2023届高考前复习（上海）1-3函数四大考点与真题训练 （解析版）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用））

专题1.3函数四大考点与真题训练

考点一：函数及其性质

一、单选题

1.（2023•上海・统考模拟预测）设双），=》+丫+卜-讯必），=》+丁-卜-3，若正实数α,b,c,"满

aAb<CAd

足：WC<Wd,则下列选项一定正确的是（）

⅛∆c<Nd

A.d>bB.b>c

C.h∖c>aD.dVc>a

【答案】D

a≥ba≥ba<ba<b-

【分析】对新定义进行化简，分别在条件c≥d下化简.M3

c≥dyc<dyc<d'

结合所得结果，进一步确定满足条件的关系，由此判断各选项.

2x,x≥y

【详解】因为Xyy=X+y+∣χ-y∣=

2y,x<y,

2y,x≥y

2x,x<y,

a∆b<CN(I

又<cNc<⅛VJ,

b∖c<αVd

a+b-a-b<c+d-c-d∖

所以,a+c+a-c<b+d+b-d∖

h+c-h-c∖<a+d+a-d∖

(1)若α≥6,cN"贝Ij,不等式。+6-,一百<c+d—上一《

可化为%<2d,贝同<",所以c2d>b,

<X)^a≥c≥d>b,则α+c+∣。—c∣<6+d+∣6-d可化为α<d,矛盾,

②若c>“≥d>6,贝[]a+c+∣α—c∣<6+d+M-d∣可化为c<4,矛盾，

③若c≥d>α≥O,则α+c+∣"—d<6+d+∣6-"∣可化为c<”,矛盾，

(2)若α≥0,c<d贝[],不等式α+6-∣α-b∣<c+d-∣C-M

可化为6<c,所以d>c>b,

①若α2d>c>8,则“+c+∣4—c∣<6+d+∣6-d∣可化为“<d,矛盾,

②若Q>α≥c>6,贝[ja+c+∣4-d<6+d+M-M可化为“<d,；茜足,

b+c-∖b-c∖<a+d+∖a-d∖∏Γ{L⅛⅛<i/,满足，

③若d>c>α≥6,贝IJa+c+∣α-c∣<Z>+d+M-4可化为c<4,满足，

b+c-∖b-c]<a+d+∖a-d∖p]^^)b<d,满足，

(3)a<b,c<dIjJI],不等式ia+b—1<7-⅛∣<c+d—∣c—d∣

可化为"c,所以d>c>α

①若b≥d>c>α,则α+c+∣α-c∣<6+d+∣6—d]可化为CCb,满足,

力+c-∣b—d<α+d+∣α-d∣可化为c∙<4,满足，

②若">6≥c>α,则α+c+∣4—4</?+"+自一”|可化为c<4,满足，

8+c-∣A-d<α+d+∣α-d∣可化为c<”，满足，

③若d>c>b>α,则α+c+∣ɑ-d<0+d+∣b-4可化为c<d,满足，

b+c-∣-d<α+d+∣α-d∣可化为6<d,满足,

⑷若“<AcNd则，不等式a+b-,一.<c+d-∣c-M

可化为αvd,所以CNd>〃，

(D^b≥c≥d>a,贝(Ja+c+∣α-c∣<8+α+M-M可化为c<8,满足，

λ>+c—M-d<α+"+∣α—d]可彳匕为c<d,矛盾，

②若C≥⅛∙2d>α,贝|]4+。+|4—4<力+”+|8一4/|可化为<7<6,矛盾，

(3)⅛c≥d≥b>a,则4+c,+∣ɑ—d<6+d+∣b-M可化为c<”，矛盾，

综上，b≥d>c>a^d>b≥c>a^d>c>b>a^d>a≥c>b^d>c>a≥b,

由6≥d>c>α矢口，A错误；

由d>c>b>α知，B专笥吴；

当d>.≥c>〃时，bΛc=b+c-∖b-c∖=b+c-c+b=2b,

取d=7,α=6,c=2,b=l可得，满足条件但bAc=2<4,

C错误；

当6≥d>c>α时,dVc=d+c+∖d-c^=2d>a,

当d>匕之c>“时,cΓ7c=d+c-i-∖d-c∖=2d>a

当d>c>b>4时,dVc=d-∖-c+∖d-c∖=2d>a,

当d>αNc>∕)时,dVc=d+c+∖d-c∖=2d>a,

j

当d>c>”≥∕)时,cNc=d+ct-∖d-(∖=2d>ai

故选:D.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后

根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的

透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是

“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

二、填空题

2.(2023•上海黄浦•统考一模)函数y=lg(2-χ)的定义域是.

【答案】(-2)

【详解】由题设有2-x>O,解得x<2,故函数的定义域为(-∞,2),填(-8,2).

3.(2023•上海闵行・上海市七宝中学校考模拟预测)已知函数/")(XeR)是奇函数，且当

x>O时，fW=2x-[,不等式/(x)>-g的解集为.

31

【答案】3-τ<x≤O或

44

【分析】先求出X<O时的解析式，然后分X>O,X<O,X=O分别解不等式即可.

【详解】当X<O时，-x>O,/(x)=-∕(-x)=-[2(-x)-l]=2x+l

由/W>--∣得

x>0x<0x=O

2*+1>」或()>」

222

31

解得｛工1一；<«^^0或%>：｝

44

31

故答案为：｛χ∣-7<χ≤0或工>;｝

44

4.(2023•上海统考模拟预测)已知函数/(x)=x+hιx-l,则不等式/(x)<0的解集是

【答案】(0,1)

【分析】根据函数的单调性，以及/(1)=0即可求解.

【详解】函数"x)=x+∣nx-1的定义域为(0,+e).

因为y=x-l在(0,+纥)上为增函数，》=111》在(0,+(»)上为增函数，

所以/(x)=x+lnxT在(0,+功上为增函数，

又/⑴=l+lnl-1=0,所以不等式/(x)<0的解集为(0,1).

故答案为：(OJ)

5.(2023•上海•统考模拟预测)f(x)在R上非严格递增，满足

“x+l)=∕(x)+l,g(x)=J累席：28,若存在符合上述要求的函数"x)及实数司，满足

g(%+4)=g(3)+1,贝[]”的取值范围是.

【答案】(T-2)(2,4)

【分析】根据题意整理可得：对T"∈N*,则/(x+")=f(x)+%分类讨论%，与+4的取值范

围，分析运算.

【详解】∙.∙∕(x+l)=∕(x)+l,即/(x+l)-/(X)=I

对D"∈N',则

/(x+π)=[∕(x+n)-∕(x+n-l)]+[∕(x+π-l)-∕(x+M-2)]+∙∙∙+[∕(x+l)-∕(x)]+∕(x)

=l+l+-+l+∕(x)="+∕(x),

故对VWeN*,贝IIf(X+")=f(x)+”,

'∙∙g(xθ+4)=g(xo)+l,则有：

1.当x°≤-12时,则x°+4≤-8,

可得F(Xo+4-α)=√(∙¾-α)+4=∕(xo-a)+l,不成立;

2.当-12VXO≤-8时,则-8—-

可得/(∙⅞+4)=∕(j⅛)+4=∕(%-α)+l,则/(%―α)=∕(%)+3,

若-“=3,解得〃=-3,符合题意；

特别的：例如/(X)=匕XW伙,々+1),%eZ,¾∈{-l1,-10,-9,-8},贝(]3≤-α<4,解得

-4<α<-3;

例如∕^(x)=NXw(A,々+1],&eZ,取Λ⅛e{-11,-10,-9,-8},则2<-4≤3,解得-4<α<-2;

故∙4<a≤-3;

3.当-8<x0<4时，贝[]-4<x0+4<8,

可得/(%+4)="Λ0)+4=∕(%)+1,不成立；

4.当4≤x°<8时，贝(]8≤x°+4<12,

可得“xo+4-α)=√(∙¾-a)+4="xo)+l,贝(J/(%)=F(毛一。)+3,

若α=3,解得。=3,符合题意；

特别的：例如/(x)=%,xeWA+l),4eZ,取Λ0∈{4,5,6,7},则3≤α<4;

例如F(X)=左,x∈(N*+l],&∈Z,取%∈{4,5,6,7},则2<α≤3;

故3≤α<4;

5.当x°≥8时，则x0+4≥12,

可得/(∙⅞+4-a)=∕(∙⅞-a)+4=∕(j⅛-α)+l,不成立；

综上所述：。的取值范围是(T-2)U(2,4).

故答案为：(-4-2)(2,4).

【点睛】关键点点睛：

⑴对/(χ+ι)="χ)+ι,结合累加法求得/(χ+")=∕(χ)+”;

⑵对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论x°,x°+4与±8的大小关系；

(3)对特殊函数的处理，本题可取/(x)=匕Xe伏/+1),无WZ和/(x)=A,Xe(RA+1］,%wZ.

三、解答题

6.(2023♦上海闵行•上海市七宝中学校考模拟预测)若函数/(x)和g(x)的图象均连续不断，

"x)和g(x)均在任意的区间上不恒为O,的定义域为Lg(x)的定义域为加存在非空

区间AUaC八)，满足：VxWA,均有/(x)g(x)40,则称区间A为〃x)和g(x)的“Q区

间”.

⑴写出"x)=sinx和g(χ)=cosx在［(),可上的一个“Q区间”(无需证明)；

⑵若/(χ)=χ3,［T1］是“X)和g(x)的“Ω区间”，证明:g(x)不是偶函数；

(3)若"x)=W+x+sin2x,且在区间(0,1］上单调递憎，(。,+^是/但和8⑴的“Q

ec

区间”，证明：g(x)在区间(0,+e)上存在零点.

【答案】(1)pπ(答案不唯一，只需是全兀的非空子集即可)

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)根据“。区间”的定义求得结果即可；

(2)根据存在Λ⅛e［T,0),使得g(Λ1)>O且g(f)≤0,结合奇偶性定义可证得结论；

(3)由零点存在定理可知存在唯一teg』)，使得/(f)=0,结合单调性可确定存在

∕∈(α,0,使得g(2)=0,由此可得结论.

【详解】⑴"X)的定义域为R,g(χ)的定义域为R,∙MΛ=R;

当Xepπ时，/(x)=sinx>0,g(x)=cosx≤0,/(x)g(x)≤0,

∖/(x)和g(x)的一个“Q区间”为∣,π；

则/(x)和g(x)在［()，兀］上的一个“。区间”是玄兀的非空子集.

⑵当XG［-1,0)时，"x)=x3<0,∙∙∙g(x)≥0;

当Xe(0,1］时，f(x)=x3>0,Λg(x)≤0；

g(x)在任意区间上不恒为0,

，存在x∣e［T,0),使得g(x∣)>0;又g(τ∣)≤0,.∙.g(F)≠g(χ),

∙∙∙g(χ)不是偶函数.

兀InX

(3)当Xe(I,+∞)时，/(x)=1r+x+sin2x>0+l+sin2xN0.

ee

当Xe(0,1］时，/(l)=l+sin2>0,=-π+→sin∣<0,

又/(x)在区间(0』上单调递增，；.存在唯一regl),使得/(f)=0,

且当x∈(0,t)时，/(x)<0；当XeaI)时，/(x)>0；

当X€(0,/)时，g(x)≥O且存在α∈(0∕),使得g(<z)>O;当xc(f,+∞)时，g(x)≤O且存在

尸∈(r,+∞),使得g(⑶<0；

存在2e(α,Q),使得g(X)=0,.∙.g(x)在区间(0,+巧上存在零点.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义运算的问题，本题第三问证明函数在区间内存

在零点的关键是能够结合函数的单调性，利用零点存在定理来说明函数存在零点.

7.(2023•上海•统考模拟预测)函数〃x)="+x(a>0),且/(l)=e+l.

⑴判断"x)在R上的单调性，并利用单调性的定义证明；

⑵g(x)=f(x)-2,且g(x)在(0,+8)上有零点,求〉的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析；

(2)Λ≥β+l

【分析】(1)由题意解出。的值，再利用单调性的定义证明即可；

(2)转化问题为e'+XTX=O在(0,+8)上有解，则彳=巨+1有解，利用导函数求h+1的单调

XX

性，进而求得取值范围即可.

【详解】⑴由题意可得/(l)="+l=e+l,解得a=e,所以〃X)=e'+x,

/(x)在R上单调递增，证明如下：

t2Λrx：

任取x∣>x2eR,贝(∣∕(xj-/(/)=e"+x1-e-2=e'-e+xy-x2,

因为y=e”在R上单调递增，且用>々，

所以e*Je*2>0,Xl-X2>0,

所以/(%)T(W)>O,即/GA"%),

所以/(x)在R上单调递增.

(2)由⑴得g(x)=e'+x-2x,

g(x)在(0,+∞)上有零点,即ejr+x-4x=0在(。,+8)上有解,则4=0+1有解，

X

令尸(X)=三+1,则2X)=^≤=e'(j-l),

令尸'(x)>0角星得x>l,令F'(x)<O自毕得O<x<l,

所以F(X)在(0,1)单调递减，在(l,+∞)单调递增，

所以"XLn=P(I)=e+l,没有最大值,

所以Λ≥c÷1.

8.(2023・上海黄浦•统考一模)已知集合A和定义域为R的函数y=f(x),若对任意f∈A,

XeR,者B有〃x+f)-∕(x)∈A,则称"x)是关于A的同变函数.

⑴当A=(O,m)与(0,1)时，分别判断/(x)=2*是否为关于A的同变函数，并说明理由；

⑵若"x)是关于｛2｝的同变函数，且当XWO,2)时，于⑺=岳,试求〃x)在

［2太2Z+2)(k∈Z)上的表达式，并比较F(X)与；的大小；

⑶若〃为正整数，且"x)是关于［2一",2」［的同变函数，求证：〃x)既是关于｛m2"｝WeZ)

的同变函数，也是关于［0,+⑹的同变函数.

【答案】⑴当A=(0,4W)时，/(x)=2"是关于(0,。)的同变函数；当A=美1)时,/(x)不

是关于((U)的同变函数，理由见解析.

⑵/(X)=5∕2(X-21)+23当x=2左+g(AwZ)时，/(x)=x+g;当+；任eZ)时，

/(x)<x+^.

(3)证明见解析.

【分析】⑴当A=(O,”)时，运用定义证明即可；当A=((U)时，举反例说明即可.

(2)由定义推导出y="x)-x是以2为周期的周期函数，进而可得/(X)在[2匕2%+2)(^^2)解析

式，再运用作差法后使用换元法研究函数的最值来比较/O)与x+；的大小.

(3)运用定义推导出“X)-X是以2"为周期的周期函数，再用定义分别证明t=m∙2-"("wZ)

与fw[0,y)两种情况即可.

【详解】⑴当A=(O,例)时,对任意的∕∈A,xeR,f(x+t)-f(x)=2^2'-l),

由2'>1,可得2，-1>0,又2*>0,所以/(x+r)-∕(x)∈A,

故/(x)=2*是关于(0,+8)的同变函数；

当A=(O,1)时，存在;eA,2∈R,使得/(x+r)-/(X)=2?(应-1)>1,βp∕(x+r)-∕(x)gA,

所以不是关于(0,1)的同变函数.

(2)由F(X)是关于｛2｝的同变函数,可知/(x+2)=∕(x)+2恒成立，

所以/(x+2)-(x+2)=f(x)-X恒成立，故y=∕(x)f是以2为周期的周期函数.

当xe[2Z,2A+2)(ZeZ)时，x-2k∈[θ,2),由/(x)-x=∕(x-2Z)-(X-2%),

可知/(x)=/(x-2Z)+2后=y∣2(x-2k)+2k.

(提示："x)=∕(x-2Z)+2%也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证)

对任意的xeR,都存在(ZeZ),使得xw[2Z,2Z+2),故f(x)=p(x-2k)+2k.

所以“x)-(x+[=/商

2

令P(X-2k)=t,则χ-2k=],可得f∈[0,2),

所以“x)-(x+f="g-g=-gf-l)2≤0(当且仅当f=l,即x=2Z+g时取等号).

所以当x=2%+g(keZ)时，/(x)=x+g;

当x≠2k+g(%wZ)时，/(x)<x+∣.

(3)因为.F")是关于[2-",2i]的同变函数，

所以对任意的fe[2-",2i],χeR,都有/(x+f)[f(x)s[2-",2〜],

故/(x+2-")-f(x)≥2,用χ+2F代换X,可得F(X+2i)-f(x+2-")≥2,

所以[/(X+2-")T(X)[+[∕(X+25)-∕(X+2-")]≥2~,即MX+21)T(x)≥2j,

又/(x+2i)T(x)≥2i,故/(x+25)-f(x)=2~,且f(x+2T)T(X)=2，

所以/(x+2F)-(X+2-")=∕(x)-X,故/(X)-X是以2-"为周期的周期函数.

对任意的f=g2-"(meZ),χeR,由+=/(X)—x,

可得f(x+m∙2-")-f(x)=m∙2-",(*)

所以〃力是关于｛mTn｝(m∈Z)的同变函数.

对任意的te[0,+∞),存在非负整数也使fe["z∙2-",(m+l)∙2-1,

所以Tm+l)∙2-"e[2-",2i],对任意的xeR,f(x+t)-f(x)=

/(x+(-W+1)2")+(机―1>2-")_/('=/1+,_(优+1)2"))+(机_力2-"_〃司

>2-,,+(W-1)∙2^,,=777∙2^,,≥O,g∣J∕(x+z)-∕(x)∈[θ,+oo),

所以/（X）是关于［0,+8）的同变函数.

故/（X）既是关于1疗2-"｝（加62）的同变函数，也是关于［0,+8）的同变函数.

9.（2023•上海黄浦・统考一模）某展览会有四个展馆，分别位于矩形A38的四个顶点A、

6、C、。处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在

一起，其中A8=8百米，4）=6百米，^AE=DE=BF=CF.

DC

6

AB

（1）试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量X,并求出步道的总长

y（单位：百米）关于X的函数关系式；

（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）.

【答案】（1）答案见解析

（2）18.39百米

【分析】（1）若设AE=X百米，运用勾股定理表示目V、ME,进而写出y与X的关系式；

若设∕M4E=x,运用三角函数表示AE、FN、ME,进而写出y与X的关系式；

（2）运用导数研究函数的最值即可.

【详解】⑴设直线EF与A。BC分别交于点M,N,

DC

6

MN

AB

若设AE=x百米，则RV=Affi=JA』,所以EF=MN-FN-ME=8-2正-9,

AE>0一x>0

又因为ʌ=>0<x<3,

FN>0=X2-9>0

所以y=4X÷8-2>∕X2-9(3<x<5).

3

若设∕M4E=x,则AE=——,FN=ME=3tanx,

COSX

EF=MN-FN-ME=8-6tanx,

4

则8—6tan%>0,解得tanx<§,又因为XW(OeJ,

一4

所以0<x<arctan—,

所以y=±+8-6tanxfθ<x<arctang)).

COSX

(2)iδ∕(χ)=4x+8-2√x2-9(3<x<5)),

2x

∕,(λ-)=4-(3<ɪ<5),令r(%)=0,Wx=2√3,

JX2—9

r(x)=4--⅛=<0

当3<x<2√?时，''',当2√J<x<5时，f")>0,

所以/（ɪ）在（3,2√3）上单调递减，在（235）上单调递增,

故当“26时，/(x)取得极小值(最小值)/(2档)=8+6有。18.39(百米).

所以步道的最短总长度约为18.39百米.

12(4、

设/(X)=-----+8-6tanxO<x<arctan—),

cosxv3)

∕,(x)=12smf-6f0<ɪ<arctan,令r(χ)=0,可得χ=g,

当Xe(O总时，_f(x)<。，当XWC，arctang[时，制x)>0,

所以/(x)在(0/上单调递减，在已…修上单调递增，

故当X=押，〃x)取得极小值(最小值)/[^=8+6√3≈18.39(百米)，

所以步道的最短总长度约为18.39百米.

考点二：一次函数与二次函数

一、单选题

1.(2022•上海松江•统考二模)已知正方形的边长为4,点U、N分别在边A。、BC

上，且40=1,BN=2,若点尸在正方形A8C3的边上，则PM∙PN的取值范围是()

A.L-6,6JB.[-6,2]C.[-2,6JD.[-2,21

【答案】C

【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的数量积运算及二次函数求值域即可得解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系,

D

M'

AX

则M(0,1),N(4,2),

当尸在AD上时,设P(0,y)(04y≤4),PΛ∕=(0,l-y),PN=(4,2-y).

→→ɜ1

:.PM-PN=y2-3y+2=(y-^)2

3TT1_>_>

当y=W时，(PM∙PN)min=-“当y=4时，(PΛ∕.PN)majι=6,

S,∖]--≤PMPN≤6,

4

当尸在BC上时,设P(4,y)(04y≤4),则∕⅛=(γ,i-y),无=(0,2-y),

→-÷Ql1

2

.∙.PM-PN=y-3y+2=(y—)2--,^∖--≤PMPN≤6,

当尸在AB上时，设尸(x,0)(0<x≤4),俞=(_乂1),而=(4一兑2)，

2

.∙.PM-PN=X-4x+2=(X-2)2-2>

当x=2时，(PM-PN)min=-2,当x=4时，(前•前)nm=2,

即-24PM∙∕W≤2,

当P在Cf)上时，设P(X,4)(0<x≤4),P6=(T,_3),P”=(4-X,-2)，

:.PM-PN=X2-4x+6=(x-2)2+2>

当x=2时，(前.无)nιhι=2,当x=4时，(PM-PN)imx=6>

^2<PMPN<6.

综上可得，-2≤PMPN<6,

故选：C

2.(2022•上海浦东新•统考二模)已知f(x)=W,g(x)=x2-ax,(αwR),实数占、三满足

设…)-/㈤g=g(6g㈤现有如下两个结论：

X1-X2X1-X2

①对于任意的实数”，存在实数小声，使得p=q；

②存在实数4>O,对于任意的X、x2w(-8,a+}],都有;

则()

A.①②均正确B.①②均不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

【答案】C

【分析】对①，根据P="*)二"引,q=5(,二的几何意义，判断得出f(力=W与

X1-X2X1-X2

g(x)=x2-ax一定有两个交点分析即可

对②，通过化简将题意转换为：存在实数α>0,使得MX)=X2-依-∣x∣在(-8,«+1]±

为减函数，再分析出当x≥0时函数有增区间，推出矛盾即可

【详解】对①，P=丛止3的几何意义为(x∕(3))与(/J(X2))两点间的斜率，同理

xI~x2

q=屋玉)一且。2)的几何意义为,g(占))与(χ2,g仇))两点间的斜率.

x∖~x2

数形结合可得，当“<0时，存在用<乙=()；当α≥0时，存在。=%<七，使得

对②，若存在实数4>0,对于任意的。&w(fa+↑],都有P>4,即

'(xjj(上)>"(、)『*),即(W)<g(χj-g(χ2),gpg(x>)-∕(⅞)<g(Λ⅛)-∕(-r1).

即存在实数α>0,对于任意的演、Λ⅛G(-∞'α+∣],g(w)-/(x2)<g(xj-/(为)恒成立.设

MX)=g(x)-/(x),则MN)<A(xJ,即MX)=g(x)-√(x)=χ2-αv-W为减函数.故原题意可转

化为：存在实数α>0,使得〃(x)=χ2-◎TM在(y，4+1]上为减函数.因为当X≥O时，

人(X)=X2-(α+l)x,因为〃(x)对称轴为X=Wɪ,故当X时∕z(x)一定为增函数，

故不存在实数α>0,使得〃(X)=X2-"-W在(-口。+1]上为减函数.故②错误

故选：C

3.(2022♦上海金山•统考一模)对于函数y=∕(x),若自变量X在区间[a,目上变化时，函数

值/(x)的取值范围也恰为[a,b],则称区间是函数y=/(x)的保值区间，区间长度为人。.

已知定义域为R的函数y=g(χ)的表达式为g(χ)=∣f-l∣,给出下列命题：①函数y=g(χ)有且

仅有4个保值区间；②函数y=g(χ)的所有保值区间长度之和为史普.下列说法正确的是

()

ʌ.结论①成立，结论②不成立B.结论①不成立，结论②成立

C.两个结论都成立D.两个结论都不成立

【答案】B

【分析】分析可知O≤α<b,分O≤"b≤l∖0≤"l<。两种情况讨论，分析函数g(x)在目

上的单调性，根据函数g(x)在［见目上的值域为肉求出b的值，即可得出结论.

【详解】因为g(x)=∣fT≥O,所以0≤α<"

①当O≤α<A≤l时，当x∈［α,句时，g(x)=l-x2,则函数g(x)在［凡可上单调递减，

2

g(a)=∖-a=b0

由题意可得g(b)=I-从=。,解得一；

P=I

O≤a<b≤↑1

②当OKaVIVb时,则当x∈［α同时，g(4ι=g(I)=0,必有〃=0,

1_y20<T<］

贝!k(χ)=V-dr所以，函数g(χ)在［0』上递减，在口力］上单调递增，

由g(〃)=∕N-1=1,可得b=V∑,

当l<b≤√∑时，g(b)=从Te(0,1］,

故当xw［0,句时，g(x)min=g(l)=0,g(x)naχ=max{g(0),g(b)}=g(0)=l,

故当1<6W√Σ时，函数g(x)在［0,可上的值域为［0』，不合乎题意；

当b>√∑时，有g(∕)=〃一l=b,得8=匕或，

2

此时，当x∈［0,6］时，g(x)mb=g(l)=0,g(x)maχ=max{g(0),g(6)}=g(b)=b,合乎题意.

综上，y=g(x)有2个保值区间，故①错；

所有的保值区间为［0』和「,臂］长度之和为1一o+，_O=告叵，故②对.

故选:B.

二、填空题

4.(2022•上海闵行•统考一模)已知二次函数/(X)=加+x+a的值域为1,则函数

g(x)=2"+。的值域为_____.

［答案］(一；什力)

【分析】由二次函数的值域为1-8,5,分析求出参数。，然后代入g(x)=2'+"中求出值域即

可

【详解】由二次函数〃X)=加+x+α的值域为,8,q得：

a<0a<0

3

'f(--a×∖-----+--------+α=-

I2a{2a4

解得：。=;或α=l(舍去)

4

所以g(x)=2=；

因为2Λ>°=>2'-一Ing(X)

444

所以函数g(x)的值域为：(-；，+8)

故答案为：卜;，+s).

5.(2022・上海闵行・上海市七宝中学校考模拟预测)已知集合P={y∣y≥d,χeR},

Q={y∣y=2',xeR},则PQ=.

【答案】(0,+∞).

L分析】由二次函数和指数函数值域可求得集合RQ,由交集定义可得结果.

【详解】QY≥O,∙∙∙P=[0,E)；2t>O,.∙.β=(0,4w)；:.PQ=(0,+∞).

故答案为：(。，+8).

6.(2022•上海虹口•统考二模)已知y=∕(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线X=I

对称，当xe[0,2]时，/("=耳2-同.对于闭区间/,用％表示y="x)在/上的最大值，若

正实数k满足M[ok]=2峰网，贝必的值是.

【答案】巨史或史[区

24

【分析】由奇函数的性质及对称轴得函数的周期，再结合已知解析式作出函数图象，由于

/UU=I,由M的定义及函数的单调性得出Iw[0，灯，‰∣=1,‰tl=p求出y=J与

/(χ)图象交点的横坐标(在[0,2]上求出，由周期性易得其他值)，然后分析推理得出

MgH=T时的上值.

【详解】因为/(χ)是奇函数，且图象关于直线χ=l对称，

所以f(x+2)=/(1+(x+I))=/(l-(x+l))=f(-x)=-f(x)

/(x+4)=-∕U+2)=∕ω,所以F(X)是周期函数，4是它的一个周期.

由奇函数、周期性作出函数的图象，如图.

当x∈[0,2]时,/(x)=x(2-x)=-(X-I)2+1,最大值为1,因此/(X)的最大值为1,且/(1)=1,

/(5)=1,

由于%。用=2MkM,因此1任伙，2妇，

/(x)在[0,1]上递增，所以若H<l,则%).*]<Mg*],所以Ie[0,月，

所以M∣<>*∣=l,必*,2H=g,

一定有A<4,否则MC=1,从而2%<5.

由x(l-x)=彳得X=I+或X=I-所以图中α=l+∙^^,b=∖-^-+4=5--^-,

222222

当％=α=l+^^时，2Z=2+正<6,满足题意，

2

当2A=6=5-正时，Z=吐旦>α,满足题意.

24

综上，Z的值为上变或吐也.

24

7.(2022•上海浦东新•上海市实验学校校考模拟预测)函数的图象是两条线段(如图)，它

的定义域为l-l.O)U(O,1],则不等式/(x)-f{-x)>-1的解集为.

【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果.

【详解】解：

当χ∈[T,0)时，设线段所在直线的方程为y=区+3线段过点(-1,O),(0,1),

f-⅛+力=O

根据一次函数解析式的特点，可得出方程组t,

[b=l1

[⅛=1

解得\.故当χe[-ι,0)时，f(%)=%+1；

[κ=1

同理当x∈(0,1]时,f(x)=χ-

当x∈[-L0)时，不等式/(幻可化为：

3

%+1-(-x-l)>-1,解得：x>--,-l≤x<O.

当x∈(0,1]时，不等式∕∙(x)-/(-x)〉-1可化为：

x~l-(-x+l)>-1,解得：ʌ^∙<x≤l,

综上所述，不等式/(x)-/(-X)>7的解集为[-l,0)uQ,l.

故答案为：卜1，0)吗,1

三、解答题

8.(2022-上海闵行・上海市七宝中学校考模拟预测)已知定义在区间。2]上的两个函数”r)

和g(x),其中/(x)=f-2Or+4(〃≥1),g(x)=".

x+l

(1)求函数y=∕(χ)的最小值机(。)；

⑵若对任意%，/£[。，2],/(X2)>g(E)恒成立，求。的取值范围.

…―、，[4-6Z2,1≤a<2

【答案】⑴加(。)={。ZI.

∖β-4a,a≥2

(Q\a2«

⑵∖1≤a<---

3

【分析】(1)先将/(6的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间。2]的位置关系，可求出

函数y=∕Q)的最小值加⑷；

(2)根据函数的单调性求出函数“X)的最小值和g(x)的最大值，然后使"χ2)mi∕gαtχ,

建立关系式，解之即可求出答案.

【详解】(1)由/(x)=χ2-2公+4=(x-α)2+4-T,则二次函数的对称轴为x=α,

则当l≤α<2时，/(x)在［0,。)上单调递减，在色,2］上单调递增，所以

2

rn(α)=∕(x)mjn=∕(α)=4-0;

当.≥2时，〃x)在［0,2］上单调递减，m(a)=f(x)trin=f(2)=8-4a,

-匚【、】(`"2,1≤"<2

所以Wm)=2/”；

8-44,α≥2

⑵g(x)=(x+l)+W-2,当xe［0,2］时，x+l∈［l,3］,又g(x)在区间［0,2］

Γ4

上单调递增，所以g(x)e0,-.

若对任意对七€［0,2］,/(w)>g(x∣)恒成立

↑≤a<2a≥2

则/(々L>gα)ιreκ,故，.，4或,C,4

4-α>-8—4。>一

33

解得：区"冬”

3

9.(2022・上海徐汇•位育中学校考模拟预测)已知函数/(x)=OrJx+247(a为实常

数).

⑴设"x)在区间。2］上的最小值为g(α),求g(α)的表达式;

⑵设MX)=犯，若函数Λ(x)在区间［1,2］上是增函数,

求实数"的取值范围.

X

3a-2,a≥-

2

【答案】⑴g(α)='

6a-3,a≤-

4

(2)-L≤α≤l

【分析】⑴就〃=0、。<0、0<β≤i；<"；、让:分类讨论后结合函数的单调性可求函

4422

数的最小值.

(2)利用单调性的定义可求参数的取值范围.

【详解】⑴若"0,贝(J"x)=r-1,该函数在［1,2］上为减函数，故g(a)=-3,

若〃<。，则“力的图象为开口向下的抛物线,且其对称轴为χ=5<∣,

故/(x)在［1,2］上为减函数，故g(a)=6α-3,

若0<α≤｝则x=g≥2,故/(x)在［1,2］上为减函数,

故g(α)=6α-3,

上为减函数，在(系

若;贝!Jf(χ)在为增函数,

4Z

故g(a)=/

若“≥g则Xw≤1,故在［1,2］上为增函数,

故g(α)="l)=3α-2,

3a-2,a≥-

2

CIɪ11

综上，g(a)=∙2a-I---,—<a<-.

4a42

6a-3a≤-

f4

ax1-x+2a-↑2a

(2)h(x)=-------------------=0x+--------

xx

任意的1≤M<X2≤2,

(2〃-1)(工2-内)

XZX

Λ(ɪI)-Λ(2)=6(I-X2)÷

X1X2

2«-C

=(Xf)a-----

因为MX)在区间［ι,2］上是增函数，故人(玉)-MW)<o对任意ι<χa%≤2恒成立,

2a—1

而为一X2<O,故"----->0又寸彳壬意l≤x∣<w≤2.

X\X2

若2α-l>0即4>g,

J2。-12a-lC故g<a≤l,

因为1<X∕2<4,故Q--------->a------:—≥0即4≤l

x∖x2ɪ

若加-］=0即α=g,故a-0I=J>0,符合；

2XjX2，

∖2a—12a—1］∣∣

若2a-lv0即〃<彳，故白;>a-≥0g［J^≥--,⅛fc--≤a<-,

2XIX24222

综上，一gwa<l.

10.(2022-上海徐汇・上海中学校考模拟预测)某电f公司生产某种智能手环，其固定成本为

2万元，每生产一个智能手环需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于日产量X(单

人一+.一400X-L2,0≤x≤400

位：个)满足函数：RT2.

(80000,x>400

(1)将利润/(x)(单位：元)表示成日产量X的函数；

⑵当日产量X为何值时，该电子公司每天所获利润最大，最大利润是多少？(利润+总成本=

总收入)

…、,、“\-ɪX2+300x-20000,(0≤X≤400)

【答案］⑴"X)=2

-IooX+60000(x>400)

(2)当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元

【分析】(1)根据利润为总收入减去总成本，即可得到利润/(x)的解析式；

(2)结合(1)中/(x)的解析式，分讨讨论X的取值范围，结合配方法与一次函数的单调性,

求得的最值，同时得到相应的X值.

【详解】(1)根据题意，

当0≤x≤400时，/(x)=400x-→2-20000-IOOx=-→2+300x-20000,

当x>400时，/(x)=8OOOO_2OOOO7OOX=ToOX+60000,

_/、—x~÷3OOx—20000,(0≤X≤400)

所以/(x)=<2

-1OOx÷60000(%>400)

(2)当0≤x<4(X)时，/(x)=-ɪX2+300x-20000=~ɪ(ɪ~ɜθθ)2+25000,

所以当x=300时，/(x)nιaχ=25000;

当x>400时，易知/(x)=ToOX+60000是减函数，

所以/(x)<-100x400+60000=20000;

综上：当x=300时，/(x)mw=25000,

所以，当月产量为300台时，公司获得的月利润最大，其值为25000元.

11.(2023•上海•统考模拟预测)高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也

给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线

段A3、8C代表山坡，线段8为一段平地.设图中A及8C坡的倾角满足tan。=(，

tang=卷,AB长250m,BC长182m,CZ)长132m.假设该路段的高铁轨道是水平的(与。平

行)，且端点EP分别与Ao在同一铅垂线上，每隔30m需要建造一个桥墩(不考虑端点F建

造桥墩)

(1)求需要建造的桥墩的个数；

⑵已知高铁轨道的高度为80m,设计过程中每30m放置一个桥墩，设桥墩高度为〃(单位：

m),单个桥墩的建造成本为W=O.65∕ι+5(单位：万元)，求所有桥墩建造成本总和的最小

值.

【答案】(1)18个

(2)715.625万元

【分析1(1)先由正切值得到余弦值，进而计算得到得到AC的长，再计算得出AD,结合每

30m放置一个桥墩，

即可求出需要建造的个数.

(2)可设最左边的桥墩到E的距离为X米，为从左往由第〃个桥墩的高度，写出xe[0,18]和

x∈(18,30)

对应的桥墩高度的表达式，然后利用数列求和求出所有桥墩的高度，计算出成本总和的最小

值即可得

出答案.

752412

【详解】⑴由tan(9=,tan^=-⅛,可得COSe=,cos¢>=-,过点8向AC作垂线,

72r4712725713

垂足为