2022下半年教师资格考试《数学》高频考点

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基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）

高频考点数学

目录

第一模块数与代数........................................................................1

第一章方程............................................................................1

第二章函数...........................................................................4

第三章不等式.........................................................................5

第二模块图形与几何......................................................................6

第一章解析几何.......................................................................6

第三模块统计与概率......................................................................9

第一章统计...........................................................................9

第二章概率...........................................................................11

第四模块高等数学.......................................................................16

第一章极限...........................................................................16

第二章导数与微分....................................................................20

第三章积分..........................................................................23

第四章空间解析几何与向量代数.......................................................27

第五章多元函数微分..................................................................33

第六章级数..........................................................................35

第五模块线性代数.......................................................................37

第一章行列式........................................................................37

第二章矩阵..........................................................................38

第三章线性空间与线性变换............................................................41

第四章向量组的线性相关性............................................................42

第五章线性方程组....................................................................44

第六章正交矩阵......................................................................46

第六模块概率论与数理统计..............................................................47

第七模块数学史.........................................................................50

第八模块课程与教学论...................................................................53

第一章义务教育课标..................................................................53

第二章高中课标......................................................................56

让每一个孩子都能遇到好老师

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第三章数学教学论....................................................................59

第四章案例分析......................................................................62

第五章教学设计......................................................................64

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第一模块数与代数

第一章方程

【高频考点1］二元一次方程组的解法

解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程，

再解出未知数。

（1）代入消元法

将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就

消去了一个未知数，得到一个解。

（2）加减消元法

利用等式的性质，使方程组中两个方程中的某一个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加

（减），以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。

【经典例题】

1,简述二元一次方程组有哪些解法，并对其步骤进行简单说明。

【参考答案】

①代入消元法：

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另个

未知数：（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一

元一次方程，求得一个未知数的值：（4）将这个求得的未知数的值再代入关系式，求出另一个未知数的值；

（5）写出方程组的解。

②加减消元法

用加减法解二元一一次方程组的一般步骤：

（1）确定消元对象，并把它的系数化成相等或互为相反数的数：（2）把两个方程的两边分别相加或

相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）

将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；（5）写出方程组的解。

【高频考点2】高次方程的解法

1.±1判根法

在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于0,则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次

项系数之和，则T是方程的根。求出方程的±1的根后，将原高次方程用因式分解法分别除以（X-I）或（x+l）,

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降低方程次数后依次求根。

注：常数项算在偶次项系数当中。

2.常数项约数求根法

根据定理：“如果整系数多项式凡父+%一/1+…+qx+“。可分解出因式尸x-。，即方程

*+α"T+…+4x+g=0有有理数根?（尸、。是互质整数），那么，P一定是首项系数可的约数,

。一定是常数项4的约数”。常数项约数求根法有两种类型：第一种类型：首项系数为1。对首项（最高

次数项）系数为1的高次方程，直接列出常数项所有约数，代入原方程逐一验算，使方程值为零的约数，

就是方程的根。依次用原方程除以带根的因式，逐次降次，直至将高次方程降为二次或一次方程求解：第

二种类型：首项系数不为10对首项系数不为1的高次方程，首先以首项系数为“公因数”提取到小括号

外，然后对小括号内的方程的常数项列出公约数。特别注意此时代入方程验算的值一定是l而不是Q,因

为此时原方程的因式是尸X-。，其余的解法步骤同首项系数为I的解法步骤相同。

3.倒数方程求根法

定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程,叫做倒数方程。如：αr4+fe√+c√+dx+e=O,其中，α=e,

b=d或者a=-e,b=-d。

性质1：倒数方程没有零根；

性质2：如果。是方程的根，则∙!■也是方程的根；

a

性质3：奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1,分解出因式（X-I）或（x+l）,降低一个次数后的方程

仍是倒数方程。

【经典例题】

1.求解方程12x4-56χ3+89/-56X+12=O的实数根。

321

【答案】ʃɪ=一，Xj=一，X3=2,x4=~

12*-3342

【解析】原方程化为1214+ι）-56（χ3+χ）+89χ2=0,显然，上述方程中xxθ,两边除以/Wo得

12（x2+3）_56（x+：）+89=0。令x+g=y,则x?+二=（》+：）一2=ι√—2,代入上面方程得

12（√-2）-56y+89=0,KP12/-56ʃ+65=O,即（6y-13）（2y-5）=0,.∙.ʃ1=—,y2=-c由M=U得

6~26

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X+-=—,即(2x-3)(3x-2)=0,.∙.x∣=3,x1=-.由刈=工得x+1=?，即2χ2-5x+2=0,即

X6'八'l22322X2

1321

=r

(x-2)(2x-l)=0,.∙.X3=2»X4ɪθ故原方程的根为Xl=：，∙2=/=2,々=5。

2.解方程4X4-18X3+28/78∙Y+4=0的实数根。

【答案】1:22

2

【解析】由题意可知XK0,原方程化为"-I**28χ--18x+4=0,可得以2一^χ+28-竺+之=0,

XXX

贝18(x+，)+28=0,令χ+1=z,X2+-V=∕2-2,则4(/一2)—18/+28=0,化简得

4∕^—18/+20=0,解得乙=2,Z2=—o当Z=2时，.Y+ɪ=2»则/一2x+l=0,解得芭=与=1：当，=*

2X2

时，X+ɪ=—∙>2x2-5x+2=0»解得X3=2,、4=1。故原方程的解为1:2」。

X222

【高频考点3】绝对值方程

1.定义：绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程。

2.解题步骤：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程来解。

3.不同类型绝对值方程的解法：

(1)形如IaX+耳=c(αHO)的绝对值方程的解法：

①当c<0时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解：

②当C=O时，原方程变为Iax+“=0,即αx+b=O,解得X=-2;

③当c>0时，原方程变为“x+∕>=c或ox+6=-c,解得X=^~■或x=’~~-<>

aa

(2)形如IaX+4=cx+d(αc≠0)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的非负性可知cx+d≥O,求出X的取值范围；

②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax+6=ex+d和αx+b=-(cx+d)；

③分别解方程OX+6=ex+d和Or+6=—(ex+d)：

④招求得的解代入cr+"≥O检验，舍去不符合条件的解。

(3)形如IaX+N=kx+4(αc≠0)的绝对值方程的解法：

①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ox+b=cx+d或αx+6=-(cx+d)；

②分别解方程Ox+6=ex+d和αx+b=-(cx+d)。

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(4)形如∣x-α∣+∣x-b∣=c(α<b)的绝对值方程的解法:

①根据绝对值的几何意义可知：∣x-α∣+∣x-6∣≥∣α-6∣;

②当c<∣α-.时，方程无解：当C=Ia-M时，方程的解为α≤x≤b;当c>∣α-b∣时，分两种情况：当

x<α时，原方程的解为x="+'-c；当x>b时，原方程的解为x=∙+"+c。

22

【经典例题】

1.方程∣x+5卜∣3x-7∣=l的解有()个。

A.lB.2

C.3D.无数

【答案】B

【解析】当x≥7,时，原方程可化简为x+5-3x+7=l,解得X=1I1符合题意；当-5<x<7,时，原方

323

程可化简为x+5+3x-7=l,解得x=±符合题意；当x≤-5时，原方程可化简为-x—5+3x-7=l,解得

4

X=-,不符合题意；所以X的值为U或U。即方程的解有2个。故本题选瓦

222

2.解绝对值方程∣x-2∣+∣x+7∣=ll。

【答案】X=-8或X=3

【解析】当x≤-7时，x-2<0,x+740,原方程化为：(2-x)+(-x-7)=11,解得：x=-8；当-7<x≤2

时，x-2≤0,x+7>0,原方程化为(2-x)+(x+7)=ll,该方程无解：当x>2时，x-2>0,x+7>0,

原方程化为(x-2)+(x+7)=ll,解得：x=3。即原方程的解为x=-8或x=3。

第二章函数

【高频考点】函数的单调性

在公共定义域内：

增函数/(x)+增函数g(x)是增函数；

减函数/(x)+减函数g(x)是减函数；

增函数/(X)-减函数g(x)是增函数：

减函数/(X)-增函数g(x)是减函数。

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【经典例题】

L设函数f(x),g(x)的定义域都为R，且/(x)是增函数,g(x)是减函数，则下列结论正确的是()。

AJ(X)∙g(x)是增函数B.∕(x)∙g(x)是减函数

C∙∕(x)-g(x)是增函数DJ(X)+g(x)是减函数

【答案】C

【解析】根据单调性法则：①增函数+增函数=增函数；②减函数+减函数=减函数；③增函数-减函数

=增函数；④减函数-增函数=减函数。故本题选C。

2.设函数/(x)是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是()。

A.∕(x)+/(r)是偶函数且是增函数Bj(X)+/(-x)是偶函数且是减函数

Cj(X)-/(-x)是奇函数且是增函数DJ(X)-f(-x)是奇函数且是减函数

【答案】C

【解析】设/(x)=∕(x)-∕(r),∙.∙∕(x)是定义在R上的增函数，.∙.∕(-x)是定义在R上的减函数，

从而-〃-*)是定义在口上的增函数，；./(》)=/(*)-〃-力是在(70,+8)上的增函数，；尸(力=/(χ)-

f(-x),.∙.F(-Λ)=∕(-X)-∕(X),则F(X)=-尸(-X),，函数尸(X)为奇函数，且在(一8,+8)上的增函数。

故本题选C。

第三章不等式

【高频考点】重要不等式

(1)设。、6是两个正数，则色也称为正数。、分的算术平均数，而称为正数“、6的几何平均数。

2

(2)均值不等式：若α>O,h>O,则4+622而，即竺而，当且仅当α=b时，"=”成立。

2

(3)常用的基本不等式：a2+b2≥lah,/4(誓J,誓:

【经典例题】

1.(1)已知x>0,y>0,z>0,证明：4+=+221+1+1°

x'y'z'Xyz

(2)已知a>l,b>l,c>∖9且αbc=8,⅛∣ogz,a∙Iog2a+Iogcb∙Iog2b+logαc∙Iog2c≥ktlMcjZ,

求实数攵的最大值。

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【答案】（1）证明见解析；（2）3

【解析】(1)证明：由χ>o,y>o,得与+L≥2,H'=2,即4+L≥2,同理彳+1*2,

Xy∖XyXXyXyZyz.xz

以上三式相加，得与+=+=+∙L+∙L+L≥a+4+m(当且仅当x=y=z时取等号)，故4+W+口

XyzyzXyzXJryZ

111ɪɪ

≥一+--F-O成一'∕.O

xyz

；。log；b,log；c_Iog2log..2,Iog2

IIIL.1Ll1bg----------十---------------------l-)---十-----------十-------u----

(2)IOgAa∙Iog2a+IogcA∙log.⅛÷logαc∙log2c=--+，根据

Iog2⅛Iog2Cɪog,ɑlog-2log⅛2log；2

=IOg2。+Iog/+log/=log2加=Iog8=3,所以，A≤3,

⑴‘得器l+i⅛+i⅛-+i⅛+i⅛2

故实数攵的最大值为3。

444

2.证明不等式：a9b,c∈R,ɑ+⅛÷c≥abc(α+6+c)o

【答案】见解析

e：a4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+α4≥2t⅞2,Λ2(a4+⅛4÷c4)≥2(α⅛2÷b2c2+c2a2),

4442222222222222222

BRα+A+c≥ab+bc+caβ又+/d≥2R/c,bc+ca≥2abc9ab+ca≥2abc.：.

2^a2h2+⅛2c2+c2a2)≥2(cιb1c÷abc'+a1bc),即a2b2+b2c2^c2a2≥abc(α+∕>+c),/.a4+64÷c4≥

abc(a+b+c)。

第二模块图形与几何

第一章解析几何

【高频考点1】圆的方程

1.标准方程：（x-α）2+（y-b）2=/,其中，（α,b）——圆心，r——半径。

2.一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,(θ2+E2-4F>0)

’,§一圆心，一切+E一尸一半径。

V22)2

3・参数方程：®»一圆心，「一半径。

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【经典例题】

若8两点分别在圆χ2+y2-6χ+16y-48=0和χ2+y2+4χ-8y-44=0上运动，则/,B两点距

离的最大值是()。

A.13B.32

C.36D.38

【答案】B

【解析】本题考查圆上的动点问题。将圆/+/-6x+16y-48=0化为标准方程，得

(X-3)2+(Ʃ+8)2=121,所以该圆是以Λ∕(3,-8)为圆心,半径｛=11的圆。同理可得/+/+4x-8y-44=0

的圆心为N(-2,4),半径4=8,所以两圆的圆心距为IMNI=J(3+2)?+(-8-4『=13,因为/、8两点分

别在圆M、圆〜上运动，所以当/、8在宜线上，且A/、N两点在4、8之间时取最大值。此

时，|/九=八+〃+网=1\+8+13=32。故本题选B。

【高频考点2】圆锥曲线

1.椭圆

χ2V2

(1)标准方程：—+:-y=l(a>6>0)

Q~b~

(2)定义域：｛x∣-α≤x≤α｝;值域：｛ʃ∣-⅛≤y≤ft｝：

(3)长轴长2α,短轴长26,焦距2c,a~=b2+c2；

(4)准线方程：x=±-o

C

2.双曲线

22

(1)标准方程：三-亲∙=l(α>O,⅛>0);

(2)范围：｛x∣x≥α典≤-α｝;｛M»GR｝；

122

(3)实轴长2α,虚轴长2b,焦距2c,c=a+bi

(4)准线方程：x=±《。

c

3.抛物线

(1)标准方程：y2=2px(p>O),P为焦参数：

(2)焦点：(§0)，通径∣∕8∣=2p;

(3)准线：x=-R;

2

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7

（4）焦半径：∣4∕∣=XI+§,过焦点弦长∣∕8∣=x∣+x?+P。

【经典例题】

已知抛物线y=:χ2,如图，抛物线在点P（Xi）,外）卜0XO）处的切线Pr与y轴交于点M,点光源放在

抛物线焦点F（0,1）处，入射光线。经抛物线反射后的光线为P0,即NFPM=NQP7,求证：光线P。与

y轴平行。

【答案】（见解析

2

【解析】证明：如图，因为y'=，代入与可得k=，根据点斜式方程可得切线方程为y=£∙X-,

即当X=O时，了=-Lq=-M）,所以FΛ∕=%+L过P点做准线的垂线交于点E,设尸点切线方程交y轴

4

于即PE〃y轴，连接A/E,因为PF=PE=见+1,即可得尸尸=QE=FAY=%+1，所以在AFA"5中，

NFMP=NFPM,又因为尸E〃y,所以N尸MP=NMPE,由已知可知N尸尸M=NQP7,综上可得

NMPE=NQPT,因此E、P、0三点共线，故P。平行于y轴。

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第三模块统计与概率

第一章统计

【高频考点】统计学中的几个基本概念

（-）平均数

一般地，如果有〃个数占，七，…斗，那么，T=La+x,+...+xj叫做这〃个数的平均数，〒读作“X拔”。

n

（二）中位数

1.定义：将一组数据按大小顺序依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）

叫做这组数据的中位数。

2.中位数的算法：设样本有〃个数据，按大小顺序依次排列后，

（I）〃为奇数，第四个数据为中位数；

2

（2）〃为偶数，第2与2+1个数据的平均数为中位数。

22

3.特点：

（1）中位数仅与数据的排列位置有关，不受某些数据变动的影响：

（2）当一组数据中的个别数据变动较大时，中位数能较好的反映数据的集中趋势。

（三）样本方差

样本中所有个体芭，X2,…，毛与样本平均数亍的差的平方的平均数叫做样本方差，用/表示。方差反

映了一组数据的波动情况。方差越大，数据的波动越大，越不稳定；方差越小，数据的波动越小，越稳定。

s=ɪ［（ɪɪ-ʃ）2+^-^）2+•••+（乙-亍丹

常用结论：

若x∣,x2,,X”的平均数为无，则（Orl+6）,（α,v2+b）.........+6）的平均数为而+b。

【经典例题】

1.在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分为10分的选做题，学生可以从48两道题目中任

选一题作答。某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划

从900名学生的选做题成绩中随机抽取一个容量为IO的样本，为此将900名学生的选做题的成绩随机编号

为001,002.........900,

（1）若采用随机数法抽样，并按照以下随机数表，以方框内的数字5为起点，从左向右依次读数，每

次读取三位随机数，一行数读完之后接下-行左端写出样本编号的中位数。

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052693706022358515139203515977

595678068352910570740797108823

099842996461716299150651291693

580577095151268785855487664754

733208111244959263162956242948

269961655358377880704210506742

321755857494446716941465526875

875936224126786306551308270150

1529393943

（2）若采用分层随机抽样，按照学生选择/题目或8题目，将成绩分为两层，且样本中选择/题目的

成绩有8个，平均数为7,方差为4：样本中选择8题目的成绩有2个，平均数为8,方差为1。试用样本

估计该校900名学生的选做题得分的平均数与方差。

【答案】（1）667；（2）平均数为7.2；方差为3.56

【解析】（1）由题意知：读取的编号依次是512,916（超界），935（超界），805,770,951（超

界），512（重复），687,858,554,876,647,547,332。将有效的编号由小到大排序，得332,

512,547,554,647,687,770,805,858,876,.,.样本编号的中位数为竺上竺ɪ=667。（2）

2

设样本中选择/题目的成绩的平均数为7,方差为S?：样本中选择8题目的成绩的平均数为歹，方差为

则亍=7,s2=4,歹=8,∕2=1..∙.样本的平均数为-ɪ-jf+二一歹=3x7+1χ8=7,2,方差为

8+28+2-55

^^×[S2+（X-7.2）2J+^^×[∕2+（V-7.2）2]=→[4+（7-7.2）2]+→[1+（8-7.2]Γ]=3.56。.•.该校900

名学生的选做题得分的平均数约为7.2,方差约为3.56。

2.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人，甲班的平均成绩为80.5分，方差

为500：乙班的平均成绩为85分，方差为360。那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多

少？

【答案】平均分是82.5分，方差为442.78

【解析】设甲班50名学生的成绩分别是q,ɑ50,那么甲班的平均成绩、权重和方差分别为

中山—35㈤…嗡，iTj+y'∙∙-=5*设乙班

10让每一个孩子都能遇到好老师

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2022下半年教师资格考试《数学》高频考点

基础（精讲）+冲刺（仿真）+督学（测评）+口诀（速记）+经典（资料）

________________________________________________________高频考点数学

40名学生的成绩分别是自，如…，％,,那么乙班的平均成绩、权重和方差分别为.=…+4°=85

,iw乙40

（分），W乙=竺，丸=3士）二他一XJ+•••+（4。-XJ=360。如果不知道q,a,,∙∙∙,050和

z∙90401-50

hl,b2,∙;b4u,只知道甲、乙两班的平均成绩、权重及方差，全部90名学生的平均成绩应为

亍=W伍+w乙互=亲80.5+萨x85=82.5（分）。而全部90名学生的方差为Y=w邛R+禺-刀）1+

wk[-⅛+（¾.-^）^]°因此，S2=W,|,[S；,+（/,_F）〔+W/S：+（&_;F）[=I^X[5OO+（8O.5-82.5）2]+

亲[36。+（85-82.5））50,5。。+50*4+茅360+40、6.25%42.78。

第二章概率

【高频考点1】古典概型

1.特点

（1）所有可能出现的基本事件为有限个:

（2）每个基本事件发生的可能性相等。

2.概率公式

事件力包含的基本事件的个数=m

所有基本事件的个数^7

【经典例题】

1.甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成

两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（）。

【答案】D

【解析】根据题意，分两种情况讨论：①甲、乙在同一组：②甲乙不在同一组，但相遇的概

率：R=2χLχL=L0则甲、乙相遇的概率为尸=J∙+∙L=∙L°故本题选D。

23226362

2.盒子中装有编号为1~7的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的标号之积为偶数的概率为（）。

【答案】C

11让每一个孩子都能遇到好老师

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2022下半年教师资格考试《数学》高频考点

基础(精讲)+冲刺(仿真)+督学(测评)+口诀(速记)+经典(资料)

高频考点数学

【解析】7个球选出编号之积为偶数，则有两种情况，一种是从3个偶数中选择两个，概率为4=1,

C；7

另一种是从3个偶数中选择一个，4个奇数中选择一个，概率为驾I=*,则所求概率为_1+±=3。故本

C；7777

题选C。

【高频考点2】条件概率

1.概念：对事件/和8,在已知事件8发生的条件下，事件力发生的概率，称为8发生时4发生的条

件概率，记为尸(H8)。

2.概率公式:P(∕忸)=；：］,其中P(8)>0°

【经典例题】

L根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率就，下雨的概率就，既吹东风又下雨的概率

为:。则在吹东风的条件下下雨的概率为()。

98

A.B.

IIIl

28