2023年湖北省十堰市郧西县中考数学一模试卷（附答案详解）

2023年湖北省十堰市哪西县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一个数的相反数是3,这个数是（）

A.—3B.3C.ɪD∙T

2.如图所示物体的左视图为（）

3.下列运算正确的是（）

A.m5-m=m6B.（―2m）3=—6m3C.3m_2m=1D.m2+m2=m4

4.在学校举行的运动会上，小明和小亮报名参加百米赛跑，预赛分甲、乙、丙、丁四组进

行，运动员通过抽签来确定要参加的预赛小组，小明和小亮恰好抽到同一组的概率是（）

1111

CD

A.6-4-一32-

5.如图，在四边形ABCD中,4B=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得SAP.B=SXPCD，

则满足此条件的点P（）

E

A.有且只有1个

B.有且只有2个

C.组成NE的角平分线

D.组成NE的角平分线所在的直线（E点除外）

6.《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五

十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干

钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的那么乙也共有钱50,

问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为y”则可列方程组为（）

'2x-y=50r2x—y=50fx+∣y=50%—∣y=50

xx5βc

^∣=°-U-∣y=50-jy+∣x=50D∙y+∣y=50

7.已知钓鱼杆AC的长为10米，露在水上的鱼线BC长为6m,某

钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到/C'的位置，此时

露在水面上的鱼线Bc长度为8米，则的长为（）

A.4米

B.3米

C.2米

D.1米

8.如图，已知点B,D,C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物4B的顶端A的仰角

为a,在点D处测得建筑物AB的顶端4的仰角为0,若CD=α,则建筑物AB的高度为（）

BD

Hit∙IUio∙tan>a■∣.ιπr∣`tan/

ʌ'tano-taι>4B，tan3-tanαC-Uu）C-UnjD,tauJ-twin

9.如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，D是4B另一侧半圆的中夕U、

点，若CD=3，1,BC=4,则。。的半径长为（）

…AW

B.√^5D

C.2∖∏,

D.2

10.“如果二次函数y=a/+双+c的图象与%轴有两个公共点，那么一元二次方程a/+

bx+c=。有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若zn、n(m<

n)是关于X的方程I-(X-a)(x-b)=。的两根，且a<b,贝"a、b、m、n的大小关系是()

A.m<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

11.氢原子的直径约为0.0000000001米，把0.0000000001用科学记数法表示为.

12.已知a?—a—I=0,则/—a?—a+2023——.

13.如图，沿/B方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取

∆ABC=150o,BC=1600m,乙BCD=105°,则C,。两点的距离是

m.

14.古希腊数学家把1,3,6,10,15,21…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以

用如图表示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为%=1,第二个图形表示的三角

形数记为a2=3,…，则第个图形表示的三角形数是210.

⑴(2)⑶⑷

15.如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形

48CD沿4E折叠，得到点B的对应点为点F,延长EF交线段DC于

点P,若AB=8,则CP的长度为.

16.如图，在菱形ABCD中，ΛABC=60o,AB=3,点P是这个菱形内部AD

或边上的一点，若以点P、8、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、//

BC

D两点不重合）两点间的最短距离为.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.(本小题4.0分)

计算：—12022+(}-2+∣q-2∣∙

18.（本小题6.0分）

化简：（⅛1-2）÷需.

19.（本小题9.0分）

某中学数学兴趣小组为了解本校学生对4新闻、B：体育、C：动画、D-.娱乐、E：戏曲五

类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选

的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图.请根据图中所给出的信息解

答下列问题：

(2)请补全条形图；

(3)扇形图中，Ki=,节目类型E对应的扇形圆心角的度数是°；

(4)若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？

20.(本小题6.0分)

如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=!的图象交于4,B两点，且与X轴交于点C,

点4的坐标为(2,1).

(I)求Tn及k的值；

21.(本小题7.0分)

如图，在AZBC中，NACB=90。，BC的垂直平分线DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，且

AF=CE=AE.

(1)说明四边形ACEF是平行四边形；

(2)当4B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.

B

22.(本小题8.0分)

如图，在RtΔ4BC中，NC=9(Γ∕B4C的平分线4D交BC边于点D.以AB上一点。为圆心作。0,

使。。经过点4和点D,且交AB于E.

(1)判断直线BC与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若4C=3,CD=C,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和兀).

23.(本小题10.0分)

某公司开发出一种高科技电子节能产品，投资2500万一次性购买整套生产设备，此外生产每

件产品需成本20元，每年还需投入500万广告费，按规定该产品的售价不得低于30元/件且不

得高于70元/件，该商品的年销售量y(万件)与售价x(元/件)之间的函数关系如下表：

%(元/件)3031•••70

y(万件)12011980

(1)求y与X的函数关系式并写出X的取值范围；

(2)第一年公司是盈利还是亏损？并求当盈利最大或亏损最小时该商品的售价；

(3)在(2)的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品定价，能

否使两年共盈利3500万元？若能，求第二年产品售价；若不能，说明理由.

24.(本小题10.0分)

⅛fttΔ½BCφ,½C=BC,将线段CA绕点C旋转a(0。<α<90°),得到线段CD,连接ZD、BD.

(1)如图1,将线段C4绕点C逆时针旋转α,则乙4。B的度数为；

(2)将线段CA绕点C顺时针旋转ɑ时

①在图2中依题意补全图形，并求N4DB的度数；

②若NBCD的平分线CE交BD于点F,交D4的延长线于点E,连结BE.用等式表示线段A。、CE、

BE之间的数量关系，并证明.

25.(本小题12.0分)

已知抛物线y=ɑ/+"+3与无轴交于Z(-LO)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,如图所示.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线L向下平移八个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC内(包括△OBC

的边界)，求人的取值范围；

(3)设点P是X轴上方的抛物线上任一点，点Q在直线X=3上，APBQ能否成为以点P为直角顶

点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.

(图1)(备用图)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：3的相反数是-3,

故选：A.

根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

本题考查了相反数，注意相反数是相互的，不能说一个数是相反数.

2.【答案】A

【解析】解：从左边看下边是一个大矩形，矩形的左上角是一个小矩形，

故选：A.

根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案.

本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

3.【答案】A

【解析】解：4、原式=m6,正确，符合题意；

B、原式=-8加3,错误，不符合题意；

C、原式=m,错误，不符合题意；

。、原式=2巾2,错误，不符合题意；

故选：A.

A、根据同底数事乘法法则计算判断即可；B、根据积的乘方与幕的乘方运算法则计算判断即可;

C、根据合并同类项法则计算判断即可；。、根据合并同类项法则计算判断即可.

此题考查的是同底数幕乘法法则、积的乘方与哥的乘方运算法则、并同类项法则，掌握其运算法

则是解决此题的关键.

4.【答案】B

【解析】解：树状图如图所示:

开始

小明

4流甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁甲乙丙丁

由上可得，一共有16种可能性，其中小明和小亮恰好抽到同一组的可能性有4种,

••・小明和小亮恰好抽到同一组的概率为：白=；,

164

故选：B.

根据题意，可以画出相应的树状图，然后求出相应的概率即可.

本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图.

5.【答案】D

【解析】解：作NE的平分线，当点P在NE的平分线所在的直线（E点除外）上时，

可得点P到AB和CD的距离相等，

因为AB=CD,

所以此时点P满足SAP4B=SXPCD-

故选：D.

根据角平分线的性质分析，作4E的平分线，当点P在ZE的平分线所在的直线（E点除外）上时，点尸

到AB和CD的距离相等，即可得到SAPAB=SMCD.

此题考查角平分线的性质，关键是根据4B=C。和三角形等底作出等高即可.

6.【答案】C

【解析】解：设甲需持钱X,乙持钱y,

[x+ɪv=50

根据题意，得：,，

+-X=50

故选：C.

设甲需持钱X,乙持钱y,根据题意可得，甲的钱+乙所有钱的一半=50,乙的钱+甲所有钱的I=

500,据此列方程组可得.

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出

合适的等量关系，列出方程组.

7.【答案】C

【解析】解：在RtA48C中，TlC=10m,BC=6m,

：.AB=√AC2-BC2=√IO2-62=8(m).

在RtA4B'C'中，AC'=10m,B'C'=8m,

.∙.AB'=√AC2-B'C2=6(m),

：，BB'=AB-AB'=8-6=2(m)；

故选：C.

根据勾股定理分别求出/B和44，再根据BB'=4B-力B'即可得出答案.

此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB和4B'是解题的关键.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

ʌΓ⅜义

设4B=x,在Rt△4BD中，∣∣><,可得，!，则

flDDBD

*λABX

“(D」；,在RtUBC中，fir“X,解出％即可.

tnιιii

【解答】

解：设=X,

/∙.,CCqʌB\

在/?t∆ABDlɔ,1,I,,,,

BDBD

.RD•总，

tan1

BCCD-IiDu-x.

tan

AB

'

在RtAABC中，'''""BC

tΛ41J

.ιtanS“ill/

解得J-FT皿，

故选：D.

【点评】

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关

键.

9.【答案】B

【解析】解：连接4。，过点B作BEIC。于点E,

∙∙∙4B是。。的直径，。是卷的中点，

.∙.∆ADB=90o,AD=DB,

.•.△4。B是等腰直角三角形，

ʌ乙4=Z-ABD=45°,

・・・∆C=∆A=45°,

；.△EBC是等腰直角三角形，

•••BC=4,

ʌEC=EB=2<7.

VCD=3√^2,

DE=√"^2>

.∙.BD=√DE2+BE2=√2+8=√^Iθ.

在等腰直角△BzM中，AB=√AD2+BD2=2√-5.

・•・。。的半径长为，亍，

故选:B.

连接ZD,过点B作BE_LCD于点E,证明△ZDB和△CBE都是等腰直角三角形，根据勾股定理求解

即可.

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的判定与性质.

10.【答案】A

Vj

【解析】解：,；m、n(m<n)是关于X的方程1-(X-α)(x-b)=O的两

二次函数y=(x-α)(x-b)-1的图象与X轴交于点On,0)、(n,0),υ∖∖×-<∕'

.•・将y=(%-α)(x-b)-1的图象往上平移一个单位可得二次函数y=

(x—a)(x—b)的图象，

二次函数y=(X-α)(久一b)的图象与X轴交于点(a,0)、(ð,0).

画出两函数图象，观察函数图象可知τn<α<b<n.

故选：A.

本题考查了抛物线与X轴的交点，二次函数与一元二次方程.

由m、n(m<n)是关于X的方程1-(X-α)(x—b)=0的两根可得出二次函数y=(X-α)(x-

b)-1的图象与X轴交于点(m,0)、(n,0),将y=(x-α)(x-b)-1的图象往上平移一个单位可得

二次函数y=(x-α)(x-b)的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m.n的大

小关系.

11.【答案】IXlOTo

【解析】解：0.0000000001=IXIOT°；

故答案为：lxlθ-ι°.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为αXlOf,与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为αxlθ-n,其中l≤∣α∣<10,n为由原数左边

起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

12.【答案】2023

【解析】解：由已知α2-α-l=0

a3—a2—a+2023=a(a2—a—1)+2023=2023,

故答案为：2023.

将所求代数式提出α来，将已知式值代入即可.

本题考查了因式分解的相关知识，利用因式分解得到已知代数式，利用整体代入即可.

13.【答案】800√2

【解析】解：过点C作CEIBD,垂足为E.

HED

V∆ABC=150o,----------------------------------

•••乙DBC=30o.ʌX.>/

在RtABCE中，C

∙.∙BC=1600m,

o

λCF=IgC=800m,∆BCE=60.

•・・Z.BCD=105o,

ʌZ-ECD=45o.

在Rt△OCE中，

•・,CosZ-ECD=若，

:'CD==瞿=800√1(∕n).

~2~

故答案为：800√^I.

过点C作CEJ.8D,在RtABCE中先求出CE,再在Rt△CCE中利用边角间关系求出CC.

本题考查了锐角三角函数的定义，掌握“直角三角形中30。角所对的边等于斜边的一半”及直角三

角形的边角间关系是解决本题的关键.

14.【答案】20

【解析】解：第1个图形表示的三角形数为1,

第2个图形表示的三角形数为1+2=3,

第3个图形表示的三角形数为1+2+3=6,

第4个图形表示的三角形数为1+2+3+4=10,

第n个图形表示的三角形数为1+2+3+4+∙∙∙...+(n-l)+n=萼幺

Λ≤ZPM)=2io,

解得：n=20.

故答案为：20.

由所给的图形可得：第1个图形表示的三角形数为1；第2个图形表示的三角形数为1+2=3；第3

个图形表示的三角形数为1+2+3=6；…，据此即可得出第n个图形的三角形数，从而可求解.

本题考查了规律型中的数字的变化类，找到图形的序号与三角形数之间的关系是解答的关键.

15.【答案】2

【解析】解：如图，连接4P,

••・四边形4BC。为正方形，

・•・AB=BC=AD=6,Z.B=ZC=乙D=90°,

点E是BC的中点，

.∙.BE=CE-=3,

由翻折可知：AF=AB,EF=BE=3,44FE=NB=90。，

.∙.AD^AF,∆AFP=AD=90°,

AFP^RtADP^,

(AP=AP

IAF=AD'

.∙.RtΔAFPWRtΔADP(HL),

.∙.PF=PD,

设PF=PD=x,贝IJCP=CD-PD=G-X,EP=EF+FP=3+X,

在RtAPEC中，根据勾股定理得：

EP2=EC2+CP2,

■■(3+X)2=32+(6—X)2,

解得％=2.

则DP的长度为2.

故答案为：2.

连接4P，根据正方形的性质和翻折的性质证明RtAAFPwRtZkADP(HL),可得PF=PD,设PF=

PD=x,则CP=Co-PO=6-％,EP=EF+FP=3+x,然后根据勾股定理即可解决问题.

本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质.

16.【答案】3C-3

【解析】解：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意，此时

就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点4重合时，PD

值最小，为3；

②若以边PC为底，NPBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC(

除点C外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为3a-3;

③若以边PB为底，4PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BC上的点4与点。均满足

△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PC最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；

综上所述，PD的最小值为3C-3∙

故答案为：3，百一3.

分三种情形讨论①若以边BC为底.②若以边PC为底.③若以边PB为底.分别求出PD的最小值，

即可判断.

本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会

用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

17.【答案】解：原式=一1+9+2-，？

=10-V-3.

【解析】直接利用负整数指数幕的性质以及有理数的乘方、绝对值的性质分别化简，进而合并得

出答案.

此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

18.【答案】解：原式=4±1.

a(α+l)(α-l)

(Q—I)?CL

aa—1

=Q-L

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案.

本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于

基础题型.

19.【答案】解：(1)由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调

查人数的20%,

本次抽样调查的样本容量是：60÷20%=300,

故答案为:300；

节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360。X薪=18。，

故答案为：35,18；

(4)该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800X蔡=180(人).

【解析】(1)从条形统计图中可得到B人数为60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%,

可求出调查人数；

(2)总人数减去喜爱4、B、E类电视节目的人数，可得喜爱C类电视节目的人数，从而将条形

图补全；

(3)根据百分比=所占人数+总人数可得Tn的值：节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于360。乘以

节目类型E的百分比；

(4)利用样本估计总体的思想，用1800乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得出该校

1800名学生中喜欢新闻类节目的学生人数.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

20.【答案】解：(1)由题意可得：点4(2,1)在函数y=x+m的图象上，

，2+τn=1即Tn=-1,

•••4(2,1)在反比例函数y=［的图象上，

kd

ʌ-=1,

ʌ⅛=2；

(2),・•一次函数解析式为y=x-l,令y=0,得X=1,

・••点C的坐标是(1,0),

由图象可知不等式组0<X+m≤幺的解集为1<X≤2.

X

【解析】(1)把点A坐标代入一次函数y=x+τn与反比例函数y=g分别求得nɪ及k的值；

(2)令直线解析式的函数值为0,即可得出X的值，从而得出点C坐标，根据图象即可得出不等式组

0<X+m≤"的解集.

X

本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握用待定系数法求一次函数和反比例函数是解

题的关键.

21.【答案】(1)证明：由题意知乙尸DC==90。，

・•.EF//CA,

：,Z-FEA=∆CAE,

VAF=CE=AEt

ʌZ.F=Z.FEA=乙CAE=∆ECA.

在△EA尸和AAEC中，

Z-F=∆ECA

∙∙∙∆FEA=Z-CAE

.EA=AE

•••△E4F三ECG44S),

EF=AC,

四边形ZCEF是平行四边形:

(2)解：当NB=30。时，四边形ACEF是菱形.

理由如下：VZ.B=30o,Z.ACB=90°,

.-.AC=^AB,

•：OE垂直平分BC,

.•・BE=CEf

•・・CE=AEf

■.BE=AE=^AB,

・•・AC=CE,

又•••由(1)知四边形ACE『是平行四边形，

•••四边形ACEF是菱形.

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定方法，正确掌握判定定理是解题的关

键.

(1)证明△AEC≤ΔEAF,即可得到EF=CA,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可

判断；

(2)当NB=30。时，四边形4CE尸是菱形.根据直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质证得

AC=CE,即可判断.

22.【答案】解：(1)连结。。,

•・,OA=ODf

・•・∆OAD=∆ODAf

・・・4。平分484。，

・•・Z-OAD=∆CAD1

ʌZ-ODA=Z-CAD,

・・・OD∕∕ACf

・・・Z.ODB=Z.C=90°,

即OD1BC,

又。。是O。半径，

∙∙∙BC是。。的切线：

(2)过点。作力C的垂线段。“，则0H〃BC,、

∙∙∙AC=3,CD=√-3,

在Rt△4CD中，tanz2=77=-Ξ~)

AC3

・•・Z2=30°,

・・・Z.CAB=60°,

・•・乙B=30°,4AoH=30°,

.∙.AH=^AO,

在矩形CDoH中，CH=0D,OD=OA,

■■■AC=AH+CH,即3=*。+4。，

・•.AO=2,

即OO的半径为2：

在RtAOBO中，∆B0D=90o-/.B=60°,

则。。，2

BD=∙tαn60°=2CS^BOD=^BD-DO=S^0de=π-OD'^=|^>

S阴影=SABoD-S扇腕DE=2C-3∏^∙

【解析】(1)连结0D，根据4。平分NBAC,得41=/2,再证。。1BC,又。。是。。半径得BC是。。

的切线；

(2)过点。作ZC的垂线段。/则O4〃BC,根据直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半

得到4H=^40,因为AC=AH+CH,利用等量代换求得力。=2,即。。的半径为2；根据三角

函数得BD=DO-tan60°=2√-3>因为SABoO=TBD•。。=TX2>J~^3×2=2√-3,S扇的DE=π'

°02∙兽=|兀，即可求得阴影部分的面积•

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本题考查直线与圆的位置关系，掌握切线的判定、扇形面积的计算以及等边三角形的性质是解题

的关键.

23.【答案】解：(1)'=120-mXI=-X+150(30≤x≤70)；

(2)设公司第一年的盈利为W万元，则

w=y(x-20)-2500-500=(-%+150)(x-20)-3000=-(x-85)2+1225≤1225.

二第一年公司盈利了.

•••30≤X≤70,

二当X=70时，W发大=1000.

当商品售价定为70元/件时，盈利最大，最大为IOOO万元；

答：第一年公司盈利了.当盈利最大时该商品的售价为70元；

(3)两年共盈利3500万元，则

(-X+150)(x-20)-500=3500-1000,即一(X-85)2+1225=0,

解得X=120或X=50.

V30≤%≤70,

∙*∙X—S0.

答：能，第二年产品售价是50元/件.

【解析】(1)由于当销售单价定为30元时，一年的销售量为120万件，而销售单价每增加1元，年

销售量就减少1万件，由此确定y与X的函数关系式；

(2)由于首先投资2500万元购买整套生产设备，又投入500万广告费，而生产每件产品的成本为20

元，然后利用(1)的结论即可列出公司第一年的盈利W万元与X函数关系式，接着利用函数关系式

即可确定第一年公司是盈利还是亏损；

(3)根据(1)(2)可以列出方程(一X+150)(x-20)-500=3500-1000,即一(X-85)2+1225=

0,解方程结合已知条件即可解决问题.

本题考查的是一次、二次函数以及一元一次不等式在实际生活中的应用，解题时首先正确理解题

意，然后利用已知条件列出方程或二次函数，然后解方程或利用二次函数的性质即可解决问题.

24.【答案】解:(1)135°

(2)①依题意补全图形如图,

由旋得：CD=CA=CB,∆ACD=a,

."BCD=90o+a,

∙.∙CD=CA,CD=CB,

：,ΛADC=18ζ-=90o-p乙BDC=.1800,°^⅛)=45°一I

.∙.∆ADB=∆ADC-乙BDC=90o--45o+≡=45°；

②y∏CE=2BE-AD.

证明：过点C作CG〃BD,交EB的延长线于点G,

VBC=CD,CE平分NBCD,

∙∙∙CE垂直平分BD,

.∙.BE=DE,AEFB=90°,

由①知,Z.ADB=45°,

4EBD=4EDB=45°,

乙FEB=45°,

•••BD//CG,

：.乙ECG=乙EFB=90o,ZG=乙EBD=45°,

.∙.EC=CG,EG=y∏,EC<

V∆ACE=90o-zFC^,乙BCG=90。一乙ECB,

：•Z-ACE=∆BCG1

-AC=BC,

即在△4CE和ABCG中，

（EC=GC

∖∆ACE=1Z.BCG,

∖AC=BC,

.∙.Δ∕lCE≤ΔβCG（S½S）,

・•・AE—BGf

•・・EG=EB+BG=EB+AE=EB+ED-AD=2EB-ADf

.∙.y∕~2CE=2BE-AD.

【解析】解：（1）在Rt△4BC中，AC=BC,将线段CA绕点C旋转a（0。<α<90。）,

ʌCD=CA=CB,Z-ACD=a,

・∙・Z-BCD—90°—af

•・•CD=CAfCD=CB,

.∙.∆ADC=笔W=90°-2,乙BDC=⑼。芋=）=450+1,

.∙.∆ADB=∆ADC+∆BDC=90°-≡+45o+≡=135°,

故答案为：135。；

(2)①依题意补全图形如图,

由旋得：CD=CA=CB,∆ACD=a,

：.乙BCD=90°+α,

•；CD=CA,CD=CB,

：.∆ADC==90°-/乙BDC=180°-?°°+。）=45°-全

.∙.∆ADB=ZADC-Z.BDC=90o45o+≡=45°；

②y∏CE=2BE-AD.

证明：过点C作CG〃BD,交EB的延长线于点G,

-BC=CDfCE平仿乙BCD,

・・・CE垂直平分BD,

・•・BE=DE,Z-EFB=90°,

由①知，∆ADB=45°,

・・・乙EBD=乙EDB=45°,

・•・∆FEB=45°,

•・・BD//CG,

・・・Z-ECG=乙EFB=90°,乙G=乙EBD=45°,

・•・EC=CG9EG=yΓ2EC,

V∆ACE=90o-zFCβ,乙BCG=9。。一乙ECB,

・•.∆ACE=∆BCG1

-AC=BC9

即在△4CE和aBCG中，