专题08利用导数研究函数的性质2

专题08利用导数研究函数的性质专题08利用导数研究函数的性质一、导数与函数的单调性在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．二、利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f'③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当f'(x)>0时，特别提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．三、导数与函数的极值1．函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．3.特别提醒：(1)函数f(x)在处有极值的必要不充分条件是f′()＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．四、导数与函数的最值1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．2.若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．五、常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.可导函数y＝f(x)的导数为f′(x)，若f′(x)为增函数，则f(x)的图象是下凹的；反之，若f′(x)为减函数，则f(x)的图象是上凸的．3．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．4．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．5．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．6．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．7．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．题型一判断或证明函数的单调性【典例1】【多选题】（2023下·高二课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数【典例2】（2021·全国·高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【规律方法】1.利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f′(x)：(1)若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若f′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．2.解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．3.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．4.特别提醒：易错点是忽视函数的定义域.题型二：求函数的单调区间【典例3】（2023上·辽宁·高三校考期中）已知函数的定义域为，导函数为，且，则的单调递增区间为．【典例4】（2023上·江苏扬州·高二扬州市广陵区红桥高级中学校考阶段练习）已知函数，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.【总结提升】1．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．3.温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．题型三利用函数的单调性解不等式【典例5】（2023下·河南焦作·高二焦作市第十一中学校考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【典例6】（2023·河南·统考模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为.【总结提升】1.比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．2.构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f(x)与f′(x)，常需要通过构造含f(x)与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有：(1)f(x)＞g(x)→F(x)＝f(x)－g(x)；(2)xf′(x)＋f(x)→[xf(x)]′；(3)xf′(x)－f(x)→；(4)f′(x)＋f(x)→[exf(x)]′；(5)f′(x)－f(x)→.题型四比较函数值大小【典例7】（2022·全国·高考真题（理））已知，则（

）A． B． C． D．【典例8】（2023上·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）定义在上的可导函数，满足，且，若，则的大小关系是（

）A． B．C． D．题型五根据函数的单调性求参数范围【典例9】（2023上·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【典例10】（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）知函数在上存在递增区间，则实数的取值范围为．【规律方法】1.两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．题型六根据函数的单调区间求参数范围【典例11】（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【典例12】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为．【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．题型七利用导数研究函数的图象【典例13】（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）A． B．C． D．【典例14】（2023下·内蒙古乌兰察布·高二校考阶段练习）已知是函数的导数．若的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型八利用导数求函数的极值【典例15】（2023上·河南·高三校联考期中）已知函数，且曲线在点处的切线l与直线相互垂直．(1)求l的方程；(2)求的极值．【典例16】（2022上·贵州遵义·高二校联考期末）已知函数(1)当时，求函数的极值；(2)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；【规律总结】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2.求极值问题主要有两种类型，一是由图象求极值，二是求具体函数的极值.题型九求函数极值点【典例17】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）若函数，则的极大值点为.【典例18】（2023上·辽宁大连·高三大连八中校考阶段练习）已知函数，则的极大值点为，极大值为.题型十求函数极值点的个数【典例19】（2023上·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若在处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)是否存在极值点，若存在，求出极值点；若不存在，请说明理由.【典例20】（2024·四川遂宁·统考一模）已知函数.(1)若，判断在上的单调性，并说明理由；(2)当，探究在上的极值点个数.题型十一根据函数极值（点）研究参数【典例21】（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例22】（2023·上海嘉定·统考一模）对于函数，在处取极值，且该函数为奇函数，求ab=【总结提升】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．题型十二根据函数极值点个数研究参数【典例23】（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是【典例24】（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知函数，其中且．若存在两个极值点，，则实数a的取值范围为．【总结提升】讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．题型十三利用导数研究函数的最值【典例25】（2021·全国·高考真题）函数的最小值为______.【典例26】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）设曲线在点处的切线方程为（其中，a，，是自然对数的底数）.(1)求a，b的值；(2)求在区间上的最大值和最小值.【规律方法】1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：第一步求函数的定义域；第二步，求函数在(a，b)内的极值；第三步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第四步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．3.二次求导！当导函数y＝f′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f′(x)的正负号．题型十四含参数的函数最值问题【典例27】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（

）A． B． C． D．【典例28】（2022上·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)求函数在区间上的最小值．【规律方法】1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．题型十五根据函数的最值研究参数【典例29】（2023下·广东江门·高二校考期中）函数（m为常数）在上有最大值，那么．【典例30】（2023上·高二课时练习）已知函数在上的最小值为，求a的值.题型十六函数极值、最值的图象信息问题【典例31】（2023下·山东菏泽·高二校考阶段练习）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①是函数的极值点；②是函数的最小值；③在处切线的斜率小于零；④在区间上单调递增．则正确命题的序号是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【典例32】【多选题】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值【总结提升】有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．题型十七函数极值与最值的综合问题【典例33】（2021·北京高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【典例34】（2023上·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，，求当a为何值时，取得最大值．【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到