数学人教A版必修3学案第一章算法初步本章小结

本章小结一、算法的设计算法设计与一般意义上的解决问题的方法不同，它是对一类问题的一般解法的抽象与概括，它要借助一般问题的解决方法，又要包含这类问题的所有可能情形，它往往是把问题的解法划分为若干个可执行的步骤，有时甚至是重复多次，但最终都必须在有限个步骤之内完成．[例1]已知平面直角坐标系中的两点A(－3,1)，B(3,2)，写出求线段AB的垂直平分线方程的一个算法．[解]线段AB的垂直平分线是指经过线段AB的中点且与线段AB垂直的直线，故可先由中点坐标公式求出线段AB的中点N(0，eq\f(3,2))，然后计算线段AB所在直线的斜率k1＝eq\f(2－1,3－－3)＝eq\f(1,6)，由垂直关系可知，线段AB的垂直平分线的斜率k＝－6，最后由点斜式写出垂直平分线的方程．具体算法步骤如下：S1计算x0＝eq\f(－3＋3,2)＝0，y0＝eq\f(1＋2,2)＝eq\f(3,2)，得线段AB的中点N(0，eq\f(3,2))；S2计算k1＝eq\f(2－1,3－－3)＝eq\f(1,6)，得线段AB所在直线的斜率；S3计算k＝－eq\f(1,k1)＝－6，得线段AB的垂直平分线的斜率；S4由点斜式得线段AB的垂直平分线的方程．二、程序框图及画法程序框图是算法的一种表示形式，具有直观、形象、结构清晰和简洁明了的效果，但难点是怎样才能熟练而准确地画出程序框图，为此教你“抓特征，明规则，依步骤”九字诀，让你即刻拥有画程序框图的基本功．1．抓特征组成任何一个程序框图的三要素是“四框”、“一线”和“文字说明”，所以首先要抓住它们各自的特征与意义．(1)“四框”的特征与意义：①终端框(起止框)的特征是圆角矩形，表示算法的开始和结束，是任何流程不可缺少的；②输入、输出框的特征是平行四边形，表示算法中输入和输出的信息，可放在任何需输入、输出的位置；③处理框(执行框)的特征是方角矩形，表示赋值和计算等，算法中要处理的数据或计算可分别写在不同的处理框内；④判断框的特征是菱形，用在当算法要求对两个不同的结果进行判断时．(2)“一线”的特征与意义：流程线的特征是带有方向箭头的线，用以连接程序框，直观地表示算法的流程，任意两个程序框之间都存在流程线．(3)“文字”的特征与意义：在框图内加以说明的文字、算式等，也是每个框图不可缺少的内容．2．明规则程序框图的画法规则是：①用标准，即使用标准的框图符号；②按顺序，即框图一般从上到下、从左到右的顺序画；③看出入，即大多数程序框图的图形符号只有一个入口和一个出口，判断框是唯一具有超过一个出口的符号，条件结构中要在出口处标明“是”或“否”；④明循环，即循环结构要注意变量的初始值及循环终止条件；⑤辨流向，即流程线的箭头表示执行的方向，不可缺少；⑥简说明，即在图形符号内的描述语言要简练、清晰．3．依步骤画程序框图的总体步骤是：S1先设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以在画程序框图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要哪种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构)；S2再把算法步骤转化为对应的程序框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程．具体画法步骤请看例题．[例2]阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于()A．－3 B．－10C．0 D．－2[解析](1)k＝1,1<4，s＝2×1－1＝1；(2)k＝2,2<4，s＝2×1－2＝0；(3)k＝3,3<4，s＝2×0－3＝－3；(4)k＝4，直接输出s＝－3.[答案]A[例3]某复印室复印A4纸的计费方法如下：10张以内(不包括10张)的按每张5角钱计费；10张到50张之间(不包括50张)按每张4角钱计费；50张到100张之间(不包括100张)按每张3角钱计费；100张及以上按每张2角钱计费．设计一个程序框图，要求输入复印的张数x，输出复印费y(元)．[分析]解答本题的关键是根据题意列出函数关系式，要特别注意是分段函数．[解]程序框图如图．三、辗转相除法和更相减损术、秦九韶算法及不同进制数间的互化1．求两个正整数的最大公约数(1)辗转相除法：反复做除法，直到大数被小数除尽．(2)更相减损术：反复做减法，直到差与较小的数相等．2．用秦九韶算法求多项式的值用秦九韶算法求多项式的值时，首先要对所给的n次多项式进行合理的改写，然后由内向外逐次计算，要确保中间计算结果的准确性．3．不同进制数间的互化非十进制的数转化成十进制的数比较容易，只要将其写成各位上的数与基数的幂的乘积之和的形式再求和即可；相应地，将十进制的数转化成k进制的数，只需用除k取余法，再将得到的余数从下到上写出即为k进制的数；要实现不同进制数间的互化，可借助十进制的数作为过渡．[例4]用辗转相除法求888与1147的最大公约数．[解]∵1147＝888×1＋259，888＝259×3＋111，259＝111×2＋37，111＝37×3，