人教版高中物理选修3-5学案第十六章习题课动量和能量的综合应用

习题课：动量和能量的综合应用[学习目标]1.熟练掌握动量守恒定律的运用.2.利用动量守恒定律结合能量守恒解决相关功能关系问题．一、滑块—木板模型1．把滑块、木板看做一个整体，摩擦力为内力，在光滑水平面上滑块和木板组成的系统动量守恒．2．由于摩擦生热，机械能转化为内能，系统机械能不守恒．应由能量守恒求解问题．3．滑块若未滑离木板时最后二者有共同速度，机械能损失最多．例1如图1所示，在光滑的水平面上有一质量为M的长木板，以速度v0向右做匀速直线运动，将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点，这时小铁块相对地面速度为零，小铁块相对木板向左滑动．由于小铁块和木板间有摩擦，最后它们之间相对静止，已知它们之间的动摩擦因数为μ，问：图1(1)小铁块跟木板相对静止时，它们的共同速度多大？(2)它们相对静止时，小铁块与木板上的A点距离多远？(3)在全过程中有多少机械能转化为内能？解析(1)木板与小铁块组成的系统动量守恒．以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得，Mv0＝(M＋m)v′，则v′＝eq\f(Mv0,M＋m).(2)由功能关系可得，摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量，μmgx相＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v′2.解得x相＝eq\f(Mv\o\al(2,0),2μgM＋m).(3)方法一：由能量守恒定律可得，Q＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v′2＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m)方法二：根据功能关系，转化成的内能等于系统克服摩擦力做的功，即ΔE＝Q＝μmg·x相＝eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m).答案(1)eq\f(Mv0,M＋m)(2)eq\f(Mv\o\al(2,0),2μgM＋m)(3)eq\f(Mmv\o\al(2,0),2M＋m)例2如图2所示，光滑水平桌面上有长L＝2m的挡板C，质量mC＝5kg，在其正中央并排放着两个小滑块A和B，mA＝1kg，mB＝3kg，开始时三个物体都静止．在A、B间放有少量塑胶炸药，爆炸后A以6m/s的速度水平向左运动，A、B中任意一块与挡板C碰撞后，都粘在一起，不计摩擦和碰撞时间，求：图2(1)当两滑块A、B都与挡板C碰撞后，C的速度是多大；(2)A、C碰撞过程中损失的机械能．解析(1)A、B、C系统动量守恒，有0＝(mA＋mB＋mC)vC，解得vC＝0.(2)炸药爆炸时A、B系统动量守恒，有mAvA＝mBvB解得：vB＝2m/s所以A先与C碰撞，A、C碰撞前后系统动量守恒，有mAvA＝(mA＋mC)v解得v＝1m/sA、C碰撞过程中损失的机械能ΔE＝eq\f(1,2)mAveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)(mA＋mC)v2＝15J.答案(1)0(2)15J二、子弹打木块模型1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒．2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化．3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同速度，机械能损失最多．例3如图3所示，在水平地面上放置一质量为M的木块，一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出)，若木块与地面间的动摩擦因数为μ，求：图3(1)子弹射入后，木块在地面上前进的距离；(2)射入的过程中，系统损失的机械能；(3)子弹在木块中打入的深度．解析因子弹未射出，故碰撞后子弹与木块的速度相同，而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差．(1)设子弹射入木块后，二者的共同速度为v′，取子弹的初速度方向为正方向，则由动量守恒得：mv＝(M＋m)v′ ①二者一起沿地面滑动，前进的距离为x，由动能定理得：－μ(M＋m)gx＝0－eq\f(1,2)(M＋m)v′2 ②由①②两式解得：x＝eq\f(m2v2,2M＋m2μg)(2)射入过程中损失的机械能ΔE＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)(M＋m)v′2 ③解得：ΔE＝eq\f(Mmv2,2M＋m).(3)设子弹在木块中打入的深度，即子弹相对于木块的位移为x相对，则ΔE＝μmgx相对得：x相对＝eq\f(ΔE,μmg)＝eq\f(Mv2,2μgM＋m).答案(1)eq\f(m2v2,2M＋m2μg)(2)eq\f(Mmv2,2M＋m)(3)eq\f(Mv2,2μgM＋m)三、弹簧类模型1．对于弹簧类问题，在作用过程中，若系统合外力为零，则满足动量守恒．2．整个过程往往涉及到多种形式的能的转化，如：弹性势能、动能、内能、重力势能的转化，应用能量守恒定律解决此类问题．3．注意：弹簧压缩最短时，弹簧连接的两物体速度相等，此时弹簧弹性势能最大．例4两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以v＝6m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量为4kg的物块C静止在前方，如图4所示．B与C碰撞后二者会粘在一起运动．则在以后的运动中：图4(1)当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大？(2)系统中弹性势能的最大值是多少？解析(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大．由A、B、C三者组成的系统动量守恒得，(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vABC，解得vABC＝eq\f(2＋2×6,2＋2＋4)m/s＝3m/s.(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为vBC，则mBv＝(mB＋mC)vBC得：vBC＝eq\f(2×6,2＋4)m/s＝2m/s，设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep，根据能量守恒Ep＝eq\f(1,2)(mB＋mC)veq\o\al(2,BC)＋eq\f(1,2)mAv2－eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)veq\o\al(2,ABC)＝eq\f(1,2)×(2＋4)×22J＋eq\f(1,2)×2×62J－eq\f(1,2)×(2＋2＋4)×32J＝12J.答案(1)3m/s(2)12J总结提升1．含有弹簧类的碰撞问题，要特别注意物块碰撞中机械能可能转化为内能，所以全过程看系统机械能往往不守恒．2．处理动量和能量结合问题时应注意的问题(1)守恒条件：动量守恒条件是系统所受合外力为零，而机械能守恒条件是合外力做的功为零．(2)分析重点：判断动量是否守恒研究系统的受力情况，而判断机械能是否守恒及能量的转化情况研究系统的做功情况．(3)表达式：动量为矢量式，能量为标量式．(4)注意：某一过程中系统动量守恒，但机械能不一定守恒，反之，机械能守恒的过程动量不一定守恒．1．(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，将其放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v水平射向滑块，若射击下层，子弹刚好不射出，若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，如图5所示，上述两种情况相比较()图5A．子弹对滑块做功一样多B．子弹对滑块做的功不一样多C．系统产生的热量一样多D．系统产生的热量不一定多答案AC解析两次都没射出，则子弹与滑块最终达到共同速度，设为v共，由动量守恒定律可得mv＝(M＋m)v共，得v共＝eq\f(m,M＋m)v；子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能，故选项A正确；系统损失的机械能转化为热量，故选项C正确．2．(多选)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ.初始时小物块停在箱子正中间，如图6所示．现给小物块一水平向右的初速度v，小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止．设碰撞都是弹性碰撞，则整个过程中，系统损失的动能为()图6A.eq\f(1,2)mv2 B.eq\f(1,2)·eq\f(mM,m＋M)v2C.eq\f(1,2)NμmgL D．NμmgL答案BD解析根据动量守恒，小物块和箱子的共同速度v′＝eq\f(mv,M＋m)，损失的动能ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)(M＋m)v′2＝eq\f(1,2)·eq\f(mM,m＋M)v2，所以B正确；根据能量守恒，系统损失的动能等于因摩擦产生的热量，而计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移，所以ΔEk＝NFfL＝NμmgL，可见D正确．3．如图7所示，在光滑水平面上，有一质量M＝3kg的薄板，板上有质量m＝1kg的物块，两者以v0＝4m/s的初速度朝相反方向运动．它们之间有摩擦，薄板足够长，求：图7(1)最后二者的速度多大？方向如何？(2)求全过程机械能转化的内能为多少．答案(1)2m/s，方向水平向右(2)24J解析(1)由于水平面光滑，则物块与长薄板组成的系统动量守恒．由于板足够长，故最后二者将达到共同速度．根据动量守恒定律Mv0－mv0＝(M＋m)v得：v＝2m/s方向与薄板方向相同(水平向右)(2)根据能量守恒定律ΔE＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,0)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)－eq\f(1,2)(M＋m)v2代入数据得：ΔE＝24J.4．两块质量都是m的木块A和B在光滑水平面上均以速度eq\f(v0,2)向左匀速运动，中间用一根劲度系数为k的轻弹簧连接，如图8所示．现从水平方向迎面射来一颗子弹，质量为eq\f(m,4)，速度为v0，子弹射入木块A并留在其中．求：图8(1)在子弹击中木块后的瞬间木块A、B的速度vA和vB的大小．(2)在子弹击中木块后的运动过程中弹簧的最大弹性势能．答案(1)eq\f(v0,5)eq\f(v0,2)(2)eq\f(1,40)mveq\o\al(2,0)解析(1)在子弹打入木块A的瞬间，由于相互作用时间极短，弹簧来不及发生形变，A、B都不受弹力的作用，故vB＝eq\f(v0,2)；由于此时A不受弹力，木块A和子弹构成的系统在这极短过程中不受外力作用，选向左为正方向，系统动量守恒：eq\f(mv0,2)－eq\f(mv0,4)＝(eq\f(m,4)＋m)vA解得vA＝eq\f(v0,5)(2)由于木块A、木块B运动方向相同且vA<vB，故弹簧开始被压缩，分别给A、B木块施以弹力，使得木块A加速、B减速运动，弹簧不断被压缩，弹性势能增大，直到二者速度相等时弹簧弹性势能最大，在弹簧压缩过程木块A(包括子弹)、B与弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒．设弹簧压缩量最大时共同速度为v，弹簧的最大弹性势能为Epm，由动量守恒定律得eq\f(5,4)mvA＋mvB＝(eq\f(5,4)m＋m)v由机械能守恒定律得eq\f(1,2)×eq\f(5,4)mveq\o\al(2,A)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝eq\f(1,2)(eq\f(5,4)m＋m)v2＋Epm联立解得v＝eq\f(1,3)v0，Epm＝eq\f(1,40)mveq\o\al(2,0).一、选择题(1～3为单选题，4为多选题)1．质量为m1、m2的滑块分别以速度v1和v2沿斜面匀速下滑，斜面足够长，如图1所示，已知v2>v1，有一轻弹簧固定在m2上，则弹簧被压缩至最短时m1的速度()图1A.eq\f(m1v1,m1＋m2) B.eq\f(m2v2－m1v1,m1＋m2)C.eq\f(m1v1＋m2v2,m1＋m2) D.eq\f(m1v1＋m2v2,m1)答案C解析两滑块匀速下滑所受外力为零，相互作用时合外力仍为零，动量守恒．当弹簧被压缩时，m1加速，m2减速，当压缩至最短时，m1、m2速度相等．设两滑块速度相等时速度为v，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v解得弹簧被压缩至最短时的速度v＝eq\f(m1v1＋m2v2,m1＋m2).所以选项C正确．2．如图2所示，A、B两个木块用轻弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，A和B的质量分别是99m和100m，一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出，则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值为()图2A.eq\f(mv\o\al(2,0),400)B.eq\f(mv\o\al(2,0),200)C.eq\f(99mv\o\al(2,0),200)D.eq\f(199mv\o\al(2,0),400)答案A解析子弹射入木块A的过程中，动量守恒，有mv0＝100mv1，子弹、A、B三者速度相等时，弹簧的弹性势能最大，100mv1＝200mv2，弹性势能的最大值Ep＝eq\f(1,2)×100mveq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)×200mveq\o\al(2,2)＝eq\f(mv\o\al(2,0),400).3．如图3所示，一枚火箭搭载着卫星以速率v0进入太空预定位置，由控制系统使箭体与卫星分离．已知前部分的卫星质量为m1，后部分的箭体质量为m2，分离后箭体以速率v2沿火箭原方向飞行，若忽略空气阻力及分离前后系统质量的变化，则分离后卫星的速率v1为()图3A．v0－v2 B．v0＋v2C．v0－eq\f(m2,m1)v2 D．v0＋eq\f(m2,m1)(v0－v2)答案D解析根据动量守恒定律列方程求解．对火箭和卫星由动量守恒定律得(m1＋m2)v0＝m2v2＋m1v1解得v1＝eq\f(m1＋m2v0－m2v2,m1)＝v0＋eq\f(m2,m1)(v0－v2)．故选D.4．如图4所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为m的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为m的小球从槽高h处开始自由下滑()图4A．在下滑过程中小球和槽在水平方向上的动量守恒B．在整个过程中，小球和槽在水平方向上的动量守恒C．在下滑过程中小球和槽的机械能守恒D．在整个过程中，小球和槽的机械能守恒答案AC解析在下滑过程中，小球与槽组成的系统在水平方向动量守恒，在压缩弹簧的过程中，由于受到弹簧的弹力，小球与槽在水平方向上动量不守恒，A项正确，B项错误．在下滑过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒，在压缩弹簧的过程中，小球的动能与弹簧的弹性势能相互转化，小球、槽和弹簧的总机械能守恒，C项正确，D项错误．二、非选择题5．如图5所示，带有半径为R的eq\f(1,4)光滑圆弧的小车其质量为M，置于光滑水平面上，一质量为m的小球从圆弧的最顶端由静止释放，则小球离开小车时，小球和小车的速度分别为多少？图5答案eq\r(\f(2MgR,M＋m))，方向水平向左eq\r(\f(2m2gR,MM＋m))，方向水平向右解析小球和小车组成的系统虽然总动量不守恒，但在水平方向动量守恒，且全过程满足机械能守恒，设小球和小车分离时，小球的速度为v1，方向水平向左，小车的速度为v2，方向水平向右．则：mv1－Mv2＝0mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)解得v1＝eq\r(\f(2MgR,M＋m))，方向水平向左，v2＝eq\r(\f(2m2gR,MM＋m))，方向水平向右．6．如图6所示，光滑水平面上有A、B两小车，质量分别为mA＝20kg，mB＝25kg.A车以初速度v0＝3m/s向右运动，B车静止，且B车右端放着物块C，C的质量为mC＝15kg.A、B相撞且在极短时间内连接在一起，不再分开．已知C与B上表面间动摩擦因数为μ＝0.2，B车足够长，求C沿B上表面滑行的长度．(g＝10m/s2)图6答案eq\f(1,3)m解析A、B相撞：mAv0＝(mA＋mB)v1，解得v1＝eq\f(4,3)m/s.由于在极短时间内摩擦力对C的冲量可以忽略，故A、B刚连接为一体时，C的速度为零．此后，C沿B上表面滑行，直至相对于B静止为止．这一过程中，系统动量守恒，系统的动能损失等于滑动摩擦力与C在B上的滑行距离之积；由动量守恒得(mA＋mB)v1＝(mA＋mB＋mC)v由能量守恒eq\f(1,2)(mA＋mB)veq\o\al(2,1)－eq\f(1,2)(mA＋mB＋mC)v2＝μmCgL解得L＝eq\f(1,3)m.7．在如图7所示的光滑水平面上，小明站在静止的小车上用力向右推静止的木箱，木箱离开手以5m/s的速度向右匀速运动，运动一段时间后与竖直墙壁发生弹性碰撞，反弹回来后被小明接住．已知木箱的质量为30kg，小明与车的质量为50kg，求：图7(1)推出木箱后小明和小车一起运动的速度大小；(2)小明接住木箱后三者一起运动，在接木箱过程中系统损失的能量．答案(1)3m/s(2)37.5J解析(1)在推木箱的过程，由动量守恒定律可得：Mv1＝mv2代入数据可得：v1＝3m/s(2)小明在接木箱的过程，由动量守恒定律可得：Mv1＋mv2＝(M＋m)v3代入数据可得：v3＝3.75m/s故损失的能量：ΔE＝eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,1)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)(M＋m)veq\o\al(2,3)代入数据可得：ΔE＝37.5J.8．如图8，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短．求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，图8(1)整个系统损失的机械能；(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．答案(1)eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0)(2)eq\f(13,48)mveq\o\al(2,0)解析(1)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，A、B与弹簧组成的系统动量守恒，有mv0＝2mv1①此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE，对B、C组成的系统，由动量守恒和能量守恒得mv1＝2mv2 ②eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)＝ΔE＋eq\f(1,2)(2m)veq\o\al(2,2) ③联立①②③式，得ΔE＝eq\f(1,16)mveq\o\al(2,0) ④(2)由②式可