向量的数乘运算

623向量的数乘运算-aaCa=3a=3(-a)练习引入OaAaBN-aP-aQ-aM(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即；(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即.=-3a探究:向量、

与在方向与长度上有什么变化？一、向量的数乘运算的定义：几何意义：三、实数与向量的积的运算律：三、实数与向量的积的运算律：三、实数与向量的积的运算律：向量数乘的运算满足如下运算律：

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：

例1：计算下列各式

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意的向量以及任意实数λ,μ,恒有例2：DACBO把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a得积化简下列各式：【解】1原式=

2原式=

变式训练对于向量aa≠0、b,如果有一个实数λ，使b=λa,那么a与b有什么关系？探究：结论：对于向量aa≠0、b,如果有一个实数λ，使b=λa,那么a与b共线思考：当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且向量共线定理:思考：向量共线定理向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使向量共线定理理解点拨★向量共线定理中规定的原因：①若将去掉，则当时，显然和共线；

②当，若，则不存在实数使成立，此时与不共线

③当时，若，则对一切的实数，都有，与“有唯一一个实数”矛盾

AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC

=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。摇身一变例3：又AC与AE有公共点A，∴

A、C、E三点共线.定理应用变式1：如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。变式2：如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。

解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线abbb∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，练习：P16T3判断下列各小题中的向量a与b是否共线OABC

三点共线三点共线的判定定理对于平面内任意三点A、B、C，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，设OC=OAOB，若实数，满足，则A、B、C三点共线

三点共线的判定定理的证明若存在实数，，使得OC=OAOB，其中，O为平面内不在A、B、C所在直线上的任意一点，则OC=OAOB=OAOB

所以OC-OA=OB-OA，即AC=AB，有共同的起点，所以A、B、C三点共线

在ΔABC中，=2DB，CD=CACB，求

【解】由题意可得A、B、D三点共线，C为A、B、D所在直线上一点，且CD=CACB，则，所以

练习：练习：P16T3小结回顾一、①λ

的定义及运算律

②向量共线定理(≠0)

向量与共线

二、定理的应用：

1.证明向量共线

2.证明三点共线:AB=λBC