6.2.3向量的数乘运算（原卷版）

6.2.3向量的数乘运算【考点梳理】考点一：向量的数乘运算考点二：平面向量的混合运算考点三：向量的线性运算的几何应用考点四：三角形的心的向量表示【知识梳理】知识一向量数乘的定义实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反.))特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a.知识二向量数乘的运算律.(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识三向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【题型归纳】题型一：向量的数乘运算1．（2022·高一）下列计算正确的个数是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．（2022下·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期中）四边形中，，，则下列表示正确的是（

）A． B．C． D．3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江县蒲江中学校考阶段练习）已知，是实数，，是向量，则下列命题中正确的为（

）①；②；③若，则；④若，则．A．①④ B．①② C．①③ D．③④题型二：平面向量的混合运算4．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）在中，是的中点，在上且，记，，则（）A． B．C． D．5．（2023·高一）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．6．（2021·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点.（1）若点O满足，求证：；（2）已知E为AC边中点，O在线段DE上，且满足，△BOC的面积为2，求△ABC的面积.题型三：向量的线性运算的几何应用7．（2023上·北京顺义·高一牛栏山一中校考期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（

）A．B．C． D．8．（2023下·福建三明·高一统考期末）在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（

）A． B． C． D．9．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.(1)试用，表示；(2)若点G是的重心，能否用，表示？(3)若点G是的重心，求.题型四：三角形的心的向量表示10．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心11．（2022下·山东济宁·高一统考期中）已知△ABC，点G、M满足，，则(

)A． B．C． D．12．（2021下·四川自贡·高一统考期末）已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（

）．A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【双基达标】一、单选题13．（2024·全国·高一假期作业）已知四边形为平行四边形，与相交于，设，则等于（

）A． B．C． D．14．（2023下·全国·高一随堂练习）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．315．（2023下·全国·高一期中）平面上点P与不共线三点A、B、C满足关系式：，则下列结论正确的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．点为的重心16．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（

）A． B．C． D．17．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).18．（2023下·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）如图，已知点是的重心，若过的重心，且，，，（，），试求的最小值．【高分突破】一、单选题19．（2023下·云南·高一校联考期末）在中，线段为边上的中线，点满足，记，则（

）A． B．C． D．20．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）在中，点满足，则（

）A． B．C． D．21．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为（

）．A． B． C． D．22．（2023下·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足，则与面积比为（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:223．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①

②③若，则

④若，则其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．424．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）在平行四边形中，，，设，则（

）A． B． C． D．二、多选题25．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图在中，AD､BE､CF分别是边BC､CA､AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．26．（2023下·浙江嘉兴·高一校考期中）如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．27．（2023下·全国·高一随堂练习）设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则28．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）在中，，以下结论正确的是（

）A． B．C． D．29．（2023上·高一单元测试）已知，若点满足，则下列说法正确的是（

）A．点一定在内部 B．C． D．三、填空题30．（2023下·全国·高一随堂练习）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则．31．（2023下·河北石家庄·高一校考期中）设是内部一点，且，则．32．（2023下·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股圆方图（也称赵爽弦图），弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用.现有一弦图，为正方形，，过作的垂线交于点，线段上存在一点，使得，则.33．（2023下·天津·高一静海一中校联考期末）已知点是内部一点，并且满足的面积为，的面积为，则.34．（2023·高一课时练习）下列命题：①如果非零且模不相等的向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同；②中，必有；③若，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若，均为非零向量，则．其中正确命题的题号为．四、解答题35．（2022下·高一校考单元测试）如图所示，梯形ABCD中，，且，分别是和的中点，若，，试用表示.