2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区重点中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若a，b，c∈R，a>bA.1a<1b B.ac22.已知幂函数的图象经过点P(4,1A. B.

C. D.3.设角θ满足条件sinθ=k−A.一、二 B.二、三 C.二、四 D.不能确定4.德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y=D(x)=1,x为有理数0,x为无理数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：

①D(D(x))=0；

②对任意x∈R，恒有D(A.①③④ B.②④ C.②二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.函数y=ln(x+6.将a⋅5a3化为有理数指数幂的形式为7.已知全集U={1,2,3,48.已知关于x的方程bx+c=0解集为{2}，则“关于x的不等式bx+c>9.设函数f(x)是偶函数，且x<0时，f(x10.设a、b为正数，且a+2b=1，则ab______18(填“≤，≥，11.在△ABC中，sinA：sinB：s12.若不等式|x+a|≤3成立的一个充分不必要条件是2≤13.若命题“∀x∈R，ax2−214.若sinα=85sin15.设x∈R，方程|1−x16.已知关于x的不等式log2x<ax+2三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

平面直角坐标系xOy中，单位圆与x轴正半轴交于点A，角θ的终边与单位圆的交点P位于第二象限．

(1)若弧AP的长为23π，写出P的坐标，并计算扇形AOP的面积；

(2)角θ的终边绕点O18.(本小题8分)

已知sinβ−3cosβ=2sin(β19.(本小题10分)

某城市2023年12月8日的空气质量指数(AQI)y与时间x(单位：小时)的关系y=f(x)满足如图连续曲线，测得当天AQI的最大值为103.当x∈[0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈(14,2420.(本小题12分)

已知函数f(x)=3−a2x+1是定义域在R上的奇函数．

(1)求实数a的值；

(221.(本小题14分)

对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m,n]⊆D，同时满足：①f(x)在[m,n]内是单调增函数；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域是[2答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A.∵1>−2，1a<1b不成立，

B.∵c2+1≥1，根据不等式的基本性质，∵a>b，∴ac2+1>2.【答案】A

【解析】解：设幂函数y=xn，将点P(4,12)代入，得12=4n，

∴n=−12，则幂函数为3.【答案】C

【解析】解：因为sinθ=k−3k+5，cosθ=4−2kk+5，且sin2θ+cos2θ=1，

所以(k−3k+5)2+(4−2kk+5)4.【答案】C

【解析】解：①若x为有理数，则D(x)=1是有理数，则D(D(x))=1，若x为无理数，则D(x)=0是有理数，则D(D(x))=1；故①错误，

②若x为有理数，则−x为有理数，此时D(x)=1，D(−x)=1，即D(x)=D(−x)成立，

若x为无理数，则−x为无理数，此时D(x)=0，D(−x)=0，即D(x)=D(−x)成立，综上对任意5.【答案】(−【解析】解：对于函数y=ln(x+5)，有x+5>0，解得x>−5，6.【答案】a8【解析】解：由题意可得：a⋅5a3=a⋅a37.【答案】{3【解析】解：由题全集U={1,2,3,4}，A={18.【答案】假

【解析】解：因为关于x的方程bx+c=0解集为{2}，则2b+c=0，即c=−2b，且b≠0，

由bx+c>0得b(x−2)>0，

当b>0时，解原不等式可得x>9.【答案】9

【解析】解：因为x<0时，f(x)=x2+3x−1，

所以f(−5)=2510.【答案】≤

【解析】解：因为a、b为正数，且a+2b=1，

所以ab=12(a×2b)≤12(11.【答案】−1【解析】解：在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，由正弦定理可得，可以设a=3k，b=2k，c=4k．

故角C为最大角，故最大角的余弦值是c12.【答案】[−【解析】解：由|x+a|≤3⇒−3−a≤x≤3−a，

因为不等式13.【答案】[0【解析】解：∀x∈R，ax2−2ax+12>0，

当a=0时，12>0恒成立，

当a≠0时，a>14.【答案】1或725【解析】解：由题意sinα=sin(2×α2)=2sinα2cosα215.【答案】(−【解析】解：依题意|1−x|+|2x−1|=|3x−2|，

当x≤12时，方程化为1−x−(2x−1)=−(3x−2)，2−16.【答案】(−【解析】解：设f(x)=log2x，g(x)=ax+2，

易知函数g(x)=ax+2恒过定点(0,2)，

画出两个函数的图象，如图所示：

若不等式log2x<17.【答案】解：(1)∵弧AP的长为23π，

∴23π=1×θ，解得θ=23π，

若点P位于第二象限，且在单位圆上，

设P(x,y)，扇形AOP的面积为S，

故有x=cos2π3【解析】(1)利用弧长公式求出角，联立求坐标，再用扇形面积公式计算即可；

(218.【答案】解：(1)因为sinβ−3cosβ=2sin(β+α)，

所以2sin(β−π3)【解析】(1)利用辅助角公式求出α，再利用诱导公式化简，最后代入计算可得；

(2)求出19.【答案】解：(1)当x∈(14,24]时，f(x)=loga(x−13)+102，将(15,101)代入得：a=12，

∴当x=14时，log12(x−13)+102=102，

∴由y=f(x)的图象是一条连续曲线可知，点(14,102【解析】(1)先用待定系数法求得x∈(14,24]时的解析式，再算得当x=1420.【答案】解：(1)函数f(x)=3−a2x+1是定义域在R上的奇函数，

由f(0)=3−a2=0，得a=6，即有f(x)=3−62x+1=3(2x−1)2x+1，

下面检验：f(−x)=3(2−x−1)2−x+1=3(2−x−1)⋅2x(2−x+1)⋅【解析】(1)根据函数奇偶性得f(0)=3−a2=0，解得a的值；最后代入验证．21.【答案】解：(1)证明：由函数f(x)=2x在[1,2]上单调增函数知，f(x)的值域为[2,4]，

故[1,2]是函数f(x)=2x的一个“翻倍区间”；

(2)假设g(x)存在一个“翻倍区间”[