高中数学选修第一册讲义（人教版）

第1讲空间向量及其运算

一、空间向量及其加减运算

1、空间向量的定义及其表示

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量向量的大小叫做向量的长度或模，空间向

量可以用有向线段和小写字母表示。

2、几类常见的空间向量

零向量：长度为O的向量叫做零向量，零向量的方向是任意。

单位向量：模为1的向量叫做单位向量,单位向量的方向任意。

相反向量：长度相等，方向相反的向量叫做相反向量，

相等向量：长度相等，方向相同的向量叫做相等向量.

3、空间向量的加减运算

Γ

向量加;去的三角形法则向量加法的平行四边形法则向量减法的三角形法则

力口法的运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+/?)+c=a+(Z?+C)

1、下列命题中正确的是

①如果a,b是两个单位向量，则IaI=IbI；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同;

③若a,。,C为非零向量，且8，b//c,则a〃c；

④空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内。

UUUULIUlUUUlUUU

2、已知空间向量AB,BC,CD,AD,则下列结论正确的是（

UUUUUUUUUlUUUUUUlUUUUUU

A、AB=BC+CDB、AB—DC+BC=AD

UUUlUUUUUUUUUUUUUUUUUlH

C、AD=AB+BC+DCD、BC=BD—DC

3、化简下列各式：

UUllUUtlUUUUlUUUUUUlUULl

(1)AB+BC+CA(2)AB+MB+BO+OM

UUUUUlIIllIUUUllUUlUUlUUUW

(3)AB-AC+BD-CD(4)OA-OD-DC

UUUUUIUlUUUUUl

4、已知空间四边形ABCD中，A8=α,CB=b,AD=C,则CO等于()。

A、Q+Z7-CB、-Cl—+C

C、-ci+。+CD、-ci+h—c

5、如图所示，已知长方体ABCo-AgGR，化简下列向量表达式:

UUUUUIlUUUULlIlUIILIU11UUB1UlU1UUlI

-

(1)A4∣CB；(2)AB、+4G+C[D∖；⑶-AD÷-AB--AAo

二、空间向量的数乘运算

1、空间向量的数乘运算

与平面向量一样，实数/1与空间向量”的乘积4。仍然是一个向量，称为向量的数乘。

空间向量的数乘运算律：分配律：λ(a+b)=λa+λb结合律：Λ(∕∕α)=(λμ)a

2、平行(共线)向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

共线向量定理：对于空间任意两个向量a,b(b≠O),a∕∕b的充要条件是存在实数4,使α=劝。

推论：点A在直线/上，对空间任意一点O,点P在直线/上的充要条件

UUUUU

是存在实数人使。P=OA+勿，向量。为直线/的方向向量或直线/上取向量

UlUUUUUULUUU

AB=a,则OP=OA+tAB»

3、共面向量

平行于同一个平面的向量叫作共面向量。

共面向量定理：向量P与两个不共线向量。力共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(χ,y),

使P=Xa+。

推论：点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x,y),

UUUIUUIUUUUlUUUUUUUuIUuuια

使MP=XMA+yMB或对空间任意一点O,有QP=OM+xMA+yMB。

1、己知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射

影恰好是正方形的中心0,Q是CD的中点，求下列各题中的x,y的值:

ULUllUtInUlLMlUUUULILUULIUUILUl

(1)OQ=PQ+xPC+yPA；(2)PA=xPO+yPQ+PD.

2、(多选题)(师大附中2022年春月考)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点,

2-3X

点F为线段BD上的一动点，若AE=XAE+yOC(x>0,y>0),则一^的取值可以是()。

4y+1

11

A、-B、-

24

C、1D、2

共线的证明：对空间任意三点P、A、B,可通过证明下列结论来证明三点共线。

uuUiuuuuuuUin

(1)PA=λPB-.(2)对空间任意一点O,OP=OA+tAB；

UUUUUUlIU

(3)对空间任意一点O,QP=XeM+yQ6(x+y=l)°

共面的证明：对空间任意四点P,M,A,B,可通过证明下列结论来证明四点共面。

UUlUULUUUUUlUUuUUUIlUUUUUl

(1)MP=xMA+yMB；(2)对空间任意一点0,OP=OM+xMA+yMB；

LlLUlUUtlULiLlUU

(3)对空间任意一点O,OP=xOM+γOA+zOB(x+y+z=l)；

UUUUUUUUUUUUUUUU

(4)PM〃AB或PA〃或尸B〃AM。

uni1Uir2UimUUln

3、已知A,B,C三点不共线，0是平面ABC外任一点，若由OP=—Q4+—O3+；IoC确定

53

的一点P与A,B,C三点共面，则/1=。

uin3ULr∣ʊuɪɪ∣uusɪ

4、A,B,C不共线，对空间任意一点0,若OP=-Q4+-O5+—OC,则P,A,B,C四

488

点()。

A、不共面B、共面C、不一定共面D、无法判断是否共面

5、对空间任一点0和不共线三点A、B、C,能得到P、A、B、C四点共面的是()。

UUiUUIUUSIUUUUun1Utr1Ulll1UUttl

A、OP=OA+OB+OCB、OP=-OA+-OB+-OC

333

UimUir1uni1uuu

C、OP=-OA+-OB+-OCD、以上皆错

22

三、空间向量的数量积运算

1、空间向量的夹角

UlflUUU

已知两个非零向量。,仇在空间中任取一点。，作OA=α,0B=b,则NAOB叫做向量α,Z?

的夹角。

2、空间向量的数量积

己知两个非零向量α力,贝!1∣α∣MlCoS<α,b>叫做向量α,Z?的数量积，记作。力，即

a-b=∖a∖∖h∖cos<a,b>,零向量与任意的向量的数量积为0。

运算律：{λd)-b—λ{a■b)ab=baa∙(h+c)-a∙b+a∙c

3、空间向量数量积的性质

(1)若为非零向量，则a_LZ?U>α∙0=0;

(2)α∙α=∣α『或Ial=y∣a.a=；

∩∙h

(3)若α力为非零向量，则COS<α,匕>=....-«

∖a∖∖b∖

1、已知Ial=2,IM=3,<a,b>—60°,贝∣J∣2α-3Z?I=。

2、已知四边形ABCD为矩形，PAj_平面ABCD,连结AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组

向量中，数量积不为零的是()。

UUUiUUUlUUUUU

A、PC与BDB、DA马PB

UUlUUUUUUUUUl

C、尸。与ABD、PA与CD

3、已知IaI=2∙x∕∑,I〃|=,a∙h=-y∣2,则Va力>=。

四、空间向量的正交分解及其坐标表示

1、空间向量的基本定理

如果三个向量”,b,c不共面，那么对空间任一向量P,存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使

p^xa+yb+zc.任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，α∕,c叫作基向量，

2、空间向量的坐标表示

单位正交基底：如果空间一个基底的三个基向量，两两垂直且模都为1,则这个基底叫做单位

空间向量的坐标：给定一个空间直角坐标系和向量且设i,/,左为坐标向量，由空间向量基本

定理可知，存在唯一的有序实数组（4,4,。3），使α=4"+//+4%。有序实数组（q,4,0,）叫作a

UU

在空间直角坐标系。一处Z中的坐标，即α=（%,%,%）。设A是空间任意一点，Q4=Xi+0+Zk,

则（x,y,z）称为点A的空间直角坐标。

UUUCIWUUIl

1、0,A,B,C为空间四个点，又｛Q4,OB,OC｝为空间的一个基底，则（）o

A、O,A,B,C四点不共线B、O,A,B,C四点共面，但不共线

C、O,A,B,C四点中任意三点不共线D、0,A,B,C四点不共面

2、以下四个命题中正确的是（）o

A、空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示

B、若｛”,dc｝为空间向量的一组基底，则4,仇C全不是零向量

UUUUUU

C、AABC为直角三角形的充要条件是4?∙AC=O

D、任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

3、棱长为1的正方体ABC。一A4GA中，E,F,G分别为棱。A,DiCt,BC的中点，以

UUUUUUUUU

{AB,AD,A4l}为基底，求下列向量的坐标：

UUUUUUlUUUIUUUlUUUUUU

(1)AE,AG,AF；(2)EF,EG,DG

1UUU

4、如图所示的空间直角坐标系中，正方体ABC。—A∣4GA棱长为1,B1E1=~AiBt,则

等于()。

A、(0,-9-1)B、(——,0,1)

44

C、(0,--,1)D、(-,0,-1)

44

B

X

五、空间向量运算的坐标表示

1、空间向量的坐标与其端点坐标的关系

ULUlULl

设A(Xl,χ,zj,B(x2,y2,z2),0(0,0,0),则08-O4=--'/2-Zl)

2、空间向量的坐标运算

)，

设4=(%,02,。3b=(b[,b2,b3),λ≡R

y

加法：a+b=(al+bl,a2+b2,a3+b3)减法：a-b=(al-bl,a2-b2,a3-b3)

数乘：λa=(λal,λa2,λa3)数量积：a∙b=(她,a2b2,a3b3)

al=λby

共线：a//b<=>6z=λ⅛<=><a2=Ab2

a3-劝3

垂直：QJLz?=α∙O=O=aibl+a2b2+a3b3=0

向量长度：若4=(%,%，的)，则量I=Ja∙a=Jal2+4?+42

两点间的距离公式:已知A(XI,χ,z∣),δ(x2,y2,z2),

UllI1-----------------------------------------

则I=√(x-x)2+(γ-γ)2+(z-z)2

dλli=|AB2l2121

(，，〃)，

向量夹角公式：若。=4。23b=(bl,b2,b3),

a`b61秋+ab+ab

则cos<a,b>=2233

Ial闻Qa：+a；+必收+b；+b；

1、设向量α二(3,5,-4),⅛=(2,1,8),计算2。+3/7,3a-2b,。为以及。与。所成角的余弦

值。

2、已知AB=(2,1,3),CQ=(3,x,y),若AB与C/5平行，则x+y=。

3、下列各组向量不平行的是()。

A、α=(l,2,-2),0=(-2,-4,4)B、c=(1,0,0),J=(3,0,0)

C、e=(2,3,0),/=(0,0,0)D、g=(-2,3,5),∕z=(16,-24,40)

4、已知α=(l,0,l),∕?=(-2,-1,1),则∣α+b∣=(4

As√6B、6C、3D、G

5、已知向量α=(2,1,4),O=(LO,2),且α+b与姐―人互相垂直，则Z的值为()。

1-315

A、1B■>—C、-D、—

5531

6、已知向量。=(1,一1,—2),∕?=(-2,-1,1)„

(1)求向量α,b的夹角；(2)若(阮!+。)_L(α-%),求Z的值。

7、已知向量。=(2,-1,2),b=(2,2,l),则以向量a,。为邻边的平行四边形的面积为()。

B、√65C、4D、8

8、如图，直三棱柱ABC-A4G底面A4JBC中，C4=CB=1,ZBC4=90。，棱A41=2,

M,N分别是Ag,Λ,A的中点。

UUUl

(1)求BN的长度；

UUUIUUU

(2)求CoSVBAPC6]>的值;

(3)求证：AlBLCiMo

第2讲空间向量的应用

一、直线的方向向量

如图，/为经过已知点A且平行于非零向量。的直线，那么非零向量。叫做直线/的方向向量

二、平面的法向量

如果直线/_L平面α,取直线/的方向向量”，则向量α叫做平面ɑ的法向量。

1、在空间直角坐标系中，已知4(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABe的一个法向

J≡.

里。

2、已知M(1,0,1),N((U,1),P(l,l,0),则平面MNP的一个法向量是()。

A、(1,0,0)B、(0,1,0)C、(0,0,1)D、(1,1,1)

3、已知平面。内有一个点加(1,7,2),平面ɑ的一个法向量为〃=(6,-3,6),则下列点P中,

在平面α内的是()o

A、P(2,3,3)B、P(-2,0,l)C、P(-4,4,0)D、P(3,-3,4)

三、利用向量方法判定空间点、线、面的位置关系

1、直线4的方向向量为%=(α∣,b],c∣),直线，2的方向向量为“2=(生，生!，。2)。

如果4//I2，那么ul//u2<=>ul=Au2Oal=λa2,hi=λb2,ct=Ac2

如果4±I2,那么ulA,U2=W,U=0=α102+bth2+clc2=0

2、直线/的方向向量”=(α∣,b],CI),平面α的法向量为〃=(4,优,。2)。

若/〃α,则〃J,〃=〃•〃=00+b∖b?+c1c2=0

若/-Lα,则〃〃〃="=左〃U>α∣=ka2,bl—kb2,ci=kc2

3、平面α的法向量为％=(4,4,c∣),平面夕的法向量为％=(4，仇，。2)。

若α〃/，则/〃4O/=ku2=(OI,b∣,q)=k(a2,b2,c2)

若αJ_/7,贝!]/J_%="∣•"2=0=%42+Rb?+clc2=0

1、若直线4的方向向量分别为。=(2,4,T),8=(—6,9,6),则()。

A、I1//I2B、I1II2Cs∕∣与4相交但不垂直D、以上均不正确

2、已知向量”=(-2,-3,l),6=(2,0,4),C=(T,-6,2),则下列结论正确的是()。

A>a//c,b//cBAa//b,aVc

C>a//c,aΛ.bD、以上都不对

3、已知直线/的方向向量为v,平面α的法向量是〃，且u∙4=0,贝H与α的位置关系是

4、已知直线4的方向向量α=(2,4,x),直线4的方向向量8=(-2,χ-2),若4与b平行，则

χ+y的值是()。

A、6B、-6C、2D、-2

5、若平面α,尸的法向量分别为nl=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),则(

A、α〃夕B,aLβC、α,仅相交但不垂直D、以上均不正确

6、如图所示，已知直三棱柱ABCG中，ΔABC为等腰直角三角形，ZBAC=90°,且

AB=AAi,D,E,F分别为gA,C1C,BC的中点.

(1)DE〃平面ABC；(2)AFj.平面AEF。

7、(长郡202()年秋期中)如图，24JL平面ABCD,四边形ABCD是正方形，PA^AD=2,

M,N分别是AB,Pe的中点。

(1)求证：平面MNDJ■平面PCD；

(2)求点P到平面MND的距离。

8,(师大附中2022年秋期中)如图，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PDL

平面ABCD,E为AB的中点，F为PD的中点，AB=2,PD=BC=1。

(1)证明：EF〃平面PBC：

(2)求点E到平面PBC的距离。

四、利用向量方法求直线与平面所成的角

1、求两条异面直线所成的角：设α/分别是两异面直线4,的方向向量，贝IJ：

/,与，2所成的角。。与〃的夹角〈a.6〉

范围(。号］OW〈。,6〉WTr

CoSe=ICoS.b〉I

/a∙b

求法_I。∙bIcosa∙bJA=亘画

=IaISl

2、求直线与平面所成的角：设直线/的方向向量为〃，平面ɑ的法向量为V,直线/与平面α所

成的角为则Sine=ICoS<M,V>∣=∣""

∣w∣∣v∣

1、在正方体ABCT)-A4G9中，M是AB的中点，则对角线。4与CM所成角的余弦值为

2、在正方体ABC。-4gClA中，E是GA的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为

3、如图，在ABC。一Ag£2中，已知IM=OC=4,DDt=3,则异面直线AR与BC所

成角的余弦值为

4、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC—CA=CC1=2CB,则直线BG与

直线Aq夹角的余弦值为（）。

小小2√53

A、---B、---C、----D、一

5355

5、在正方体ABCQ-A4G2中，M为。A的中点，O为正方形ABCD的中心，P为棱4百

上任一点，则异面直线OP与MA所成的角为（）»

A、30°B、45oC、60oD、90°

6、（长郡2020年秋期末）已知正方体ABCo-A/CQ的棱长为1,直线AR与直线OC的

夹角等于（）。

Tt71

C、D、

T2

7、如图，在长方体ABCD-AgCQ中，AB=BC=2,A4∣=l,则BG与平面BBa。所

8、已知正四棱柱ABa>-44G2中,AAi=2AB,则CD与平面6。G所成角的正弦值等

于（）。

2

A、-

33

正ɪ

D、

33

9、（长郡2020年秋期末）如图，正三棱柱ABC-AgC∣的底面边长为2,侧棱长为2夜，则

AG与平面AB4A1所成的角为_______。I

Ii

10、（师大附中2020年秋期中）在正方体ABCo--AgG。中，E为棱的中点，求证:

(1)BQ〃平面EAC；（2）求直线ABl与平面EAC所成角的大小。

Dt______

B

ΛB%

11、(2020年北京卷)如图，在正方体ABCD—44G。，E是Bg的中点。

(1)求证：BG〃平面AoIE；

(2)求直线AA∣与平面AAE所成角的正弦值。

12、(2022年全国甲卷理)在四棱锥P-ASC。中，PD_L底面ABCD,CD〃AB,

AD=DC=CB=1,AB=2，DP=G

(1)证明：BDLPA-,(2)求PD与平面PAB所成角的正弦值。

五、利用向量方法求二面角

1、若AB,CD分别是二面角£-/-夕的两个半平面内与棱/垂直的异面直线，则二面角的大

UUUUUlU

小就是向量AB,CO的夹角（如图①）；

2、设4,4分别是二面角a—/—用的两个半平面的法向量，则向量々与々的夹角（或

其补角）的大小就是二面角的大小（如图②③）。

2、己知点E,F分别在正方体ABeD-AMGA的棱BB∣,CG上,且gE=2EB,CE=2口6，

则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为

3、(长郡2019年秋月考)如图，在直三棱柱ABC—A4G中，AB±AC,A5=AC=2,

AA=4,点D是BC的中点。

(1)求异面直线AB与G。所成角的余弦值；

(2)求平面AoG与平面ABA1所成二面角(是指不超过90°的角)的余弦值。

4、(师大附中2019年秋期中)已知Ao是圆锥的高，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上

一点，E是CD的中点，平面ABC和平面ACD将圆锥截去部分后的几何体如图所示。

(1)求证：平面AEOl平面ACD；

(2)若AC=B£)=2,BC=Jl,求二面角3—AC-。的余弦值。

IT

5、(长郡2019年秋期末)如图，三棱锥P—ABC中，PC_L平面ABC,PC=3,ZACB=-,

2

D,E分别为线段AB,BC上的点，且CD=DE=丘,CE=2EB=2.

(1)证明：Z)E，平面PCD；(2)求二面角A-Pr)-C的余弦值。

B

6、(师大附中2022年秋月考)如图，直三棱柱AO歹一BCE中，侧面ABCD，ABEF均为边长

为2的正方形，且面ABCO_1面ABEE,M,N分别为正方形对角线AC,BF的中点。

(1)求点B到面ANM的距离；

(2)求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值。

7、(2020年天津卷)如图，在三棱柱ABC—A4G中，CCl_L平面ABC,ACVBC,

AC=BC=2,CG=3,点D,E分别在棱AA∣和棱CG上，且AD=1，CE=2,M为棱Ag

的中点。

(1)求证：C1MIfilD;(2)求二面角8一月£—。的正弦值；

(3)求直线AB与平面。旦E所成角的正弦值.

8、(2021年全国乙卷理)如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，POJ•底面ABCD,

PD=DC=1,M为BC的中点，且PB_LAM。

求二面角的正弦值。

(1)求BC；(2)A-PM-B

9、(2022年天津卷)直三棱柱ABC-ΛlgC∣中，M=AB=AC=2,AA,VAB,ACYAB,

D为Ag的中点，E为AAl的中点，F为CD的中点。

(1)求证：EF〃平面ABC；(2)求直线BE与平面CGo所成角的正弦值；

(3)求平面AcD与平面CG。所成二面角的余弦值。

第3讲直线的倾斜角和斜率

一、倾斜角与斜率

直线/与X轴相交，我们取X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线

/的倾斜角。规定：当直线和X轴平行或重合时，它的倾斜角为0°。

直线/倾斜角ɑ的取值范围为：［0°,180。）

我们把一条直线的倾斜角ɑ的正切值叫做这条直线的斜率。常用小写字母女表示，即左=tan。。

当直线与X轴垂直时，直线的倾斜角为90°,此时直线没有斜率。

【探究】如何由直线上两点的坐标计算直线的斜率。

锐角如图，当α为锐角时,

a=ZP2P1Q,

且占<x2,yl<y2

在&VQ中

IggI=⅛z⅜0

钝角如图，当α为钝角时,

a=180°-6»,

且X1>X2,M<%

tana-tan(l80o-θ)

二-ta∏e

在MΔ2Q6中

/.左二tana二

当直线平行于X轴，或与X轴重合时

y

4(%Ji)2&，乃)

_%-必

x2-X1

当直线平行于y轴，或与y轴重合时

斜率％与倾斜角ɑ之间的关系:

直线的斜率公式：上=上2•（或&=2匚匹）

斗一々

1、若直线x=2的倾斜角为α,则1()»

TTTT

A、等于OB、等于土C、等于巴D、不存在

42

2、不论左取何值，直线x+gy+左=O的倾斜角是()o

A、30°B、60oC、150°D、与%有关

3、直线y=-岛+1的倾斜角为()。

A、30°B、60oC、120oD、150°

4、己知两点A(a,3),B(1,-2),若直线AB的倾斜角为135。，则4的值为()。

A、6B、-6.C、4D>-A

5、过点M(-2,加)，N(m,4)的直线的斜率等于1,则加的值为()。

A、1B、4C、1或3D、1或4

6、已知直线/经过两点P(1,2),Q(4,3),那么直线/的斜率为()。

C11

A、-3B、—C、一D、3

33

7、经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角。

(1)A(2,3),B(4,5)(2)C(-2,3),D(2,-1)

(3)P(-3,1),Q(-3,10)

8、己知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线/与线段AB有公共点。

(I)求直线/的斜率攵的取值范围;

9、已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线/过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线/的

斜率上的取值范围是()。

3

A、Z≥一或左≤-4B、-4≤k≤~

44

3,“3,“

C、-≤⅛≤4D、——≤Z≤4

44

10、已知A(3,5),B(4,7),C(-l,x)三点共线，则X=

Ik已知实数x,y满足2x+y=8,当2≤x≤3H寸，求上的最大值与最小值。

X

二、两条直线平行与垂直的判定

【探究】（I）设两条直线4，4的斜率分别为匕，k2,若4〃4，则人，心满足什么关系？

（3）对于两条互相垂直的直线4和4,若一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率如何?

y八

1

ZL4

——>

OX

1、直线/的倾斜角为30。，若直线4〃/,则直线4的斜率用=；若直线4_L/,则直

线4的斜率网=

2、若直线4：2x-0一I=O过点(1,1),直线4：x+2y=0,则直线∕∣与4()»

A、平行B、相交但不垂直C、垂直D、相交于点(2,-1)

3、已知过点4(一2,加)和3(〃?,4)的直线与直线2x+y—1=0平行，则机的值为()。

A、-8B、0C、2D、10

4、过点P(-l,3)且垂直于直线X-2y+3=0的直线方程为()。

A、2x+y—5=0B、2x+y—1=0

C、x+2y-5=()D、x-2y+7=0

5、直线/过点(―1,2)且与直线3y=2x+l垂直，则/的方程是()。

A、3x+2γ-l=0B、3x+2y+7=0

C、2x-3y+5=0D、2x—3y+8=0

6、已知点A(—1,3),B(4,2),若X轴上有点C,使4CJ.8C,求点C的坐标。

7、经过点(机,3)与(2,m)的直线/与斜率为-4的直线互相垂直，则机的值为

第4讲直线的方程

一、直线的点斜式方程

点斜式方程：直线/经过点凡(XO，%)，且斜率为左，设点P(χ,y)是直线上不同于点弓的任意

一点，因为直线/的斜率为左，由斜率公式得：％=2二包，即点斜式方程：y-y0=Kx-x0)

当直线的倾斜角为0°时，这时直线与X轴平行或重合，其直线的方程为y=y0；当直线的倾

斜角为90°时，这时直线与y轴平行或重合，其直线的方程为X=%。

例题直线/经过点玲(-2,3)且倾斜角为60。，求直线/的点斜式方程。

1、求满足下列条件的直线方程：

(1)过点P(-4,3),斜率左=—3；(2)过点A(-1,4).倾斜角为135°；

(3)过点P(3,-4),且与X轴平行；(4)过点P(5,-2),且与y轴平行。

2、直线y-2=∕nr+m经过一定点，则该定点的坐标为()。

A、(T2)B、(2,-1)C、(1,2)D、(2,1)

如果直线/的斜率为攵，且与y轴的交点为(0,。)得直线的点斜式方程：y—O=后(x—O)即

y=kx+bo

我们把直线与y轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。该方程由直线的斜率与它在y轴上

的截距确定，所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。

例题求下列直线的斜截式方程:

(1)经过点A(T,2),且与直线y=3x+l垂直；(2)斜率为一2,且在y轴上的截距为5。

3、写出斜率为-1,在y轴上截距为-2的直线方程的斜截式。

4

4、求过点A(6,-4),斜率为-一的直线方程的斜截式。

3

5、己知直线的倾斜角为45。，在y轴上的截距为2,则此直线方程为()。

A、y-x+2.B、y-x—2C、y--x+2D、y--x-2

6、已知ZVLBC三个顶点的坐标为4(0,1),8(2,0),BC的斜率为―,。

3

(1)求加的值；(2)求直线AB和直线BC的方程(将结果化为斜截式)。

二、直线的两点式方程

【探究】已知直线经过两点6Cη,y),P2(x2,y2),其中XlNX2，ʃ,≠J2-如何求出这两个

点的直线方程呢？

根据两点Pi(x1，y1),P2(×2∙丫2)，

例题已知三角形的三个顶点A(-5,O),B(3,-3),C(0,2),求BC边所在直线的方程,

以及该边上中线所在直线的方程。

1、己知三角形三个顶点是A(-5,0),8(4,-4),C(0,2)o

(1)求BC边上的中线所在直线方程；(2)求BC边上的高AE所在直线方程.

2、已知ΔA6C三个顶点坐标A(2,-1),B(2,2),C(4,1),求三角形三条边所在的直线

方程。

【探究】已知直线经过点A（α,0）,B（0,。），其中α≠0,b≠O,求直线的方程。

3、在X轴和〉轴上的截距分别为-2,3的直线方程是—

4、（多选题）（长郡2022年秋月考）若直线过点P（2,l）且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则

直线的方程可能为（）。

A、x—y+l=0B、x+y-3=0

C、Ix-y-0D、x+y+l=0

5、根据下列条件，求直线的截距式方程：

（1）在X轴上的截距为-2,在y轴上的截距为-2；

（2）过点（1,1）,在两坐标轴上的截距之和为10。

三、直线的一般式方程

我们把关于x,y的一元二次方程Λx+By+C=O（其中A和B不同时为0）叫做直线