2022-2023学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年贵州省黔西南州高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合4=集合B={0,1,2},贝∣L4∏B=()

A.{0,l}B.{-l,0,l}C.[0,1,2)D.{-1,0,1,2}

2.若z+2-3i=3—2i(i为虚数单位)，贝∣Jz=()

A.5-5iB.1+iC.1+5iD.5-i

3.己知向量五=(一2,3),b=(4,-2)，则五+)=()

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)D.(-2,5)

4.将一组从小到大排列的数据如下:50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,这组

数据的第60百分位数是（）

A.55B.55.5C.56D.56.5

5.下列函数中，在定义域上单调递增的是（）

x

A./(x)=：B./(x)=(∣)C./(x)=-Ix+1D./(x)=log2x

6.函数y=X+g-1在（0,+8）上的最小值是（）

A.-2B.1C.2D.3

7.端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.地区不同，制作的粽子形状也不同，黔西南州最出

名的就是鲜肉的灰色粽子，其形状接近于正三棱锥（如图）.若正三棱锥的底面边长为2,高为1,

则该三棱锥的侧面积为（）

A.y∕~3B.2y∏C.3y∕~3D.4y∏

8.如图，在△4BC中，2BD=CD,E为AC中点，4。和BE相交于

点F,那么力F：DF=（）

A.2

BI

C.3

D.4

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.复数z=T+∣i,i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A.z的实部是；B.z的共轨复数为T+夕

C.z的实部与虚部之和为2D.z在复平面内的对应点位于第一象限

10.样本容量为100的样本，其数据分布在［2,18］内，将样本数据分为4组：［2,6）,［6,10）,

［10,14）,［14,18］,得到频率分布直方图如图所示，则下列说法中正确的是（）

A.样本数据分布在［6,10）内的频率为0.32

B.样本数据分布在［10,14）内的频数为40

C.样本数据分布在［2,10）内的频数为40

D.估计总体数据大约有10%分布在［10,14）内

11.如图,在正三棱柱ABC—AB'C'中,D为棱AC的中点,AB=

2,则下列结论正确的是（）

A.BD1AC

B.直线4C，与面ABC所成角为45。

C.线段BO=√-5

D.直线B。〃面4'B'C'

12∙对于任意AABC,荏=2正,前方,两直线4D,BE

相交于点O,延长Co交48于点凡则下列结论正确的是（）

CA

E

A.CO=^CA+-^CB

B.%O½+yOβ+zOC=0，x：y：z=3：8：7

C.当NBaC=WAB=1,AC=2时，则cos~OE=吗型Z

ɔ494

DSaDEF=48

SaABC231

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.计算：sin600cos300-cos600sin30o=.

14.已知苍与方的夹角为60。，且|初=2,旧|=1，则为小=.

15.在不透明的袋子中装有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机

摸出1个球，则事件“摸到红球”的概率为.

16.如图，在多面体4BC-A'B'C'中，已知44'=2,AC=B'C'=

4,AC1CC',平面Λ4'C'C_1_平面BB'C'C,四边形BB'C'C是正方

形，则点A到平面ABC的距离是.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知函数/（x）=cos2x+√^^3sin2x>

（1）求/（x）的最小正周期；

（2）求/Q）的最大值和最小值.

18.（本小题12.0分）

已知α,b,C分别为△ABC三个内角4,B,C的对边，且√~GcosA=SinA,

⑴求4

（2）若α=2,且b+c=4,求AABC的面积.

19.（本小题12.0分）

中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了

解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名

同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：

如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”.

(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值;

(2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率.

20.(本小题12.0分)

如图所示，在正方体ABCD-4道£Di中，E为。Dl的中点.

(1)求证：BDI〃平面2EC；

(2)若正方体棱长为2,求三棱锥Dl-AEC的体积.

21.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P-ABCO中，底面4BCD为正方形，侧面PAn是正三角形，侧面P4D1底面

ABCD,M是PD的中点.

(I)求证：AM1平面PCD；

(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.

22.(本小题12.0分)

在①αcosB+bcosA=2ccosA↑②(SinB-SinC)2=siMA—SinBsinC；③S=^b(bsinA+

αtan4cosB)(其中5为44BC的面积)三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答.

在AABC中，角A,B,C的对边分别为α,b,c,α=3/至且.

(1)求AABC外接圆半径R；

(2)若AABC为锐角三角形，求△4BC周长的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因为4={-l,O,l},集合B={0,1,2},

则4DB=[0,l].

故选：A.

由已知结合集合交集运算即可求解.

本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：∙∙∙z+2-3i=3-2i(i为虚数单位),

.∙.z=3-2i-2+3i=l+i.

故选：B.

由复数的四则运算法则直接求得.

本题考查复数的四则运算，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：因为方=(—2,3),b=(4,-2)>

所以行+b=(-2,3)+(4,-2)=(2,1)∙

故选：C.

利用平面向量加法的坐标表示即可得解.

本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】解：因为这组数据共有10个，而10X60%=6,

所以这组数据的第60百分位数为第6个数与第7个数的平均值，即等=55.5.

故选：B.

利用百分位数的定义求解即可.

本题主要考查了百分位数的计算，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：对于4/(x)=；在(一8,0)和(0,+8)上为单调递减函数，故A不正确;

对于B,f(κ)=弓尸在(-8,+8)上为减函数，故B不正确；

对于C,/(x)=-2x+1在(-8,+oo)上为减函数，故C不正确；

对于D,八乃=1咤2%在(0,+8)上为单调递增函数，故。正确.

故选：D.

对四个选项，直接根据函数解析式判断单调性可得答案.

本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：因为Xe(O,+8),所以y=x+：—1≥2JTm-I=3,当且仅当X=%即X=2时

取等号，

所以函数y=x+^-1在(0,+8)上的最小值是3.

故选：D.

根据给定条件，利用均值不等式直接计算作答.

本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：如图，

正三棱锥5-ABC中，SoJL底面4BC,则。为正三角形4BC的中心,

连接4。并延长交BC于E,则E为BC的中点，且SE18C,

依题意，SO=1,正三角形ABC的边长为2,

所以AE=2sizι60°=q,OE=^AE=SE=√SO2+OE2=ɪ,

C1l9v2√^32∖Γ3

SASBC=-BC-SE=-×2×—^―=—>

所以该三棱锥的侧面积为3SASBC=20.

故选:B.

求出正三棱锥侧面三角形的高即可求解.

本题主要考查棱锥侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：因为在AABC中，2BD=CD,E为AC中点，A。和BE相

交于点F,

设方=λCA+(l-λ)CD=ΛC½+∣(1-Λ)CB,

CF=μCB+(1-μ^)CE=μCB+^(1-μ)CA,

∣d-^)=M

则解得：λ=pμ=ɪ.

λ=∣(1-μ)4Z

13

+而

所以CF4-4~

即:谓-⅛+⅛-=-CD=∖^AF+^DF=O

444444

即而=-3前，贝必IF：DF=3.

故选：C.

利用平面向量基本定理的推论表示向量请，即可求解.

本题考查平面向量基本定理，属于基础题.

9.【答案】ACD

【解析】解：复数z=4+1的实部为g共扼复数为,—表，

实部与虚部和为"+I=2,在复平面内的对应点的坐标为弓,|),在第一象限.

故ACZ)正确，3错误.

故选：ACD.

由已知复数逐一分析四个选项得答案.

本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

10.【答案】ABC

【解析】企鹅也对于4由题图可得，样本数据分布在［6,10）内的频率为0.08x4=0.32,故A

正确；

对于8,由题图可得，样本数据分布在［10,14）内的频数为IOoXO.1x4=40,故B正确；

对于C,由题图可得，样本数据分布在［2,10）内的频数为IOoX（0.02+0.08）x4=40,故C正确;

对于。，由题图可估计，总体数据分布在［10,14）内的比例约为0.1x4=0.4=40%,故Z）错误.

故选：ABC.

根据频率分布直方图一一分析可得.

本题考查频率、频数、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：对于4因为在正三棱柱ABC—AB'C'中，AA'L∖S∖ABC,

而BoU面4BC,所以BDI44,

因为底面ABC是正三角形，。为棱4C的中点，所以8DJ.4C,

又AA'rUC=A,AA',ACa^AA'C'C,所以BD_L面44'C'C,

因为AC'u面Λ41'C,所以BDJ.AC',故A正确；

对于8,因为在正三棱柱ABC—AB'C'中，CC'LlSABC,

所以NC'4C为直线AC'与面ABC所成角，

因为ACU面4BC,所以CC'1AC,

又AB=BB'=2,所以AC=CC'=2,则4C%C=45°,故B正确；

在正AABC中，AB=BC=AC=2,则4。=^AC=1,

所以BC=、力依一=G,故C错误；

对于0,记4'C'的中点为E,连接DE,B'E,如图，

因为。，E是AC,4'C'的中点，又易知四边形Λ4'C'C是平行四边形，

所以Z）E〃A4'，DE=AA',

因为Λ47∕8B',AA'=BB",所以。E〃BB',DE=BB',

所以四边形OEB'B是平行四边形，^∖EB'//BD,

又EB'u面AB'C',BDC面4B'C',所以直线BD〃面4'B'C',故。正确.

故选：ABD.

对于4利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B,利用线面角的定义即可得解；对

于C,正△?!BC中求解即可；对于D,利用线面平行的判定定理证明即可.

本题考查空间距离和空间角，空间中线面距离，属中档题.

12.【答案】ACD

【解析】解：A.-AE=2EC,JD=^DC,.∙.CE=^CA,CB=^CD,

434

∙∙∙B,O,E三点共线，二设击=4四+(1-/1)方=?而+平85,且D,O,A三点共线,

.q+M=l,解得4=捺，

∙-∙CO=ɪCA+ɪCB>A正确；

B.---^cδ=^CA+-^CB,-OC=^(OA-0C^)+^(OB-OC),

.-.OC=-IOA-IOB,且沆I=一际一？两

66zz

・•・%：y=3：8,y：z=8：6,

ʌx：y：z=3：8：6,B错误;

C.AD=AB+^BC=AB+^(AC-AB~)=^AB+三AC,BE=AE-AB=^AC-AB,

•••/.BAC=≡AB=1,AC=2,

.∙.AB-AC=1×2×^=1,

ʌ∖AD∖=IGAB+%C)2=为16AB÷9ΛC+24AB∙4C=:√16+36+24=

[βF∣=J(^AC-ABY=J^AC2+AB2-1AB-AC=J^+1-∣=ɪ-

而•诙=G荏+?硝《就一羽=咛超2+5前2—奈丽.而=_：+；/=斗

11--------

元_11√J47

・•・CosZ-DOE=2√r^l9∖∏T-—494-C正确;

∖AD∖∖BE∖κ

D.设方=k荏，：,而一5=k须一前,CF=kCB+(l-k)CA,^CO=μCF=μkCB+

μ(l—k)CA<且Co=祗671+盘(78,

解得k=ɪ,

丁冰=今

AEF

-∙∙AF=^AB,^AE=IAC,∙∙∙SΔ=飘做,

・・.CE=§CA,CD——CBf∙∙S>CDE~万^LABC,

339

BD=-BCfBF=^iBA,：,S2DF=方S^BC，

・••SXDEF=(I一段一卷一/S.Be=/SA谢,

SADEF_48

。正确.

SAABC231

故选：ACD.

4根据荏=2正,前=?尻得出方=＜方,而=：而，根据B,O,E三点共线得出方=4万+

434

(l-λ)CE=-CD+=85,再根据,D,。,A三点共线得出/I=ɪ,从而得出前=^=CA+⅛CB,

'/43171717

从而判断A正确；

8.根据而=,不+,而得出反=一。瓦5-4而，并且泥=一市一2而，从而得出X：y：Z

171766ZZ

的值，进而判断B的正误；

C可用向量荏,正分别表示出血,屁，根据条件可求出I同I，I丽I和而•丽的值，然后根据向

量夹角的余弦公式即可求出COSNDOE的值，从而判断C的正误；

。.可设辞=Zc而，然后得出方=/c方+(1-幻石5，并设万=方+(〃—〃/£)厅，

然后根据平面向量基本定理求出Z=卷，得出ZF=MB,4E=IaC,根据三角形的面积公式即可

得出，SAAEF=募SAABL同样得出SABDF=∕SA4BC,SACDE=&SAABC，从而判断。的正误.

本题考查了向量数乘、加法和减法的几何意义，向量的数乘运算，共线向量和平面向量基本定理，

三点共线的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，向量长度的求法，

三角形的面积公式，考查了计算能力，属于中档题.

13.【答案】I

【解析】解：sin600cos30o-cos600sin300=sin(60o-30o)=sin30o=ɪ

故答案为：ɪ.

利用正弦函数和差公式的逆运算即可得解.

本题主要考查两角差的正弦公式，考查运算求解能力，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：∙∙W与E的夹角为60。，且|有|=2,I石|=1，

∙∙ab=2×l×cos600=1，

故答案为：1.

利用平面向量的数量积公式，求解即可.

本题考查平面向量的数量积公式的应用，是基础题.

15.【答案】§

【解析】解：依题意，一共有5个球，从中摸出1个球的基本事件有5件,

其中2个红球，3个黄球，故事件“摸到红球”的基本事件有2件，

则所求概率为P=|.

故答案为：

利用古典概型的概率公式求解即可.

本题考查古典概型相关知识，属于基础题.

16.【答案】警

【解析】解：过点4在平面A4'C'C内作4E_L4'C,垂足为点E,如图,

因为四边形BB'C'C为正方形，则BC1CC',

因为平面44'C'C_L平面8B'C'C,平面44'C'Cn平面BB'C'C=CC',

BCU平面BB'C'C,

∙∙.BCJ■平面44'C'C,又力EU平面44'C'C,ʌBCIAE,

■：AE1A'C,4'CnBC=C,A'C,BCU平面ABC,.∙.HE_L平面4'BC,

所以点A到平面4BC的距离为力E,

因为四边形BB'C'C为正方形，则BB7/CC,

∙.∙BB'U平面Λ4'C'C,CCU平面4dC'C,二BB'〃平面44'C'C,

因为BB'u平面44B'B,平面44'B'Bn平面44'C'C=A4',.∙.44"∕BB',

则Λ47∕CC',又4C∙LCC',.∙.Λ4'J.4C,

•••AA'=2,AC=4,.∙.A'C=√AA'2+AC2=24，

由等面积法可得AE="空=上=增，

AC2√55

因此，点A到平面4BC的距离为与I

故答案为：警.

先利用面面垂直的性质定理推得BC1平面44C'C,从而利用线面垂直的判定定理推得AE为点A到

平面ABC的距离，再利用线面平行的判定定理与性质定理推得Λ4'LAC,从而利用等面积法求出

ZE的长，即为所求.

本题考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，线面平行的性质，等面积法求距离等知识，

属中档题.

17.【答案】解：(1)因为∕^(x)=cos2%+V""5s讥2x=2(^^siτι2x+gcos2x)=2s讥(2]++),

故/(X)的最小正周期为7=y=π.

(2)因为*∈R,所以一1≤sin(2x+*≤1,则一2≤2sin(2x+,)≤2,即一2≤f(x)≤2,

当2x+卷=-1+2∕OT,Zc€Z,即X=+∕c7T,/c6Z时，/"(%)取得最小值一2；

当2x+3=]+2kττ,k.&Z,即X=看+kπ,k∈Z时，f(X)取得最大值2；

故/(x)取得最大值是2,最小值是-2.

【解析】(1)利用辅助角公式化简/(x),再利用正弦函数的周期公式求解即可；

(2)利用正弦函数的值域即可得解.

本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题.

18.【答案】解：(1)sinA=∖Γ~^cosA,显然CoSi4≠0,则tcm4=V-3,

又0VAV7T,则/=全

(2)由余弦定理得M=62+c2-2bccosA=h2+C2—he=(ð+c)2—3bc,

又α=2,b+c=4,贝∣J4=16-3bc,贝!∣bc=4,

4BC的面积S=ɪbcsinA=ɪ×4×=√-3.

【解析】（1）利用三角函数弦化切，结合三角形内角的范围，即可得出答案；

（2）利用余弦定理与整体法求得be的值，从而利用三角形面积公式，即可得出答案.

本题考查解三角形，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题.

19.【答案】解：（1）甲班样本数据的平均值为看（8+13+28+32+39）=24,

由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；

乙班样本数据的平均值为912+25+26+28+31）=24.4,

由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时.

（2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为α,b,c,乙班“过度熬夜”的有2人，记为d,e,

从中任取2人，有ab,acfad,ae,be,bd,be,cd9ce9def共中种可能,

其中都来自甲班的有彷，Qgbe,共3种可能，

所以所求概率P=半

【解析】（1）根据平均数计算公式直接计算可得：

（2）列举出所有可能情况，然后由古典概型概率公式可得.

本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题.

20.【答案】证明：⑴连BD交AC于0,连0E,

所以。E是ABDDi的中位线，所以。E〃BD1，

又OEU面4EC,BD1C面ZEC,

所以BDI〃平面4EC；

解：（2）正方体ABCD-AIBIGDI中，AD1面DCC1D1,

所以Vi）I-4EC=^A-D1EC=ESAD[EC,4。=E*2*DlEXCDXAD=-×-×1×2×2=~.

【解析】（1）连BD交4C于0,连。E,得到。即可求证；（2）利用等体积法即可求解.

本题考查了线面平行的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题.

21.【答案】(1)证明：在正方形4BCC中，CDlAD,

又侧面PAD底面ZBCD,侧面PaDn底面48Cn=AD,CDU平面

ABCD,

所以CDl平面PAD,又AMu平面240,

所以CDJ.AM,

因为APZD是正三角形，M是PD的中点，则力MIPD,

又CDCPD=D,CD,PnU平面Pm

所以4M，平面PCD；

(2)解：取AD,Be的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,

则EF=CD,EF//CD,所以EF1AD,

在正A24。中，PE1AD,

因为EFnPE=E,EF,PEU平面PEF,

则TWL平面PEF,

在正方形力BCD中，AD//BC,

故BeL平面PEF,

所以NPFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，

由CDI平面PA。，EF//CD,

则EFI平面PEF,又PEU平面PAD,

所以EF1PE,

设正方形ABCD的边长4。=2a,则EF=2a,PE=y∏a,

所以P尸=√PE2+EF2=y∏a,

Ifln,DerEF2√7

WUCOSZPFF=—=丁一,

故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为亨.

【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证明CCI平面P4D，从而得到CD_LaM,由正三角形的性

质可得AM1PD,再利用线面垂直的判定定理证明即可;

(2)取4。，BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,利用线面垂直的判定定理证明4。1平面PE凡

则可得BCJL平面PEF,由二面角的平面角的定义可知，Z∙PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角

的平面角，在三角形中，由边角关系求解即可.

本题考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理的应用，二面角的求解，解题的关键是由

二面角的平面角的定义确定所求的角，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属

于中档题.

22.【答案】解：(1)若选①：acosB÷bcosA=2ccosA

SinAcosB+SinBcosA=2sinCcosA9即Sin(A+B)=2sinCcosAf

又因为C=Tr-G4+B),则StnC=sin[π一(4+B)]=sin(Λ+B),

所以S勿C=2sinCcosA,又C∈(O,π),则sizιC>0,

所以COSA=%又∕∈(0,7r),所以4=全

因为Q=3√-3,

所以2R=急=6,故R=3.

y22

若选②：(SinB-sinC)=sin√l—SinBsinC9

则(b—c)2=a2—be,化简得：b2+C2—a2=be,

22z

λb+c-abe1

cosA=—2—b-c---=—2bc=-»2

因为4∈(0,7T),所以Z=M

因为Q=3√-3,

所以2R=J⅛=6,故R=3.

若选③：

因为S=(‹bsinA+ata∏AcosB}=^absinCf则bsin/+=2asinC,

贝IJbSE4cos4+asinAcosB=2acosAsi∏Cf