2023年山东省潍坊市中考三模数学试题（含答案与解析）

2023年山东省潍坊市中考三模试卷

数学

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、单项选择题（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正

确的选项选出来，每小题选对得4分，多选、不选、错选均记0分.）

1.下列计算结果正确的是（）

A.7a—5a=2B.9a÷3a=3aC.a5÷ai-a2D.（3〃）=9/

2.星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北斗”三号卫星导

航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度.1纳秒=IXIO-9秒，那么20纳

秒用科学记数法表示应为（）

A.2xl（f8秒B.2x10-9秒C.20x10-9秒D.2xl（Γ∣0秒

3.如图1是由6个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体

A.主视图改变，俯视图改变B.主视图不变，俯视图改变

C.主视图不变，俯视图不变D.主视图改变，俯视图不变

4.把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若/1=25°,则/2的度数为（）

2

A.15oB.20oD.30o

5.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如

图2是该台灯的电流/（A）.与电阻R（O）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880,0.25）.根据图象

可知，下列说法正确的是（）

Sl

A.当R<0.25时，/<880

B./与R函数关系式是/=T）（R>0）

C.当R>1000时，/>0.22

D.当880<R<1000时，/的取值范围是0.22<∕<0.25

6.某函数的图象如图所示，当0≤x≤α时，在该函数图象上可找到〃个不同的点（不，χ）,（%,%）,

（乙,乂），使得"L=&==&,则〃的取值不可能为（）

∖,/YYY

ʌl人2ΛΠ

二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）

7.实数α在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数6满足-α<b<α,则6的值可以是（）

-3-2-10123

A.2C.-2D.I

8.疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温结果制成如下统计图

表.下列说法不正确的是（）

体温。C36.136.236.336.436.536.6

人数/人48810"22

A.这个班有40名学生

B.m=8

C.这些体温的众数是8

D.这些体温的中位数是36.35

9.如图，抛物线＞=οχ2+⅛r+c（α≠0）的对称轴是直线X=1,则下列结论正确的是（）

B.a+b+c>OC.3b<2cD.b>a+c

10.如图，在正方形纸片ABCo中，对角线AC,BD交于点、O,折叠正方形纸片ABC使Az）落在

BD上,点A恰好与BZ）上的点尸重合，展开后,折痕OE分别交AB，Ae于点E,G,连接G/,

下列结论正确的是（）.

B

o

A.ZAGD=112.5B.tanNAED=&+lC.5agd=25ogdD.四边形AE尸G是菱形

三、填空题（本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

H.分解因式：ai-2a2b+ab2=

12.疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用

户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是.

13.如图，A、B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，若NAD5=18°,则这个正多

边形的边数为.

14.如图，在一ABC中，AB=AC=10,BC=6,延长45至。，使得BD=gAB,点、P为动点,且

PB=PC,连接P。，则PD的最小值为.

四、解答题（本题共8小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.

a

（1）计算:1-

。+2a2-4

2x+l

+x≤2

（2）解不等式组:<3

4x-l<3(x+l)

16.如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边AB和/8还保留着.

（1）小明要在练习册上画出原来的等腰-ABC，用到的基本作图可以是（填写正确答案的

序号）；

①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的平分线；④作已知线段的垂直平分

线；⑤过一点作已知直线的垂线；

（2）CE为，ABC边AB上的中线，若/6的一个外角为110°，求/BC。的度数.

17.为了解市民对全市创卫工作满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统

计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的

统计图.请结合图中信息，解决下列问题：

（1）求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图.

（2）若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意人数.

（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自

甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率.

18.如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BO射到池底点。处，入

射角ZABM=30°,折射角ADBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底

点E处，入射角NACM'=60。，折射角NEaV'=40.5。.DE//BC,MN、MN'为法线.入射光线

AB，AC和折射光线BD、CE及法线MN、MN'都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米.

(1)求BC的长；(结果保留根号)

⑵如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：逝取1.41,G取1.73,sin22°取0.37,cos22°

取0.93,Ian22°取0.4,sin40.5°取0.65,CoS40.5°取0.76,tan40.5°取0.85)

19.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决

问题''的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.学习了一次函

数之后，现在来解决下面的问题：

在y=α∣x—1|+力中，下表是y与X的几组对应值.

X-3-2-10I23

y7m31n13

1-T-Γ-I-^1-T

I

I

Γ

L

I

L

l

u

(1)机=,«=；

(2)平面直角坐标系中，画出函数的图象；

(3)根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打Y,错误的打X.

①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x=l∙()

②当x<l时，y随X的增大而增大，当x21时，y随X的增大而减小.()

③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当X=I时有最小值T.()

y-2x+t

(4)若方程组《有且只有一个公共解，则f取值范围是.

y=cι∖x-)∖+b

20.振华公司对其办公楼大厅一块6x6米的正方形ABcD墙面进行了如图所示的设计装修(四周阴影部分

是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形瓦G”，用材料乙装修).两种材料的成本如下:

材料甲乙

单价(元/米2)800600

设矩形的较短边AM的长为X米，装修材料的总费用为y元.

(1)求y与X之间的关系式；

(2)当中心区域的边长所不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由.

21.【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该己知图形的两点，则这两条射线所成的最大角

称为该点对已知图形的视角，如图①，/A尸B是点P对线段AB的视角.

【应用】

(1)如图②，在直角坐标系中，已知点A(2,、n)，β(2,2√3),C(3,√3),则原点O对三角形ABC的视

角为；

(2)如图③，在直角坐标系中，以原点。，半径为2画圆。一以原点。，半径为4画圆。2,证明：圆。2

上任意一点P对圆。I的视角是定值;

【拓展应用】

（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④.现在有一条笔直的天桥，标志性建

筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄.现以建筑的中心为原点建立如图⑤

的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为X=-5,正方形建筑的边长为4,请直接写出直线上满足条件的

位置坐标.

22.如图1,将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线/上，NABC=90°，AB=BC,过点4

作4。于点。，过点8作/于点£

观察发现：

（1）如图1,当A,B两点均在直线/的上方时

①猜测线段AD,CE与BE的数量关系并说理由；

②直接写出线段OGA。与BE的数量关系；

操作证明：

（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段。C,AZ）与破又有怎样的数量

关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；

拓广探索：

（3）将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AO与BC交于点”，若CD=3,

AD=9,请直接写出OH的长度.

参考答案

一、单项选择题（本题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正

确的选项选出来，每小题选对得4分，多选、不选、错选均记O分.）

1.下列计算结果正确的是（）

A7。-5。=2B.9a÷3a=3aC.a5÷a3=CTD.（3a）=9a6

【答案】C

【解析】

【分析】根据单项式的减法、除法及同底数基的除法、积的乘方运算一次计算即可得到答案.

【详解】解：7a-5a=2a,故选项A错误，不符合题意；

9a÷3a=3,故选项B错误，不符合题意；

α5÷α3=o2,故选项C正确，符合题意；

236

（3α）=27fl,故选项D错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查单项式的减法、除法及同底数幕的除法、积的乘方运算，熟练掌握各个运算法则是解题关

键.

2.星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北斗”三号卫星导

航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精度.1纳秒=IXl（T9秒，那么20纳

秒用科学记数法表示应为（）

A.2xl（y8秒B.2x104秒C.20x10-9秒D.2χl（Γ∣°秒

【答案】A

【解析】

【分析】根据科学记数法的一般形式为αX10",其中IWlalV10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变

成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，”是正整数;

当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：20纳秒=20x1x10-9=2x10-8秒，

故选：A

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.表示时关键要正确确定“的值以及"的值.

3.如图1是由6个相同的小正方块组成的几何体，移动其中一个小正方块，变成图2所示的几何体

()

图1图2

A.主视图改变，俯视图改变B.主视图不变，俯视图改变

C.主视图不变，俯视图不变D.主视图改变，俯视图不变

【答案】B

【解析】

【分析】分别得到将正方体变化前后的三视图，依此即可作出判断.

【详解】解：正方体移走前的主视图正方形的个数为1,2,1；正方体移走后的主视图正方形的个数为

I,2,1.

正方体移走前的左视图正方形的个数为2,1,1；正方体移走后的左视图正方形的个数为2,1.

正方体移走前的俯视图正方形的个数为3,1,1；正方体移走后的俯视图正方形的个数为：2,1,2.

故选:B.

【点睛】此题主要考查了三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列

数及每列正方形的个数是解决本题的关键.

4.把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若/1=25°,则N2的度数为（）

【答案】B

【解析】

【分析】利用平行线的性质求出N3可得结论.

【详解】解：如图，

2^-

____________________________

b

'Ja∕∕b,

Nl=/3=25°,

VZ2+Z3=45o,

ΛZ2=45o-Z3=20o,

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用平行线的性质求出

Z3.

5.如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如

图2是该台灯的电流/(A).与电阻R(C)成反比例函数的图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象

可知，下列说法正确的是()

Sl

A.当R<0.25时，Z<880

B./与R的函数关系式是I=ɪ(7?>0)

C.当R>IOOO时，/>0.22

D.当880<R<1000时，/取值范围是0.22<∕<0.25

【答案】D

【解析】

【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论.

【详解】解：设/与R的函数关系式是∕=∖(H>0),

该图象经过点P(880,0.25),

U

=0.25,

880

∙∙.U=220,

220

•••/与R的函数关系式是∕=-^-(R>0),故选项B不符合题意;

当R=O.25时，/=880,当R=IOOO时，/=0.22,

Y反比例函数∕=K(R>O)/随R的增大而减小，

当R<0.25时，/>880,当R>1000时，/<0.22,故选项A,C不符合题意;

∙∙∙R=0.25时，/=880,当R=IooO时，/=0.22,

当880<R<1000时，/的取值范围是0.22<∕<0.25,故D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键.

6.某函数的图象如图所示，当0≤x≤α时,在该函数图象上可找到W个不同的点(χ,χ),(工,%),……

,则”的取值不可能为()

C.5D.6

【答案】D

【解析】

L

【分析】Uq==I=MZNo),判断出点(x,,y),(χ2,y2),,y„)在正比例函数y=日

上，根据图象判断出正比例函数y=依的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点，即可

得到答案.

【详解】解：设上=&==&=R(ZW0),

玉X2X”

则y∣=λx∣,%="2，%=如，……，y∙=kx",

即点(χ∣,y),(%,%)，........(七,乂)在正比例函数丁=日上,

如图，正比例函数y=质的图象与某函数的图象最多有5个交点，不可能有6个交点.

【点睛】此题考查了正比例函数的图象和性质，根据题意构造正比例函数，利用数形结合是解题的关键.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得4分，有选错的得O分，部分选对的得2分.）

7.实数”在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足—α<J<α,则6的值可以是（）

a

■■■■1.11»

-3-2-10123

A.2B.-1C.-2D.1

【答案】BD

【解析】

【分析】先根据数轴得出。的取值范围，结合题意得出。的取值范围，从答案中筛选即可.

【详解】解：根据数轴可知，l<α<2,

-2<-a<—1,

-a<b<a,

田<α,

.∙∙6可以是-1,1,故BD正确.

故选：BD.

【点睛】本题主要考查实数与数轴，解题的关键是充分运用数形结合的思想方法.

8.疾控中心每学期都对我校学生进行健康体检，小亮将领航班所有学生测量体温的结果制成如下统计图

表.下列说法不正确的是（）

体温。C36.136.236.336.436.536.6

人数/人48810m2

B.m=8

C.这些体温的众数是8

D.这些体温的中位数是36.35

【答案】C

【解析】

【分析】根据扇形统计图可知：36.1°C所在扇形圆心角为36°,由此可得36.1°C在总体中所占的百分比；

再结合36.1°C的频数，就可求出学生总数，进而可求出X的值；然后根据众数和中位数的定义就可解决问

题.

【详解】解：由扇形统计图可知，体温为36.1。C的学生人数所占百分比为至∙χl()O%=10%,

360

4

故这个班有学生——=40(名)，

10%

所以〃Z=40—4—8—8—10—2=8,

选项A、B说法都正确，故选项A、B都不符合题意；

这些体温的众数是36.4,选项C说法错误，故选项C符合题意；

这些体温的中位数是363+36.4

=36.35,选项D说法正确，故选项D不符合题意.

2

故选：C.

【点睛】本题考查表格与扇形统计图、众数及中位数的定义，解题的关键是利用圆心角度数与项目所占百分

比的关系求总人数.

9.如图，抛物线y=0√+区+c(α≠())的对称轴是直线X=1,则下列结论正确的是(

A.abc>OB.a+b+c>OC.3b<2cD.b>a+c

【答案】A

【解析】

【分析】根据抛物线开口向上，与），轴交与y轴负半轴，得到α>O,c<Q,根据抛物线对称轴为直线

x=l,得到匕=-2α<0,由此即可判断A；根据当X=I时，y<O,即可判断B；根据当x=—1时,

y=O,即可判断c、D.

【详解】解：；抛物线开口向上，与y轴交与y轴负半轴，

♦∙α>O,c<0,

•；抛物线对称轴为直线X=1,

.b-1

Ia

.*.b=—2a<O>

：.abc>Q,故A结论正确，符合题意；

?当x=l时，y<0,

.∖a+b+c<O,故B结论错误，不符合题意；

；当户一1时，y=0,

.*.a-b+c=0,

b,c，

------b+c=O,b=a+c

2

.∙.3b=2c,故C、D结论错误，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关

键.

10.如图，在正方形纸片ABC。中，对角线AC,BD交于点、O，折叠正方形纸片ABC。，使Ar）落在

上，点A恰好与8。上的点尸重合，展开后，折痕DE分别交AB,AC于点E，G,连接G/7,

下列结论正确的是（）.

AD

BC

o

A.ZAGD=112.5B.tanNAED=&+lC.SAGD=2S即D.四边形AE尸G是菱形

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据矩形的性质可得NoA£>=NODA=45°,由折叠的性质得到

ZADE=ΛFDE=-ZODA=22.5°,再利用三角形内角和定理即可求出/4G。，以此判断A选项；由

2

折叠的性质得到NDEE=NnAE=90。，AE=EF,AD=DF,易得ABEF为等腰直角三角形，则

BF=EF=AE>设AD=AB=a，则DF—a>BD=∖∣2，AE=EF=BF=∖∣2a—a，在

RtZkADE中，利用正切函数的定义判断B选项；由折叠的性质可得，ΛE=EF,AG=RG,

ZAEG=∕FEG,由NDfE=NAOB=900可知E尸〃A0,得到NEEG=NAGE,进而得到

ZAEG=ZAGE,于是得到AE=AG=FG=EE,以此可判定四边形AEFG为菱形，即可判断D选

项；由G/〃AB得到NGFO=NA50=45。，则AG=∙FG=J5θG，再根据三角形的面积公式即可判

断C选项.

【详解】解：四边形ABCO为正方形，

.∙.AB=BC=CD=AD,OA=OC=OB=OD,AClBD,

：.ZOAD=ZODA=45°,

根据折叠的性质可得，NADE=ZFDE-AODA=22.5°,

2

ZAGD=180°-ZDAG-ZADG=180°-45°-22.5o=112.5°,故A选项正确，符合题意：

根据折叠的性质可得，NDFE=ZDAE=90。,AE=EF,AD=DF，

NBFE=90。,

OA=OB,AOLOB,

/4JBo=45°,

.∙.∆BM为等腰直角三角形，

∙'∙BF=EF=AE，

设AD=AB—a，则DF=a，

BD=在a，

BF=BD-DF=∖∣2a-a>

∙∙∙AE=EF=BF=6a-a，

在Rtz∖ADE中，VdnZAED=――——=.......—∙]2+1,故B选项正确，符合题意；

AEy∣2a-a

由折叠的性质可得，AE=EF,AG=FG,ZAEG=/FEG,

NDFE=ZAoB=90°,

EF//AO,

•1.NFEG=ZAGE,

：.ZAEG=ZAGE,

∙∙∙AE=AG=FG=EF,

••・四边形AEFG为菱形，故D选项正确，符合题意；

四边形A£FG为菱形，

GF//AB,

ZGFO=ZABO=45°,

∙∙∙FG=√20G>

AG=FG=®OG'

SAGD=GAG∙ODW°GoD，SOGD=^-OGOD,

SACD=近SOCD，故C选项错误，不符合题意•

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理、解直角三角形、等腰三角形的判

定与性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟知折叠的性质.折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

三、填空题(本题共4小题，共16分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分)

11.分解因式：。3一2/。+。。2=.

【答案】a[a-b'↑

【解析】

【分析】首先提公因式，原式可化为α(∕-24b+"),再利用公式法进行因式分解可得结果a(a-bp.

【详解】解：a3-2a2b+ab2=a(a2-2ab+b2)=a(a-b↑,

故答案为：α(α.

【点睛】本题主要考查的是因式分解的运算，掌握因式分解运算的顺序“一提，二套，三分组，十字相乘

做辅助”，利用合适方法进行因式分解，注意分解要彻底.

12.疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用

户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是.

【答案】30%

【解析】

【分析】设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是X,用平均增长率X表示三月份新注册用户，可列

出方程，解之即可.

【详解】解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是X,

依题意,得：200(l+x)2=338,

(l+x)2=1.69,

解得:Xl=O.3=30%,X2=-2.3(不合题意，舍去).

故答案为：30%.

【点睛】本题考查是一元二次方程中增长率应用题问题，要分清给的用户是第三个月的，还是三个月的总

和，掌握第三个月用增长率如何表示.

13.如图，A、B、C、。为一个正多边形的顶点，。为正多边形的中心，若NAO3=18°,则这个正多

边形的边数为.

D

O.

【答案】10

【解析】

【分析】连接AO,BO,根据圆周角定理得到/AOB=36。，根据中心角的定义即可求解.

【详解】如图，连接AO,BO,

NAOB=2∕ADB=36°

.∙.这个正多边形的边数为*36-0=°10

36°

故答案为：10.

【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理.

14.如图，在一ABC中，AB=AC=10,BC=6,延长AB至。，使得=,点P为动点，且

2

PB=PC,连接产。，则PD的最小值为.

Q

【答案】—##4.5

2

【解析】

【分析】连接AP,根据等腰三角形的性质得到直线AP是BC的垂直平分线，进而可得BE=LBC=3,

2

BC±AP,再根据垂线段最短可得当JDPLAp时OP最短，最后根据相似三角形的判定与性质得到

纪=思即可解答.

ADDP

【详解】解：连接AP，

∙∙AB=AC=IO,PB=PC,

•,直线AP是BC的垂直平分线,

/BC=6,

∙.BE=-BC=3,BClAP,

2

••当JDPLAP时，DP最短,

∙.ZAPf)=ZAEB=90°,

/BD=LAB,

2

3

∙.40==ΛB=15，

2

.∙ZEAB=ZPAD,

∙∙,AEfisAPD,

Aβ

-

A。

9

2-

9

・•.PZ）的最小值为大,

2

_9

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定及

性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

四、解答题（本题共8小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.

l-ɪa

（1）计算:

。+2cr-4

2x+l

+x≤2

（2）解不等式组:<3

4x-l<3(x+l)

【答案】（1）a-2

（2）χ≤l

【解析】

【分析】（1）按照分式的混合运算进行求解；

（2）分别求出各个不等式的解集，再求出各解集的公共部分，即为不等式组的解集.

【小问1详解】

a+2-2(α+2)(α-2)

a+2a

【小问2详解】

2Λ+1

+x≤2(T)

-3

4尤-l<3(x+l)②

解不等式①，得x≤l;

解不等式②，得x<4；

，不等式组的解集为：x≤l

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，解不等式组.解题的关键是熟练求解分式的混合运算，求解不等

式组，解题时要仔细.

16.如图，小明练习册上的一个等腰三角形被墨迹污染了，只有它的底边AB和NB还保留着.

（1）小明要在练习册上画出原来的等腰qABC,用到的基本作图可以是（填写正确答案的

序号）；

①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角：③作已知角的平分线；④作己知线段的垂直平分

线；⑤过一点作已知直线的垂线；

(2)CE为，ABC边AB上的中线，若/6的一个外角为110°，求/BC。的度数.

【答案】(1)②或④(2)20°

【解析】

【分析】(1)作线段AB的垂直平分线MN,C垂足为O,NB的另一边交直线MN于点C,连接AC,

ABC即为所求作.

(2)利用等腰三角形的性质求解即可.

【小问1详解】

解：作线段AB的垂直平分线MN,垂足为。/5的另一边交直线MN于点C,连接AC,AABC即

为所求作.

Ap。

∖M

作NA=NB,它们的另一边的交点即为点C,则，ABC即为所求.

而①③⑤的作图均不能画出原来的三角形，

故答案为：②或④；

【小问2详解】

解：：NB的一个外角为110°，

/8=7()。，

*/CA=CB,

/.NA=NB=70。，

/AQ?=180。-2X70。=40°,

VCA=CB,CD±AB,

：.NBa)=LzACB=20°.

2

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识,

属于中考常考题型.

17.为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统

计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的

满意程度

（1）求此次调查中接受调查的人数，

（2）若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数.

（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自

甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率.

【答案】（1）50人，统计图见解析

（2）估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数分别为120万人，108万人

（3）-

3

【解析】

【分析】（1）由满意的有20人，占40%,即可求得此次调查中接受调查的人数，进而求出非常满意的人数，

最后补全统计图即可；

（2）用300万乘以样本中表示满意和非常满意的人数占比即可得到答案；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自同区的情况，再

利用概率公式即可求得答案.

【小问1详解】

解：20÷40%=50人，

•••这次调查中接受调查的人数为50人，

调查结果为非常满意的人数为50-4-8-20=18人，

补全统计图如下：

人数

25

20

15

10【小问2详解】

5

0ɪl

不满意一般满意非常满意

满意程度

解：300x40%=120万人，300x36%=108万人，

估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数分别为120万人，108万人；

【小问3详解】

解：画树状图如下：

开始

×1甲××I甲××乙N×乙N

甲乙乙甲乙乙甲甲乙甲甲乙

由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择的市民均来自同区的结果数有4种，

41

.∙.选择的市民均来自同区的概率为二=；

【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识.灵活运用所学知识是解题的

关键.

18.如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线3。射到池底点。处，入

射角NABM=30。，折射角NoHV=22。；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底

点E处，入射角NAeM'=60。，折射角NEaV'=40.5°.DE//BC,MN、M'N'为法线.入射光线

AB，AC和折射光线BO、CE及法线MN、MN'都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米.

小I\______I'______

NDN'E

（1）求BC的长；（结果保留根号）

（2）如果£）£=8.72米，求水池的深.（参考数据：&取1.41,6取1.73,sin22°取0.37,cos22°

取0.93,tan22°取0.4,sin40.5°取0.65,CoS40.5°取0∙76,tan40.5°取0.85)

【答案】（1）46米

（2）4米

【解析】

【分析】（1）根据题意和锐角三角函数，可以求得CF和■的值，然后即可计算出BC的值;

（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数，可以求得水池的深.

【小问1详解】

解：作交CB的延长线于点F,则A/〃MN〃MN',

.∙.ZABM=ZBAF，ZACM'=ZCAF,

VZABM=ZACM'=60°,

ΛZBAF=30°,ZCAF=60°,

∙.∙"=6米，

.,.BF=AFtan30o=6×-=2y∣3（米），CF=AF∙tan60o=6×√3=6√3（米），

3

：•BC=CF-BF=6币-26=46（米），

即BC的长为4JJ米；

【小问2详解】

解：设水池的深为X米，则BN=CTV'=X米，

由题意可知：ΛDBN=22°,NEeN'=40.5°,。七=8.72米，

ΛDN=BNtan22o≈OAx（米），N'E=C7V,∙tan40.5o≈0.85%（米），

,.∙DN+DE=BC+N'E,

.,.0.4%+8.72=4√3+0.85x,

解得尤”4,

即水池的深约为4米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明

确题意，利用数形结合的思想解答.

19.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决

问题''的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.学习了一次函

数之后，现在来解决下面的问题：

在y=α∣x-l∣+匕中，下表是y与X的几组对应值.

X-3-2-10123

y7m31n13

r-π~τ

I____」

T一尸

-1-τ∙Γ

(1)m=,n=；

(2)平面直角坐标系中，画出函数的图象；

(3)根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打“，错误的打x∙

①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线X=1.()

②当x<l时，y随X的增大而增大，当x21时，y随X的增大而减小.()

③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当X=I时有最小值-1.()

V=2x+t

(4)若方程组’,.八有且只有一个公共解，则f的取值范围是_____.

y-cι∖x-1|+/?

【答案】(1)2,-1

(2)见解析(3)q,×,√

(4)t>-3

【解析】

【分析】(1)观察表格，函数图象经过点(-1,3),(0,1),将这两点的坐标分别代入解析式，利用待定系数法

即可求出这个函数的表达式；再把X=-2和X=I分别代入所求的解析式，即可求出〃的值;

(2)根据表中的数据，通过描点、连线，即可画出函数图象；

(3)根据函数图象即可一一判定；

(4)当函数y=2x+∙的图象经过点(1,-1)时，可得.=一3,此时函数y=2∣x—1|一1在点(1,-1)右侧的图

象与函数y=2x+f的图象重合，再结合图象即可解答.

【小问1详解】

解：观察表格，此函数图象经过点(-1,3),(0,1),将这两点的坐标分别代入解析式,

2a+b=3

得《

a-∖-b-∖

a=2

解得《

h=-∖

.∙.这个函数的表达式为y=2|x—1|-1；

当X=—2时，ΛW=2∣-2-1|-1=5,

当X=I时，n=2∣l-1|—I=-I,

故答案为：5,-1；

【小问2详解】

解：列表如下：

X-3-2-10123

y7531-113

描点、连线，画图如下:

【小问3详解】

解：根据图象，判断如下：

①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线X=L（Y）

②当x<l时，y随X的增大而增大，当x21时，y随X的增大而减小.（X）

③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x=l时有最小值-1.（，）

故答案为：4,X,，；

【小问4详解】

解：当函数y=2x+r的图象经过点（1,-1）时，τ=2+r,

解得，=-3,

此时函数y=2|x—1]-1在点右侧的图象与函数y=2x+■的图象重合，

故当/>-3时，函数y=2x+f的图象与函数y=2∣x—1|-1的图象有且只有一个交点，

y=2x+t

即方程组「Cl.I有且只有一个公共解，

y=2|尤-1]一1

故答案为：/>-3.

【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表

达式所组成的二元一次方程组的解•也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐

标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键.

20.振华公司对其办公楼大厅一块6x6米的正方形ABCD墙面进行了如图所示的设计装修（四周阴影部分

是八个全等的矩形，用材料甲装修，中心区域是正方形瓦G”，用材料乙装修）.两种材料的成本如下：

材料甲乙

单价(元/米2)800600

设矩形的较短边AM的长为X米，装修材料的总费用为y元.

(1)求y与X之间的关系式；

(2)当中心区域的边长防不小于2米时，预备材料的购买资金28000元够用吗？请说明理由.

【答案】⑴ʃ=-3200X2-4800%+60000(0<x<1.5)

(2)不够用，理由见解析

【解析】

【分析】(1)由题意可得出”=斯=(6-2力米，£户=(6-4可米，再求出四周八个全等的矩形所需材

料的费用和中间正方形所需材料的费用，最后将两笔费用相加即得出y与X之间的关系式；

(2)根据题意可得出6-4x≥2,解出X的取值范围.令y=28000,则

-3200X2-4800Λ+60000=28000,解出X的值，比较该解是否在X的取值范围内，如果在说明预备材

料的购买资金28000元够用，反之则不够用.

【小问1详解】

解：•••四边形ABCr)是一块6X6米的正方形，

AB=BC=8=A£)=6米.

四周阴影部分是八个全等的矩形，

.∙.叱=。囚=/10-3=4£>-2∙=(6-2%)米.

,/中心区域是正方形EFGH,

.∙∙EF=FG=GH=EH=AD-4AM=(6-4x)米，

.∙.y=AM×AP×S×S00+EF×FG×600

=X(6-2x)X8X800+(6-4Λ)2×600

=-12800X2+38400+21600-4800X+9600Λ2

=-3200X2-4800X+60000∙

:6—4x>0,

•∙OVXVI.5,

与X之间的关系式为y=-3200√-4800x+60000(0<%<1.5)；

【小问2详解】

解：不够用.

理由：由题意可知6—4x≥2,

.β.X≤L

Λ0<x