高中数学北师大版选修1-1第四章2.1实际问题中导数的意义作业1

[基础达标]1.做直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)为()A．从时刻t到t＋Δt时，物体的平均速度B．该物体在t时刻的瞬时速度C．Δt时刻时，该物体的速度D．从时刻t到t＋Δt时，位移的平均变化率解析：选B.eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)表示运动的物体在t时刻位移的导数，也即该时刻的瞬时速度．2.自由落体的运动公式是s＝eq\f(1,2)gt2(g为重力加速度)，则物体在下落3s到4s之间的平均变化率是(取g＝10m/s2)()A．30 B．32C．35 D．40解析：选C.v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(\f(1,2)g×42－\f(1,2)g×32,4－3)＝eq\f(7,2)g＝35.3.李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华想：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是()解析：选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”，则开始阶段饮料的高度增加较快，以后高度增加得越来越慢，仅有B符合．4.国际环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果如图，(其中W1、W2分别表示甲、乙的排污量)．下列说法正确的是()A．甲企业治污效果好B．乙企业治污效果好C．甲、乙两企业治污效果相同D．无法判定解析：选A.由图可知甲企业治污快，效果好．5.细杆AB的长为20cm，M为细杆AB上的一点，AM段的质量与A到M的距离的平方成正比，当AM＝2cm时，AM的质量为8g，那么当AM＝xcm时，M处的细杆线密度ρ(x)为()A．2x B．3xC．4x D．5x解析：选C.当AM＝xcm时，设AM的质量为f(x)＝kx2，因为f(2)＝8，所以k＝2，即f(x)＝2x2，故细杆线密度ρ(x)＝f′(x)＝4x，故选C.6.人体血液中药物的质量浓度c＝f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化，若f′(2)＝0.3，则f′(2)表示________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：服药2min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3mg/mL的速度增加7.将1kg铁从0℃加热到t℃需要的热量为Q(单位：J)：Q(t)＝0.000297t2＋0.4409t.(1)当t从10变到20时函数值Q关于t的平均变化率是________，它的实际意义是________________________________________________________________________．(2)Q′(100)＝________，它的实际意义是________________________________________________________________________．解析：(1)当t从10变到20时，函数值Q关于t的平均变化率为eq\f(Q（20）－Q（10）,20－10)≈0.4498，它表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量约为0.4498J.(2)Q′(t)＝0.000594t＋0.4409，则Q′(100)＝0.5003，它表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J.答案：(1)0.4498它表示在铁块的温度从10℃增加到20℃的过程中，平均每增加1℃，需要吸收热量约为0.4498J(2)0.5003它表示在铁块的温度为100℃这一时刻每增加1℃，需要吸收热量0.5003J8.已知气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)，将半径r表示为体积V的函数，有r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π))，则当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率为________．解析：∵r(V1)－r(V2)＝eq\r(3,\f(3V1,4π))－eq\r(3,\f(3V2,4π))＝eq\f(\f(3,4π)（V1－V2）,\r(3,\f(9Veq\o\al(2,1),16π2))＋\r(3,\f(9V1V2,16π2))＋\r(3,\f(9Veq\o\al(2,2),16π2))).∴平均膨胀率为：eq\f(r（V1）－r（V2）,V1－V2)＝eq\f(3\r(3,16π2),4π（\r(3,9Veq\o\al(2,1))＋\r(3,9V1V2)＋\r(3,9Veq\o\al(2,2))）).答案：eq\f(3\r(3,16π2),4π（\r(3,9Veq\o\al(2,1))＋\r(3,9V1V2)＋\r(3,9Veq\o\al(2,2))）)9.水以20m3/min的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m，上底面直径为12m，试求当水深为10m时，水面上升的速度．解：设经过tmin后水深为H，则此时水面半径为eq\f(H,5).由等体积知，20t＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(H,5)))eq\s\up12(2)·H.∴H(t)＝5eq\r(3,\f(12t,π))，H′(t)＝eq\f(5,3)eq\r(3,\f(12,π))·t－eq\f(2,3).∴水深10m时水面上升的速度为H′(10)＝eq\f(1,3)eq\r(3,\f(15,π))(m/min)．10.路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上行走，从路灯在地面上的射影点C出发，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速度v.解：如图所示，路灯距地面的距离为DC＝8m，人的身高为EB＝1.6m.设人从C处运动到B处的路程CB为xm，时间为ts，AB为人影长度，设为ym.∵BE∥CD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BE,CD).∴eq\f(y,y＋x)＝eq\f(1.6,8)，∴y＝eq\f(1,4)x.又∵84m/min＝1.4m/s，∴y＝eq\f(1,4)x＝eq\f(7,20)t(x＝1.4t)．∴y′＝eq\f(7,20)，即人影长度的变化速度v为eq\f(7,20)m/s.[能力提升]1.如图所示，设有定圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，则函数的图像大致是()解析：选D.由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，也与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．2.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m(m>1)时球的体积膨胀率为eq\f(28π,3)，则m的值为________．解析：ΔV＝eq\f(4π,3)m3－eq\f(4π,3)×13＝eq\f(4π,3)(m3－1)，∴eq\f(ΔV,ΔR)＝eq\f(\f(4π,3)（m3－1）,m－1)＝eq\f(28,3)π.∴m2＋m＋1＝7.∴m＝2或m＝－3(舍)．答案：23.设生产某种产品的总成本函数c(万元)与产量q(万件)之间的函数关系为c(q)＝100＋4q－0.2q2＋0.01q3.求生产水平为q＝10万元时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看继续提高产量是否合算？解：当q＝10时，总成本c(10)＝100＋4×10－0.2×102＋0.01×103＝100＋40－20＋10＝130(万元)．平均成本130÷10＝13(元/件)，边际成本c′(q)＝4－0.4q＋0.03q2，∴c′(10)＝4－0.4×10＋0.03×102＝4－4＋3＝3(元/件)．因此在生产水平为10万元时每增产一个产品，总成本增加3元，比当前的平均成本13元低，从降低成本角度看，应继续提高产量．4．学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)＝eq\f(3,4＋a·2－t)×100%(f(t)为该学习任务已掌握的程度，t为学习时间)，且这类学习任务中的某项任务满足f(2)＝60%.(1)求f(t)的表达式，计算f(0)并说明f(0)的含义；(2)已知2x>xln2对任意x>0恒成立，现定义eq\f(f（t）,t)为该类学习任务在t时刻的学习效率指数．研究表明，当学习时间t∈(1，2)时，学习效率最佳，则当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．解：(1)∵f(t)＝eq\f(3,4＋a·2－t)×100%(t为学习时间)，且f(2)＝60%，∴eq\f(3,4＋a×2－2)×100%＝60%，解得a＝4.∴f(t)＝eq\f(3,4＋a·2－t)×100%＝eq\f(3,4（1＋2－t）)×100%(t≥0)，∴f(0)＝eq\f(3,4（1＋20）)×100%＝37.5%，f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.(2)令学习效率指数eq\f(f（t）,t)＝y，则y＝eq\f(f（t）,t)＝eq\f(3,4t（1＋2－t）)＝eq\f(3,4（t＋\f(t,2t)）)(t>0)．现研究函数g(t)＝t＋eq\f(t,2t)的单调性，由于g′(t)＝eq\f(2t－tln2＋1,2t)(t>0)，又已知2x>xln2对任意x>0恒成立，即2t－tln2>0对任意t>0恒成立，则g′(t)>0恒成立，∴g(t)在(0，＋∞)上为增函数，且g(t)为正数．∴y＝eq\f(f（t）,t