（江苏专用）高考数学二轮复习 专题检测23 关于平面向量数量积运算的三类经典题型

23关于平面向量数量积运算的三类经典题型1．(2014·课标全国Ⅱ改编)设向量a，b满足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，则a·b＝________.答案1解析|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4∴a·b＝1.2．(2014·四川改编)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.答案2解析因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋根据题意可得eq\f(c·a,|c||a|)＝eq\f(c·b,|c||b|)，所以eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,\r(20))，解得m＝2.3．(2013·江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．答案eq\f(5,2)解析a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|b|).∵a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2eeq\o\al(2,1)＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(5,2).4.如图，在等腰直角△ABO中，OA＝OB＝1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，则p·(b－a)＝________.答案－eq\f(1,2)解析以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(eq\f(3,4)，eq\f(1,4))，直线l的方程为y－eq\f(1,4)＝x－eq\f(3,4)，即x－y－eq\f(1,2)＝0.设P(x，x－eq\f(1,2))，则p＝(x，x－eq\f(1,2))，而b－a＝(－1,1)，所以p·(b－a)＝－x＋(x－eq\f(1,2))＝－eq\f(1,2).5．在平面上，eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB2,\s\up6(→))|＝1，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→)).若|eq\o(OP,\s\up6(→))|<eq\f(1,2)，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|的取值范围是________．答案(eq\f(\r(7),2)，eq\r(2)]解析由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，eq\f(1,2)为半径的圆的内部．又eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥eq\o(AB2,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB2,\s\up6(→))，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|eq\o(OA,\s\up6(→))|取得最大值eq\r(2)，当P在半径为eq\f(1,2)的圆周上时，|eq\o(OA,\s\up6(→))|取得最小值eq\f(\r(7),2).6．(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．答案22解析由eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，得eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).因为eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，所以(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2，即eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2.又因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝25，eq\o(AB,\s\up6(→))2＝64，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.7．(2014·湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.答案±3解析由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，即a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.8．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acosθ－bsinθ.若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，则向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．答案eq\f(π,2)解析由e1·e2＝eq\f(\r(3),2)，可得cos〈e1，e2〉＝eq\f(e1·e2,|e1||e2|)＝eq\f(\r(3),2)，故〈e1，e2〉＝eq\f(π,6)，〈e2，－e1〉＝π－〈e2，e1〉＝eq\f(5π,6).f(e1，e2)＝e1coseq\f(π,6)－e2sineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2，f(e2，－e1)＝e2coseq\f(5π,6)－(－e1)sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2.f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝(eq\f(\r(3),2)e1－eq\f(1,2)e2)·(eq\f(1,2)e1－eq\f(\r(3),2)e2)＝eq\f(\r(3),2)－e1·e2＝0，所以f(e1，e2)⊥f(e2，－e1)．故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为eq\f(π,2).9．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，则点集{P|eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是________．答案4eq\r(3)解析方法一(坐标法)由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，可得∠AOB＝eq\f(π,3).又A，B是定点，可设A(eq\r(3)，1)，B(0,2)，P(x，y)．由eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)λ，,y＝λ＋2μ))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(\r(3),3)x，,μ＝\f(y,2)－\f(\r(3),6)x.))因为|λ|＋|μ|≤1，所以|eq\f(\r(3),3)x|＋|eq\f(y,2)－eq\f(\r(3),6)x|≤1.整理，得2|x|＋|eq\r(3)y－x|≤2eq\r(3).当x≥0，且eq\r(3)y－x≥0时，不等式为x＋eq\r(3)y≤2eq\r(3)；当x≥0，且eq\r(3)y－x<0时，不等式为eq\r(3)x－y≤2；当x<0，且eq\r(3)y－x≥0时，不等式为eq\r(3)x－y≥－2；当x<0，且eq\r(3)y－x<0时，不等式为x＋eq\r(3)y≥－2eq\r(3).画出不等式所表示的可行域，如图中的阴影部分所示．求得E(0,2)，F(－eq\r(3)，－1)，C(0，－2)，D(eq\r(3)，1)．显然该平面区域是一个矩形，边长EF＝2eq\r(3)，ED＝2，故该平面区域的面积S＝EF×ED＝4eq\r(3).方法二(向量法)由|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，知〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3).当λ≥0，μ≥0，λ＋μ＝1时，在△OAB中，取eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，过点C作CD∥OB交AB于点D，作OE∥AB交OB于点E，显然eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)).由于eq\f(|CD|,|OB|)＝eq\f(|AC|,|AO|)＝1－λ，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→)).于是eq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→)).故当λ＋μ＝1时，点P在线段AB上．所以λ≥0，μ≥0，λ＋μ≤1时，点P必在△OAB内(包括边界)．考虑|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R的其他情形，点P构成的集合恰好是以AB为一边，以OA，OB为对角线一半的矩形，其面积S＝4S△OAB＝4×eq\f(1,2)×2×2sineq\f(π,3)＝4eq\r(3).10．(2014·安徽)已知两个不相等的非零向量a，b，两组向量x1，x2，x3，x4，x5和y1，y2，y3，y4，y5均由2个a和3个b排列而成，记S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4＋x5·y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①S有5个不同的值；②若a⊥b，则Smin与|a|无关；③若a∥b，则Smin与|b|无关；④若|b|>4|a|，则Smin>0；⑤若|b|＝2|a|，Smin＝8|a|2，则a与b的夹角为eq\f(π,4).答案②④解析∵xi，yi(i＝1,2,3,4,5)均由2个a和3个b排列而成，∴S＝eq\i\su(i＝1,5,)xiyi，可能情况有以下三种：(1)S＝2a2＋3b2(2)S＝a2＋2a·b＋2b2(3)S＝4a·b＋b2∵2a2＋3b2－(a2＋2a·b＋2b2)＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cosθa2＋2a·b＋2b2－4a·b－b2＝a2＋b2－2a·b∴S的最小值为Smin＝b2＋4a·b因此S最多有3个不同的值，故①不正确．当a⊥b时，S的最小值为Smin＝b2与|a|无关，故②正确．当a∥b时，S的最小值为Smin＝b2＋4|a||b|或Smin＝b2－4|a||b|与|b|有关，故③不正确．当|b|>4|a|时，Smin＝b2＋4|a||b|cosθ≥b2－4|a||b|＝|b|(|b|－4|a|)>0，故④正确．当|b|＝2|a|时，由Smin＝b2＋4a·b＝8|a|2知，4a·b＝4a2，即a·b＝a2，∴|a||b|cosθ＝a2，∴cosθ＝eq\f(1,2)，∴θ＝eq\f(π,3)，故⑤不正确．因此正确命题的编号为②④.11．已知向量a＝(sinx，eq\f(3,4))，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝eq\r(3)，b＝2，sinB＝eq\f(\r(6),3)，求f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))(x∈[0，eq\f(π,3)])的取值范围．解(1)因为a∥b，所以eq\f(3,4)cosx＋sinx＝0.所以tanx＝－eq\f(3,4).故cos2x－sin2x＝eq\f(cos2x－2sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(1－2tanx,1＋tan2x)＝eq\f(8,5).(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2(sinx＋cosx，－eq\f(1,4))·(cosx，－1)＝sin2x＋cos2x＋eq\f(3,2)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋eq\f(3,2).由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3)×\f(\r(6),3),2)＝eq\f(\r(2),2).所以A＝eq\f(π,4)或A＝eq\f(3π,4).因为b>a，所以A＝eq\f(π,4).所以f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))－eq\f(1,2).因为x∈[0，eq\f(π,3)]，所以2x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(11π,12)]．所以eq\f(\r(3),2)－1≤f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))≤eq\r(2)－eq\f(1,2).所以f(x)＋4cos(2A＋eq\f(π,6))的取值范围为[eq\f(\r(3),2)－1，eq\r(2)－eq\f(1,2)]．12．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(DB,\s\up6(→)).(1)求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))，y＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，令k＝x·y，求k的最小值．解(1)由eq\o(AD,\s\up