新教材人教A版高中数学必修第二册总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计3种常考题型 同步讲义

38、总体集中趋势的估计、总体离散程度的估计3种常考题型

【考点分析】

考点一：众数、中位数、平均数

①众数：一组数据中出现次数最多的数.

②中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的数（或中间两个数

的平均数）叫做这组数据的中位数.

③平均数：如果〃个数如X2,…，X"，那么夏=L（XI+&+…+z）=Lt>,∙叫做这〃个数

〃n,=|

的平均数.

考点二：总体集中趋势的估计

①平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中

趋势.

②一般地，对数值型数据（如用水量、身高、收入、产量等）集中趋势的描述，可以用平均数、

中位数；而对分类型数据（如校服规格、性别、产品质量等级等）集中趋势的描述，可以用众数.

考点三频率分布直方图中平均数、中位数、众数的求法

①样本平均数：可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替.

②在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应相等.

③将最高小矩形所在的区间中点作为众数的估计值.

考点四：方差、标准差

①假设一组数据为x2,x3,•••%„,则这组数据的平均数嚏=—否+々+…+）=L，

n

②若假设一组数据为％,%，匕，…X”，它的平均数为最，方差为S?,

则一组数据为“x∣+46%+"ax3+'，…a%+6，的平均数为ax+），方差为a2s?。

③标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,

数据的离散程度越小.

【题型目录】

题型一：平均数、中位数、极差、众数的计算及应用

题型二：方差、标准差的计算与应用

题型三：各数据加减乘除对方差、平均数的影响

【典型例题】

题型一：平均数、中位数、极差、众数的计算及应用

【例1】某校举行演讲比赛，邀请7位评委分别给选手打分，得到7个原始评分.在评定选手

成绩时，从这7个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到5个有效评分.这5个有效

评分与7个原始评分相比，数字特征保持不变的是（）

A.众数B.标准差C.平均数D.中位数

【答案】D

【分析】根据评分的规则容易判断选项.

【详解】7个数去掉一个最高分，去掉一个最低分，显然中位数是不变的；

【例2】某企业在举行的安全知识竞答活动中，随机抽取了30名员工，统计了他们的测试成

绩（单位：分），并得到如图所示的统计图，设这30名员工的测试成绩的中位数为如众数为

n,平均数为T,则（）

人数

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O

8090100测试成绩/分

A.ιn=n=xB.m=n<xC.n<m<xD.n<x<m

【答案】D

【分析】根据统计图，以及平均数、众数、中位数的定义来计算〃?、”、元的值即可比较大小，

得出答案.

【详解】由统计图可知，测试成绩按从高到低的顺序排好后，中间的两个测试成绩为80分，

90分，

故中位数W='°：'Q=85（分），

众数"=80分，

平均数元=∖x（40xl+50xl+60xl+70x2+80xl0+90x9+100x6）=爷（分），

则“<X<"1.

【例3】某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如

下：97,90,X,95,92,85,87,90,94,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分,

后来有1个数据模糊，无法辨认，以X表示，则X=（）

A.84B.86C.89D.98

【答案】C

【分析】分别考虑x≤85,x≥97,85<x<97时，计算平均数，排除不合题意情况，即可求

得答案.

WCel90+95+92+85+87+90+94633人,

【详解】当x≤85时，-------------------------=—≠91则x≤85不符合题意;

77

97+90+95+92+87+90+94645,

当x≥97时,--------------------------=---≠9n1贝∣Jx≥97不符合题意;

90+x+95+92+87+90+94548+x…,CC

当85VXV97时,---=91,解aγj得zfχ=89,

7

【例4】下列数字特征一定会在原始数据中出现的是()

A.众数B.中位数C.平均数D,都不会

【答案】A

【分析】根据特征数字的定义即可作出判断.

【详解】众数是在一组数据中出现次数最多的数，所以一定会在原始数据中出现.

【例5】下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是()

A.中位数可以准确地反映出总体的情况

B.平均数可以准确地反映出总体的情况

C.众数可以准确地反映出总体的情况

D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况

【答案】D

【分析】根据平均数、中位数、众数的优缺点进行判断即可.

［详解】众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得无法客观反映总体

特征：

中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点；

平均数较好地反映样本数据全体的信息,但是样本数据质量较差时使用平均数描述数据的中心

位置就会可能与实际情况产生较大差异，

【例6】已知一组数据巧，々，W，Z，%的平均数是2,那么另一组数据3片+1,3X2+1,

3X3+1,3X4+1,3%+1的平均数是.

【答案】7

【分析】根据平均数计算方式计算即可.

【详解】(3%+1)+(3Λ2+1)+(3J⅞+1)+(3Λ4+1)+(3Λ⅛+1)=3(X1+X2+X3+X4+J⅞)+5

平均数=二［3(Μ+x2+x3+x4+x5)+5j=3x+-×5=3×2+l=7

【题型专练】

1.(多选题)北京时间2022年9月30日，女篮世界杯半决赛，中国队61：59澳大利亚队，

时隔28年再次在半决赛中战胜澳大利亚队挺进决赛.中国队在10名上场球员中，3人得分上

双.韩旭拿下全场最高的19分，10投8中，得到11个篮板和5次盖帽；队长杨力维得到18

分，送出4次助攻；王思雨得到14分.根据以上值早判断，下列说法中正确的是（）

A.中国队上场的10名球员存在都有得分的可能

B.中国队上场的10名球员得分的极差不可能为17分

C.中国队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数

D.3不可能是中国队上场的10名球员得分的众数

【答案】ABC

【分析】根据已知条件，逐项推理，即可得到选项.

【详解】61-（19+18+14）=10,中国队除3人外,剩余7人得到10分，存在10名球员存在

都有得分的可能，A项正确；

中国队除3人外，剩余7人得到10分，若极差为17,则剩余7人最低得分为2分或最高得分

为31分，这两种情况都不存在，即上场的10名球员得分的极差不可能为17分，B项正确；

中国队上场的10名球员得分的平均数为得=6.1,按照分数从小到大排序，则8到1（）位分数

一定是14、18、19,要使中位数大于或等于平均数，则5、6位两队员得分之和应不小于13

分，这与7人得到10分不符，显然不可能，故C项正确；

根据已知条件，上场的IO名球员得分情况可能为：0,0,1,1,2,3,3,14,18,19.即3

可能是中国队上场的10名球员得分的众数.D项错误.

2.（多选题）下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据

图中的信息，下列说法正确的是（）

A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数

B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数

C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同

D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差

【答案】ACD

【分析】根据雷达图逐项判断可得答案.

【详解】甲厂轮胎宽度分别为194,194,194,195,196,197,乙厂轮胎宽度分别为191,

193,194,195,195,196,

1V-I-1QS-I-1QA-I-107

甲厂轮胎宽度平均数为3+出：+1兆+］以=195,乙厂轮胎宽度平均数为

6

195×2+191÷193+194+196……….Ai

-------------------------------------=194,195>194,故4A正确；

6

甲厂轮胎宽度的众数是194,乙厂轮胎宽度的众数是195,195>194,故B错误;

195+194195+194

甲厂轮胎宽度的中位数为T=3∙5,乙厂轮胎宽度的中位数为—=1945,

故C正确:

甲厂轮胎宽度的极差为197-194=3,乙厂轮胎宽度极差为196-191=5,5>3,故D正确.

3.（多选题）有一组样本数据为，/，…，X.，由这组数据得到新样本数据乂，为，…，y“，

其中M=X,+c（i=U,2,〃），C为非零常数，则下列说法由肯性的是（）

A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本众数不同

C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样本数据的样本极差相同

【答案】AB

【分析】根据平均数和标准差的性质以及众数和极差的概念可得答案.

【详解】设样本数据玉，々，占，…，Ζ的样本平均数为T，样本众数为机，样本标准差为5,

根据平均数和标准差的性质可知，样本数据%,%，%，…，％的样本平均数为元+c,样本

标准差为6,

根据众数的概念可知，样本数据%,%，）’3，…，y”的样本众数为相+c,

根据极差的概念可知两组样本数据的样本极差相同.

所以两组样本数据的标准差和极差相同，平均数和众数不同.

4.设一组样本数据不超，，X”的平均数是3,则数据2菁+1,2X2+1,2%+1的平均数为

【答案】7

【分析】根据平均数的性质求解即可

【详解】；样本数据孙孙•，%的平均数是3,

"

，∑Xχ,=3",

i=l

.∙.数据2%+1,2玉+1,,24+1的平均数7f（2x,+1）=7

n/=I

题型二：方差、标准差的计算与应用

【例1】从全体高二同学的期末考试成绩中，随机抽取了IOO位同学的数学成绩进行分析，在

录入数据时，统计员不小心将100位同学中的最高成绩148分录成了150分，则在计算出的数

据中一定正确的是（）

A.平均分B.方差C.中位数D.标准差

【答案】C

【分析】将最高分148分录成了150分，将100个数据从小到大排列，数据的先后顺序不发生

变化，所以中位数不会发生变化.

【详解】将最高分148分录成了150分，则把100个数据从小到大排列，中间的两个数没有发

生变化，所以一定正确的数据为中位数.

【例2】下列说法：

①在统计里，把所需考查对象的全体叫作总体；

②一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据；

③平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势；

④一组数据的方差越大，

说明这组数据的波动越大.其中正确的是（）

A.②B.①@④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】直接根据总体，平均数，众数，中位数，方差的定义依次判断每个选项得到答案.

【详解】根据定义知①③④正确，平均数反应了这组数据的平均水平，它比一部分数大，比一

部分数小，也有可能与某些值相等，故②错误.

【例3】已知数据占,士,后，…，XlOO是某市100个普通职工2018年8月份的收入（均不超过0.8

万元），设这100个数据的中位数为X,平均数为y,方差为z,如果再加上某人2018年8月份

的收入x∕o∕（约IOO万元），则相对于X,y,z,这101个数据（）

A.平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

B.平均数变大，中位数可能不变，方差也不变

C.平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变

D.平均数变大，中位数可能不变，方差变大

【答案】D

【分析】根据平均数、中位数以及方差的含义分析数据变化趋势即可判断.

【详解】不妨设该组数据从小到大依次为不库刍，…，⅞X),即0<∙η≤Z≤X3≤≤⅞X)≤O∙8,

则EX=_心52_+玉5L1,y=M_J_+M22_+M2-+--∙-∙-∙-+--M-θ1O∞≤/C0.c8,

2100

z=-j^[(ɪ∣-y)2+(⅞-j)2+(⅞-ʃ)2++(⅛-^)2]<ι>

设加上2018年8月份的收入X∕w(约100万元)后的中位数为X'=%，

所以*_》，=如且一看∣=用且，而4）≤Xs∣,

所以x'≥x,当%>=叼时，中位数不变；

设加上2018年8月份的收入x/M约100万元）后的平均数为y',则

x∣+4+W++Mo[X[+马+刍+÷100

e(0,2),

J101―101

所以y_y=χ∣+X2+X3+⅛⅛±∣00_y

IOOy+100—y÷100—0.8+100ʌ..4.⅛ʌ....

=^--y=^-≥-τπ->0,所以平均数变大：

设加上2018年8月份的收入x/〃（约100万元）后的方差为z',则

Z=I⅛[α-力2+H-行+o⅛τ）2++（⅛-y）2+（100-y）2]

>^×（ιoo-y）2>ι,数据的集中程度受到玉3比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大.

【例4】第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚

金牌,4枚银牌,2枚铜牌的历史最好成绩.已知六个裁判为某一运动员这一跳的打分分别为95,

95,95,93,94,94,评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有

效分的平均数即为该选手的本轮得分.设这六个原始分的中位数为。，方差为相；四个有效分

的中位数为4,方差为S：.则下列结论正确的是（）

22

A.α≠α1,Sf<SB.α≠α∣,S<Sf

222

C.a=at,5<SID.a=al,S;<S

【答案】D

【分析】中位数就是一组数按照大小排列好后的最中间的数，方差表示一组数据波动的大小的

数，先求出平均数，再代入方差公式可判断.

【详解】将打分95,95,95,93,94,94按照从小到大排列为93,94,94,95,95,95,

无论是否去掉一个最高分和最低分中位数都是94.5,故AB错误；

94+94+95+95

根据X=

4

T=L-司2=![(94-94.5)2+(94-94.5)2+(95-94.5)2+(95-94.5)2]=L

〃∣=ι44

93+94÷94+95÷95+95

又X==94-,

3

93-94-94-94-95-94-^>i

“i=∣'6V3√v3)∖3)94

【例5】已知某样本的容量为100,平均数为80,方差为95,现发现在收集这些数据时，其

中的两个数据记录有误，一个错将90记录为70,另一个错将80记录为100.在对错误的数据

进行更正后，重新求得样本的平均数为无，方差为S?,则()

A.X=80,?<95B.%=80,?>95C.x>80,52<95D.x<80,?>95

【答案】A

【分析】根据平均数和方差公式即可求解.

XiJXOΠZ∙ʌv-I≈f≡∙∙⅛r--1≥.XSZ.-L-//rΓIΛ-AlO.U1OO×80-70-1OO÷90+80

【详解】根据题意知,重新求得样本的平均数为----------..........=80,

1OO

设收集的98个准确数据为再H2，，小8,

22

则95=焉[α、80)2+(9_80)2++%-80)2+(70-80)+(100-80)]

=*[(玉一80)2+(X2-80)2++(工98—80)2+500]

s~=]θɑ[(x∣-80)^+(x2—80)^++(Λ⅛8—80)^÷(90—80)^+(80—80)~]

s~=----[(x∣-80)~+(x,-80)-+■+(Λ*98-80)~+lθθ]<95,

100

【例6】已知样本6,7,8,m,〃的平均数是7,标准差是√∑,贝U*+/?等于()

A.108B.100C.106D.105

【答案】C

【分析】根据平均数以及方差的计算公式即可求解.

【详解】根据平均数及方差公式，可得6+7+8+m+"=5χ7=35,即机+“=14,

22222

：标准差是应,.∙.方差为2..∙.∣[(W-7)+(∕I-7)+(6-7)+(7-7)+(8-7)]=2,

2222

即(λw-7)+(n-7)^=8,m+n-14(τn+n)+98=8,则M+n=ɪoð.

【例7】某组样本数据的平方和石2+4+后+,+寸=160,平均数5=5,则该组数据的方差/=

()

35

A.1B.—C.2D.一

【答案】D

【分析】根据方差的公式结合已知条件求解即可.

+

[详解]2_(芭-x)+(/—x)÷(⅞~∙^)_不+4++—2x(x1+x2++Λ6)÷6X^

^^6―6~

_x；+x；++-2x×6x+βx2_xf+xl++ɪð-6X2_5

------------------------------------------------=—,

663

【例8】A工厂年前加紧手套生产，设该工厂连续5天生产的手套数依次为巧，演，x3,x4,

X5(单位：万只)，若这组数据储，巧，鼻，无4，XS的方差为L44，且片，石，x；，后，£

的平均数为4,则该工厂这5天平均每天生产手套万只.

【答案】1.6

【分析】由均值定义得H+宕++*=20,再根据方差公式求得工

【详解】依题意得片+W++x；=20,

设x∣,巧，x3,x4,%的平均数为元，

根据方差的计算公式有

222

∣[(XI-X)+(X2-X)++(X5-X)]=1.44,

,*.(X[+巧++x；)—2x(X]+X[++X5)+5χ-=7.2,

即20-10元2+5元2=7.2,又无＞0,

Λx=1.6.

【例9】已知一组不全相等的数据斗马乙的平均数为4,若在这组数据中添加一个数据%,

得到一组新数据J⅛,X∣,X2X”，则()

A.这两组数据的平均数相同B.这两组数据的中位数相同

C.这两组数据的极差相同D.这两组数据的标准差相同

【答案】AC

【分析】根据平均数的计算即可判断A正确；举例数据1,2,311,14,15判断B；根据极差的计

算方法说明判断C;根据标准差与方差的关系及方差的计算公式判断D.

X+Λ2++Λ,

【详解】对于A选项，，'^=⅞,∙∙∙%+X,++xn=nxn,

n

⅞+Λ-,+Λ-2++.r„=¾+⅛=j平均数不变，所以A选项正确：

n+1n+∖

对于B选项,取一组数据1,2,3,11,14,15,中位数为7,平均数为年23,

加上一个胃23，中位数为m23/7,所以B选项错误；

对于C选项，数据不全相等时，/既不是最大值也不是最小值，极差不变，所以C选项正确;

1”_

对于D选项，原来数据的方差s?=-Z（X,-%,

n/=1

后来数据的方差岳（%-小+2因为方差不相等，

S：=—15―%）[=—l7t（x,f）≠∕,

〃+1Li=]Jn+∖i=l

所以标准差也不相同，所以D选项错误.

【题型专练】

1.（多选题）甲、乙两人在高二的6次数学成绩统计的折线图如图所示，下列说法中正确的是

（）

O123456χ/次

若甲、乙两组成绩的平均数分别为吊，则用＞兀

A.X2,

B.若甲、乙两组成绩的方差分别为则s；＞s；

C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数

D.甲成绩的极差大于乙成绩的极差

【答案】AC

【分析】对四个选项一一判断：根据折线图直接判断选项A、B、D；分析甲乙的中位数，判

断C.

【详解】由折线图可知,甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,

所以耳＞马.故选项A正确；

由折线图的变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选

项B错误；

由折线图可得甲同学的成绩的第3和第4均大于90,乙同学的成绩的第3和第4均小于90,

所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.故选项C正确；

因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故

选项D错误.

2.（多选题）下图是甲、乙两个工厂的轮胎宽度的雷达图（虚线代表甲，实线代表乙）.根据

图中的信息，下列说法正确的是（）

A.甲厂轮胎宽度的平均数大于乙厂轮胎宽度的平均数

B.甲厂轮胎宽度的众数大于乙厂轮胎宽度的众数

C.甲厂轮胎宽度的中位数与乙厂轮胎宽度的中位数相同

D.甲厂轮胎宽度的极差小于乙厂轮胎宽度的极差

【答案】ACD

【分析】根据雷达图逐项判断可得答案.

【详解】甲厂轮胎宽度分别为194,194,194,195,196,197,乙厂轮胎宽度分别为191,

193,194,195,195,196,

IQ4×+105+1Q6+107

甲厂轮胎宽度平均数为，+1今+“。+】以=195,乙厂轮胎宽度平均数为

6

195×2+191+193+194+196,一,,,—

-----------------------------------------=194,195>194,故A正确；

6

甲厂轮胎宽度的众数是194,乙厂轮胎宽度的众数是195,195>194,故B错误；

甲厂轮胎宽度的中位数为195C+194=194.5,乙厂轮胎宽度的中位数为195：+194=194.5,

22

故C正确；

甲厂轮胎宽度的极差为197-194=3,乙厂轮胎宽度极差为196-191=5,5>3,故D正确.

3.已知样本9,10/1,肛"的平均数是9,方差是2,则λ≡+w+/=()

A.41B.71C.55D.45

【答案】B

【分析】根据平均数与方差的定义，列出方程，求出胆与〃的值，即可得出，""+也+〃的值.

【详解】9,10,11,∕n,w的平均数是9,

.∙.(9+10+ll+m+w)=9×5,

即加+"=15①；

又•方差是2,

.∙.ɪ[(9-9)2+(10-9)2+(11-9)2+(m-9)2+(n-9)2]=2,

即5-9)2+5-9)2=5②；

由①②联立，

f加=74[∕n=8

解得：0或7：

[〃=8[〃=7

.,.mn+m+n=7∖

4.(多选题)气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天日平均温度不低于22℃”.现

有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数，单位℃)满足以下条件：

甲地：5个数据的中位数是24,众数是22；

乙地：5个数据的中位数是27,平均数是24；

丙地：5个数据有1个是32,平均数是26,方差是10.2.

则下列说法正确的是()

A.进入夏季的地区有2个B.丙地区肯定进入了夏季

C.乙地区肯定还未进入夏季D.不能肯定甲地区进入了夏季

【答案】ABC

【分析】根据中位数、平均数，方差判断三地数据中最低的温度是否低于22"C,即可得.

【详解】甲地：设甲地的其他两个数据分别为e,/,且e<∕,将5个数据由小到大排列得

22,22,24,e,f,其中24<e<∕,满足进入夏季的标志；

乙地：设乙地其他四个数据分别为b,Jd,且α<b≤27≤c≤d,将5个数据由小到大排

列得4,b,27,c,d,则27+c+d≥81,而“+6+27+c+d=120,故α+6≤39,其中必有

一个小于22,故不满足进入夏季的标志；

丙地：设5个数据分别为P,q,r,s,32,且PMr,seZ,由方差公式可知

(p-26)2+(g-26)2+(r-26)2+(S-26)2+(32-26)2=10.2x5=51,贝IJ(P-26)°+(¢-26)2+(r-26)2+

(5-26/=15,易知P,q,r,S均大于22,满足进入夏季的标志综上，ABC正确，

5.设〃个数据百户2，,七的平均数为土，方差为s?,则下列等式成立的是(写出所有成

立的序号).

①位=£匕；②t(%-丁)=0;③("+l)s?=f(x-xj2;④

∣=I∕=ir≈IZ=I

【答案】①②④

【分析】根据平均数公式T=LB可判断①、②项；根据方差公式

$2=一2(七一君2=一ZX:一亍2可判断③、④.

1

【详解】因为，ɪ=∙∑Λ∙.所以有位=£>,,①正确；

〃/=I/=1

由①知，X(x,∙-五)=Z±-"五=0，②正确：

/=I1=1

1"∣1n

因为，r=-∑U-ɪ)2,所以5+1)，/=w二E(Xf)③不正确；

〃i=l〃M

因为，$2=，£苞2-矛，所以"S?=fx；-成2,④正确.

几i=l/=I

6.已知样本数据%,*2，，三。的平均数与方差分别是。和b，若y=-x,+2(i=L2,,50),且

2

样本数据的M，%，，%)平均数与方差分别是b和。，则x：+^++⅞0=.

【答案】100

【分析】首项根据平均数和方差的相关性质列出方程，求出“力，再利用平均数和方差的关系

式求出入?+々?++42=2&+w+.+χ5o)=100.

'b=-a+2(a=ι

【详解】由题意得：/,、2「解得：L1.

a=(-l)b[⅛=1

50

所以玉+&++X5O=-

专[(玉-1)-+(为-1)2++(⅞o-1)2]=ι»

化简得：2

*[x∕+χj++X50-2(ΛI+X2++X50)+50]=1,

xj+x›-+'+$()2=2(%+/++XJQ)=]OO.

7.某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是7,8,9,10,11,12,12,

12,13,14,则这组数据的方差为.(参考数据：这组数据的平方和为1212)

【答案】4.56

【分析】根据方差公式直接计算即可.

【详解】由已知得了=、+"•+/=7+8+9+10+1K2+12+13+14=108)

10

∑X,2=1212,

/=1

IOIO

方差d)y；TOX2⑵2-10x10.8276,

1010IO■

8.己知某区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24,8,16人，在一次

统一考试中，该区三所学校强基学生的平均分分别为118,120,114,方差分别为15,12,21,

则该区所有数学强基学生成绩的平均数I=,方差S?=.

【答案】11721.5

【分析】根据总体均值与总体方差的计算公式求解即可.

【详解】解：甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24,8,16人，则甲、

2418ɪ161

乙、丙三所学科基地学校的人数占比分别为:

24÷8+16-224+8+166,24+8+16^3

所以无=LXi18+」X120+'X114=117,

263

i∕ι_21〃1"

方差的公式为S2=∙⅛(x,-χ),所以S2」,(毛2_2病+巧」当2_元2

ni=lrι/=1〃/=1

1Z=I___213Z=J/、

所以4=五专X；一/=>15=-∑X,2-1I82=>∑X,2=(∣182+15)×24,

1/=1___21/=1Z=I/\

*2*82

S需一羯=21=话苫%；—1]4=>∑xj=(Il4?+21)χ16

则S?=^[(1182+15)×24+(1202+12)×8+(1142+21)×16]-1172=21.5.

9.为了调查公司员工的健康状况，某公司男女员工比例是2:3,用分层随机抽样的方法抽取

样本，统计样本数据如下：男员工的平均体重为70kg,标准差为5kg；女员工的平均体重为

50kg,标准差为6kg.则由此估计该公司员工的平均体重是kg,方差是

【答案】58；127.6##—.

【分析】根据分层抽样平均数公式估计该公司员工的平均体重，再利用分层抽样的方差公式求

方差.

23

【详解】由题得元=70χg+50χw=58,

222

所以方差.r=[∙v1+(x1-x)]×∣+[^+(¾-∑)]×∣=127.6

题型三：各数据加减乘除对方差、平均数的影响

【例1】已知一组数据为,々，*3，之，毛，/，毛，丸的平均数是4,方差是2,那么另一组数据阴-2,

3马-2,3%-2,3匕-2,3天-2,3%-2,3%-2,34-2的平均数，方差分别是()

A.12,10B.12,4C.10,4D.10,18

【答案】D

【分析】根据平均数和方差公式结合题意求解即可.

【详解】因为一组数据片,々，玉，匕，内，％，与，丸的平均数是4,方差是2,

-1

所以X=G(Xl÷X+X+X÷X+X+X+Λ⅛)=4,

8234567

2-χ22X2x2-2x-χ2

S?=~l(ɪι-ɪ)+(x2)+(ɪɜ-ɪ)÷(⅞-)÷(5-ɪ)÷(⅞ɪ)÷(7)÷(⅞一元)2]=2,

—

所以数据3x1—2,3X22,3%—2,3X4—2,3Λ5—2,34-2,3x1—2,3Λ⅛—2的平均数为

—[(3x∣-2)÷(3X—2)÷(3X—2)+(3x—2)+(3x—2)÷(3x—2)÷(3x—2)+(3Λ⅛—2)]

8934567

=J13(x∣+X2+X3+Λ4÷Λ5+¾+X7+Λ⅛)-16]

=3×^(XI+X2+X3÷X4+X5+X6+X7÷X8)--ɪ×16

=3x-2

=3×4-2=10,

方差为匕(3%一2-31+2)2+(39-2-31+2)2+(3$-2-31+2)2+(3月-2-31+2)2

8

2222

+(3X5-2-3X+2)+(3X6-2-3X+2)+(3X7-2-3X+2)+(3Λ8-2-3X+2)]

=9×-[(X-x)2+(x-X)2+(X,-x)-+(x-X)2+(X-X)2+(X-X)2+(X-X)2+(/一X)2]

8124567

=9x2=18,

【例2】有一组样本数据%,马，，斗，由这组数据得到新的样本数据如丫2，，"，其中

y=3,(i=l,2,L,〃)，且c>0,则下列说法中错误的是()

A.新样本数据的平均数是原样本数据平均数的C倍

B.新样本数据的上四分位数是原样本数据上四分位数的C倍

C.新样本数据的方差是原样本数据方差的C倍

D.新样本数据的极差是原样本数据极差的C倍

【答案】C

【分析】根据平均数、百分位数、方差、极差的概念与性质逐一判断即可.

【详解】设原样本数据的平均数为£,则新样本数据的平均数为ci，故A正确：

原样本数据按从小到大的顺序排列，则每个数据乘以C后从小到大的顺序不变.设原样本数据

的上四分位数为X,根据百分位数的概念，新样本数据的上四分位数为c-,故B正确；

设原样本数据的方差为$2,则新样本数据的方差为c?.52,故C错误：

设原样本数据最大为XmaX，最小为XmM，原样本数据的极差为Xnm-Xmm，则新样本数据的极差

是UXa-八Xmin=CG皿-XmiJ,即新样本数据的极差是原样本数据极差的C倍，故D正确.

【例3】已知一组数据％,天,…,斗的平均数为1标准差为S,则数据2x∣+l,2%+l,…,2x,+l的

平均数和方差分别为()

A.2元+l,2s+lB.2x,2sC.2x+l,2sD,2x+∖,4s2

【答案】D

【分析】根据数据的平均数与方差的性质求解即可.

【详解】解：由题知，西+%；••+-=VS=W冬玉-科，

所以，2x1+l,2X2+1,…,2%+1的平均数为2玉+1+2/+1++2x,,+l=2-+1(

n

22

2xl+1,2x,+l,∙∙∙,2xπ+l的方差分别-^y(2x,.+l-2x-l)=i∙4Y(x,.-x)=4?.

nMM

【题型专练】

1.数据占，X2,匕，…，X.的平均数为元=2,方差s2=9,则数据2x∣+l,2X2+∖,2X3+1,

…，2%+1的标准差为()

A.6B.7C.12D.36

【答案】A

【分析】根据方差的性质计算可得.

【详解】解；因为数据4，々，x3,…，4的方差S2=9，

则数据2x∣+l,2x2+l,2xi+∖,2xr,+l的方差为4S2=36,则标准差为6;

2.有一组样本数据公，演，…，X"，由这组数据得到新样本数据M，丫2,…，先，其中M=X,+C

(/=11,2,”)，C为非零常数，则下列说法第送的是(