腰三角形,

I.当G4=GB时，

VGA—GB,

・•・乙

GAB=Z-GBAf

V∆DAB=乙CBA=90°,

ʌZ-EAG=Z-FBC.

VZ-EAG=Z-EBG,

・∙・Z.EBG=ZFBC.

在ABEF和ABCF中,

NBEF=KC=90o

乙EBG=乙CBF

BF=FB

BEF任BCF(AAS),

：•BE—BC.

设BC=%,则AD=BC=χf

・•・AE=AD-DE=x-lf

222

VAB+AE=BEf

：,22+(%-I)2=X2,

解得：%=|,

.∙.BC=I；

∏.当Ga=AB=2时，

VGA=AB1

ʌZ-ABG=Z-AGB.

VZ.AEB=∆AGB.

・∙・Z-AEB=∆ABG.

・・•/.AEB+Z-ABE=90o,∆ABG+乙FBC=90°,

∆ABE=∆FBCf

V∆BAE=Z.C=90°,

*'•△BAE~〉BCF,

.竺_些

't~BC~'BF'

由(2)知：需=:，

DrL

BE_2

λ丽=TT

22

λBC=Tf9

:∙BC=√^^5.

综上，若AABG是以4G为腰的等腰三角形，满足条件的BC的长为?或√石;

(3)解：∙∙∙BE为圆的直径,

・・・Z-EGF=90°.

在Rt△EGF^∖Rt△EDF中，

(EG=ED

lEF=EFf

ʌRt△EGF三Rt△EDF(HL),

：,ZJ)EF=乙GEF,DF=FG.

・・•∆AEG+∆GEF=90°,乙DEF+∆AEB=90°,

ʌ∆AEB=∆GEB.

在Rt△£4B和Rt△EGB中，

∆EAB=(EGB=90°

∆AEB=乙GEB,

EB=EB

∙,∙Rt△EAB=Rt△EGB(AAS),

ʌAB=BG,AE—EG,

：.AE=EG=DE,

・•・BE1AC.

•・,BE1EF,

・•.EF//AC.

：,EF为AZMC的中位线，

・•.DF=FC,

:.DF=FC=FG.

设DZ7=FC=FG=α,则AB=CD=BG=2a,

.・・BF=BG+GF=3a.

取BF的中点H,连接EH,如图，

则EH为梯形ABFO的中位线，

LLAB-VDF3

・•・EF=---=-α.

•・•EF//AC9

・・・Z.FGC=∆EFH.

VEH//CD,

・•・乙CFG=乙EHF,

:.XCFGfEHF,

.CG_CF__a__2

''EF=EH=^=3-

【解析】(1)利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；

(2)①利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明AABEsAOEF得

到黑=兽,再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；

DEEF

②利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：I.当G4=GB时，利用全等三角形的判定与性

质得到BE=BC,设BC=%,则AD=BC=%,则4E=AD-DE=X-1,利用勾股定理列出方

程解答即可；口.当GA=AB=2时，利用相似三角形的判定得到△BAESABCF,进而得到黑=需

BCBF

再利用(2)①的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；

(3)利用全等三角形的判定定理证明得到RtΔEGF二RtΔEDF^RtΔEABmRtΔEGB,得到4E=

EG=DE,利用三角形的中位线得到。F=FC=FG,设DF=FC=FG=a,贝必B=CD=BG=

2a,贝IJBF=BG+GF=3α,取BF的中点从连接EH,利用梯形的中位线定理得到EF,最后利

用相似三角形的判定定理得到4CFGfEHF,由相似三角形的性质即可得出结论.

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三

角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质三角形的中位线定理，利用分

类讨论的思想方法解答是解题的关键.

24.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=α(x-4)2-2,

把X=2,y=0代入，得：

4a—2—0,

1

∙'∙ɑ=Γ

∙∙∙y=ɪ(χ-4)2-2；

(2)设F(XW(X_4)2-2),

.∙.∣(x-4)2-2=∣x,

・•・X=8,

・•・F(8,6),

设G(4τn,3m),

・•・H(4m,ɪ(4m—4)2—2),

.∙.GW=3m-∣(4m-4)2+2

=-8m2+19m—6,

GF=∣(8-4m)=10-5m,

・•・GH+GF=-8m2+14m+4

c/7、,81

=-8(m--)+y,

.∙∙当τn=⅛∙,GH+GF最大=g

OO

此时G(L

(3)∙.∙(2,0),F(8,0),D(4,-2),B(6,0)

∙∙∙直线2F：y=x—2,直线BC：y=x-6,直线4D：y=-x+2,

直线BF：y=3x-18,

图1,若夕与D'关于AF对称，

.∙.B'l=D'I=AD=^AB,

在等腰RtA中,B7=号附，

.∙.JB'=AB=4,

设B'(α,b),

・•・Jk=AK=Cl—2,

ʌb=KB,=4÷(α-2)=α+2,

由。B'=6得，

α2+(α+2)2=36,

ʌa=y/~17—1或Q=-yj_17—1,

:∙B,(yΓ∏-1,√17+1)或夕(一AΛI7-1,-√"I7+1);

②当夕与D'关于58对称时，如图2,

・,・直线BB'：y=-X+6,

∙*∙B'(x,—X+6),

・•・X2÷(―X+6)2=36,

・,・%=0,或％=6(舍去)

・•・B'(0,6);

③当B'与D'关于8?对称时，如图3,

设B'(α,b),

ʌa2+b2=36,

VB'D'1BF,

,•・%小=京=W

・，.直线B'。'的函数关系式是：y——ɪ(%