2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第三讲　二项式定理 学案

第三讲二项式定理

知识梳理

知识点一二项式定理

nkk,,,

(«+b)=C%"+C∖a"~'b-∖-----FCka"^b-∖------FCAb(n∈Nl.).

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(α+8)"的二项展开式，其中

n

的系数Gi(Z=0,l,2,…，〃)叫做二项式系数.，式中的0Ia一纷叫做二项展

t

开式的_通项一，用Tk+ι表示，即通项为展开式的第〉+1项:T⅛+l=⅛~⅛.

知识点二二项展开式形式上的特点

⑴项数为〃+1.

(2)各项的次数和都等于二项式的幕指数〃，即。与A的指数的和为〃.

⑶字母”按降嘉.排列,从第一项开始，次数由〃逐项减小1直到零；字

母匕按一升基一排列,从第一项起，次数由零逐项增加1直到〃.

知识点三二项式系数的性质

与首末等距的两个二项式系数相等

时.二项式系数是递增的

增减

性与

最大值当”为偶数时,中间一项的二项式

系数最大

当"为奇数忖，中间两项的：项式

系数相等H最大

二项

式系

数的和

归纳拓展

1.二项式定理中，通项公式Tki是展开式的第女+1项，不是第

攵项.

2.二项式系数与项的系数的区别

二项式系数是指C9,CJ“…，α,它只与各项的项数有关，而与。、。的值

无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关,

而且也与。、匕的值有关.

双基自测

题组一走出误区

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)C%r%*是二项展开式的第&项.(X)

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(X)

(3)5+。)"的展开式中某一项的二项式系数与4,人无关.(J)

(4)(α—与”的展开式第Z+1项的系数为C44"iTA(×)

(5)(χ-l)"的展开式二项式系数和为一2".(×)

(6)在(1一处9的展开式中系数最大的项是第5项和第6项.(X)

题组二走进教材

2.(选择性必修3P38T5(2)"L4;卜的展开式的常数项为18564.

［解析］BX—京∣∣8的展开式的通项为Tr+］=Cf8(9x)∣8>{)=(-1)呼6

^3r‰18-y.

由题意得18—y=0,r=12,

二常数项为Ti3=Cls=Cf8=18564.

54

3.(选择性必修3P38T5(1))(1-2X)(1+3X)的展开式中按X的升基排列的第

3项为一26f.

r

［解析］(If)5、(l+3x)4的展开式的通项分别为Tr+ι=Cξ(-2x),Tk+1=

Cli(3x)k,

又(1—2Λ)5(1+3X)4的展开式中按X升得排列的第3项即展开式中/项，

C§(一2X)0∙C4(3Λ)2+Ci(-2x)∙CL(3x)+Cs(-2x)2∙C2(3x)0=-26√.

题组三走向高考

4.(2021.天津高考)在(2x3+06的展开式中，一的系数是"O.

［解析］(2_?+：)6的展开式的通项为

36rl84

Tr+1=C8(2x)6r.g}=2^α∙X^ς

令18—4「=6,解得r=3,

所以3的系数是23CA=I60.

5.(2022∙新高考I卷)［l-Jα+y)8的展开式中Xy的系数为_^(用数字

作答).

［解析］因为(尤+y)8=(x+y)8-*χ+y)8,所以(l-j(x+y)8的展开式

中含X1y6的项为Ctx2/--28χ2y6,故(1-0(尤+y)8的展开式中χ2y6的系

数为-28.

•互动探究

考点一二项展开式的通项公式的应用——多维探究

角度1求二项展开式中的特定项或特定项的系数

例1(l)(2020∙新课标)9+：)6的展开式中常数项是240(用数字作

答).

(2)(2023.浙江杭州期中)在(2/一右｝的展开式中只有第四项的二项式系数

最大，则大的系数为一192.

［解析］(1)展开式的通项为。+I=C8(Λ2)6F停｝=2-C82-3r,令i2-3r=0,

解得r=4,故常数项为2化4=240.

6

(2)由题意知〃=6,二二项展开式的通项为Tr+.(-x-∣)=α2

^r(-ιy√-r,

令3—r=2,即r=1,

故展开式中f的系数为C⅛25(-l)l=-192.

角度2二项展开式中的含参问题

例2(1)(2022.上海黄浦区模拟)若，2+划5的展开式中的常数项为一

5

-

2则实数α的值为二L.

(2)(2023•福建三明质检)若(3/-4)("-:)的展开式中ɪɜ的系数为-80,则

a=-4

⑶(2022∙河北衡水中学模拟)已知二项式(2x一左)的展开式中第2项与第3

项的二项式系数之比是25,则的的系数为240.

［解析］(15的展开式中的通项公式为:

a5rxlO-ɪ,

令10—y=0,得r=4,

51

-⅛?得

所以常数项为a--2-

2,

(2)(2x—；下的展开式的通项为Tr+l=CS(2x)5r∙(-；)=(-iy∙25FC"5-2r,则

3×23×C5+α×24×C⅛=-80,解得a=-4.

⑶由题意得：Cj&=25,解得〃=6.所以Tr+I=a(2©『｛一七｝=CS26

R(-1)ΓΛ-6-∣∕;令6—∣r=3,解得：r=2.所以％3的系数为Ca26-2(-1)2=240.

角度3二项展开式中系数最大项问题

2■例3已知。+宙"的展开式中前三项的系数成等差数列.

(1)求n的值；

(2)求展开式中系数最大的项.

［解析］(1)由题设，得c9+(xc2=2XTXCI,

即〃2—9〃+8=0,解得"=8,w=l(舍去).

(2)设第r+1项的系数最大，则

8-r-^2(r+1),

即11解得r=2或r=3.

2r^9-r,

7

所以系数最大的项为Γ3=7Λ5,八=7叼.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

1.求形如（α+∕5∈N*）的展开式中与特定项相关的量（常数项、参数值、特

定项等）的步骤：

lrr

第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式Tr+∖=CW^b,常把

字母和系数分离开来（注意符号不要出错）；

第二步：根据题目中的相关条件（如常数项要求指数为零，有理项要求指数

为整数）先列出相应方程（组）或不等式（组），解出r;

第三步：把r代入通项公式中，即可求出/用，有时还需要先求“，再求r,

才能求出77+1或者其他量.

2.求展开式中系数最大的项

如求（α+⅛x）"（α,b∈R）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设

Ak^Ak-I>

展开式各项系数分别为4,A2,…，A"+1,且第女项系数最大，应用1

Ak^Ak+↑

从而解出左来，即得.

〔变式训练1〕

（1）（角度1）二项式（/—的展开式的常数项是

⑵（角度2）（2022.福州模拟）设〃为正整数，/一5）的展开式中仅有第5项的

二项式系数最大，则展开式中的常数项为（B）

A.-112B.112

C.-60D.60

（3）（角度3）（2x2+j6的展开式中，常数项为60;系数最大的项是2403.

［解析］（I）Tr+I=Cg（/-）8—『•（一=）=（-l）r∕cJy生，由8—4r=0得r=2,

故常数项为73=（-l）2×^2C8=7.

（2）依题意得，〃=8,所以展开式的通项77+I=C既8。（一∣）=Cδχ8-4r（-2）r,

令8-4r=0,解得r=2,所以展开式中的常数项为乃=4(-2>=112.

(3)(2%2+3)的展开式的通项为

α∙(2Λ2)6θ=α∙26

令12—3人=0,得2=4,所以，展开式中的常数项为CW∙22=60;

令以=C6∙26Y(Z∈N,⅛≤6),

[a),^a-ι,fα∙26^n≥CΓl∙27^,j,

今《n即V

6n15

'[al,^an+ι'(cg∙2^›Cg'∙2^∖

47

解得∙.∙"∈N,.∙."=2,因此，展开式中系数最大的项为C^∙24√

=240Λ6.

考点二二项式系数的性质与各项系数的和——师生共研

►►■■例4(l)(2023∙江苏南通海安质检)在(1一君6的二项展开式中，奇数项

的系数之和为(D)

A.-365B.-364

C.364D.365

(2)(2022.河北邯郸模拟)在Q+D的展开式中，各项系数和与二项式系数和

之比为64,则Λ3的系数为(C)

A.15B.45

C.135D.405

(3)(2022・河南许昌阶段性测试)设(3-2x)5=αo+αι(x+l)+α2(x+l)2+α3(x+

l)3+α4(x+l)4+α5(x+l)5,则。5=一32一.

[解析]⑴]1一君6的展开式通项为7λ+∣=c{—君A=C2)*∙L专，因此,

展开式中所有奇数项的系数和为Cg+CW∙(—2)2+CR-2)4+Cg∙(—2)6=365.故选

D.

brr

(2)由题意*=64,«=6,Tr+1=C^x"'^^=3CU6—y,令6—y=3,r=

2,32Cg=135,选C.

z

(3)令x+∖=y,贝!]x=y~l9由题意知(5—2y)5=αo+αιy+α2y2+α3y3+Q∣y4

十公炉，又(5-2y)5展开式的通项Tr+∣=C555F(-2y)r,令r=5得益=(-2)5d∙5°

=-32.

［引申］在本例⑶中

(1)。1+〃3+。5=「8282；

(2)∣βo∣+∣6Zi∣+1(72∣+∣Q3∣+∣Q4∣+∖a5∖=16807；

(3)(αo+02+a4)2—(0+B+α5>=21，；

(4)。1+2s+3。3+4。4+5。5=-810；

(5)y-∣f+∣τ-∣Z÷∣i=-10901.

［解析］令γ=0得ao=55=3125.记/(y)=(5-2y)5.

则f,(ʃ)=-10(5—2y)、αo+αι+。2+。3+。4+。5=,/(1)=35=243,

ao-a↑+④一“3+3-。5=|-1)=75=16807,

.ɪ,Λ1)-Λ-1)-

..a∖十。3十々5=ʒ=-8282；

|闻+∣αι∣+∣α2∣+∣Q3∣+∣O4∣+∖a5∖

=m~a∖+。2一圆+的一。5=16807；

(。()+。2+。4)2-(ɑɪ+〃3+。5)2=215；

a∖+Iai+3^3+4^4+5a5—∕,(I)=-810；

y-fl+f∣-fz+fl=一(—0—αo=-10901.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

赋值法的应用

(1)形如(Or+。尸、(ax1+bx+cyn(a.b、CeR)的式子求其展开式的各项系数

之和，常用赋值法，只需令x=l即可.

(2)对形如(以+勿)〃(0,力∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令元=y

=1即可.

t1

(3)若"r)=αo+αιx+α2χ2H-----∖-aftχ,则.危:)展开式中各项系数之和为/U),

奇数项系数之和为ao+a2+a4-∖—=")+?~”,

偶数项系数之和为01+43+05+…―()

2fi1

*又，(x)=a∖+24ιr+3∙3XH-----\~nanχ,

所以αι+2故+3。3+…+〃斯=/'(1).

〔变式训练2〕

(1)(2023•安徽AlO联盟开学摸底)已知GTU+1)"5∈N*,m∈R)的展开式只有

第5项的二项式系数最大，设OnX+l)"=αo+αιx+α2Λ2TFα,M若αι=8,则

42+α3+…+t⅛=(C)

A.63B.64

C.247D.255

(2)(2022.湖南娄底期末)已知心+1”的展开式中各项的二项式系数之和为

32,且各项系数和为243,则展开式中/的系数为(C)

A.20B.30

C.40D.50

［解析］(1)由题意得，/1=8,αι=Cgm=8,.∙."z=l,.∙.(x+l)8=αo+αιχ+

42f+…+as/,令％=］,得4o+αι+α2+43+…+48=28=256,令X=0,得αo

=1,,42+413+…+d"=247.故选C.

(2)因为卜+目”的展开式中各项的二项式系数之和为32,则2〃=32,解得〃

=5,所以二项式为卜十和因为卜十分展开式各项系数和为243,令尤=1,代

入可得(l+α)5=243=35,解得α=2,所以二项式展开式的通项为「+1=©(/)5一

O2，©严一，所以当展开式为/时，即/F=/,解得通，则展开式的

系数为22∙C⅞=4×10=40.故选C.

考点三二项式定理的应用——多维探究

角度1整除问题

»・例5(l)(2022∙陕西西安中学模拟)设α∈Z,且0Wα<13,若5120I2+Ω

能被13整除，则α=(D)

A.OB.1

C.11D.12

(2)(2022∙安徽省安庆一中模拟)9ClO+92品+…+9∣°C∣8除以11所得的余数

为(A)

A.OB.1

C.2D.-1

2OI22OI22OII

［解析］⑴由于51=52-1,(52-1)=C‰∣252-C1O∣252H-------

C28li52l+1,

又由于13整除52,所以只需13整除l+α,0Wα<13,α∈Z,所以a=12,

故选D.

(2)9℃?o+9Clo+92C?oHF9l0C18-1=(1+9)l0-1=IO10-1=(11-1)10-

1=11l(,—Clo∙H9+C⅛∙lI8--------C?o-11+1—1=11l0-C∣o∙l19+Cτo∙lI8---------

Cbll,显然所得余数为0,故选A.

［引申］若将本例(2)中“11”改为“8”，则余数为7.

［解析］由题意原式=IOK)—1=(8+2)∣°—I=8i°+C∣o89∙2+…+C%80+

2IO-1=(8IO+C1O89∙2+-+C!O8∙29+8∙27-8)+7,余数为7.

角度2近似计算

2■例61.028的近似值是1.172.(精确到小数点后三位)

［解析］1.028=(1+0.02)8QCG+C⅛∙0.O2+CG∙O.O22+C3∙O.O23Q1.172.

角度3证明不等式

►►■例7求证：∕ι∈N且〃23时，

［证明］“23时，2,,=(l+l)tt=l+∕ι+C^+∙∙∙+n+1^2+2»,

2"一∣2"+1.

名帅A拨MINGSHIDIANBO

1.整除问题的解题思路

利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除问题

和余数问题的基本思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判

断.解题时要注意二项展开式的逆用.

2.求近似值的基本方法

利用二项式定理进行近似计算：当〃不很大，R比较小时，(l+x)^l+∕7x.

3.由于(α+b)”的展开式共有〃+1项，故可以通过对某些项的取舍来放缩，

从而达到证明不等式的目的.

〔变式训练3〕

(1)(角度1)(2023•江西联考)1-90Clo+902c%-9()3CTOH----F9O∣°d8除以88

的余数是(C)

A.-1B.-87

C.1D.87

⑵(角度2)0.9986的近似值为0.988.(精确到0.001)

［解析］(1)1—90ClO+9θ2c+o-9()3CioHF9OIOC18=(1-9O)lo=89lo=(88

IOIO9

+1)=C⅞O88+C1O88+-+C?O88+C18=88⅛+l(k为正整数),所以可知余数

为1.

(2)0.9986=(1-0.002)6=1—CAO.002+Cδ0.0022—C^0.0023+C⅛0.0024—Cl

0.0025+Cto.0026≈1-C⅛0.002+Cg0.0022=0.98806≈0.988.

多项式展开式中特定项、系数问题

一、几个多项式积的展开式中特定项(系数)、参数问题

►►・例8(1)(2023•江苏扬州期中)(x-2).卜「一划6的展开式中光的系数为

(A)

A.-280B.-40

C.40D.280

(2)(2023.广东六校联考)若口+力侬一》的展开式中各项系数的和为2,则

该展开式的常数项为40.

［解析］(1)［「一君6展开式第r+l项r+［=Cg(S)6-{-D=C就3一a一

2)%-：=(28(—2)中1,

r=3,x∙C^(-2)3=-160x;

r=2,-2C*(—2)2X=-120x,

.∙.χ的系数为一280,选A.

(2)由，+目①》一：下的展开式中的各项系数的和为2,

令X=1,得(α+l)05=2,得α=l.

∙∙∙C34=J,

(2无一§5的通项7；+I=CS(2x)51一:}=(—l)r∙25FCSf,r=0,l,2,3,4,5.

，Q+j(2x—：下的展开式中的通项有(一1)r∙25FC5f6-2r和(一1V0).©ν-

令4-2r=0,得r=2,则展开式中的常数项为(一l)2∙23∙Cg=8O;

令6-2r=0,得r=3,则展开式中的常数项为(一1)30.(^=-40,

所以该展开式的常数项为80-40=40.

名帅A披MINGSHIDIANBO

对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规

律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.

二'几个多项式和的展开式中特定项(系数)、参数问题

A例9(1)(2022•河南南阳期末)已知(l+x)+2(l+x)2+3(l+x)3+…+

Io(I+x)∣°=αo+Qix+α2Λ2+…+αιαxj°,则。7=(C)

A.9CtB.yC?i

C.yC^∣D.10G∣

(2)(2023•北京四中开学考)设多项式(X+l)5÷(χ-l)l0=ai()LXl0+a9Λ9÷∙∙∙÷aι%

+ao,则a<)~-10>ao+z+at+as+ax+aio=528.

［解析］(1)解法一：依题意a7=7Xa+8XC<+9XC3+lOXClo

=7×C9+8×C⅛+9×CH10×C⅛

,,9X810X9X8

=7+8×8+9×-^∙卜IOX

3X2X1

=7+64+324+1200=1595=9C%.故选C.

解法二:记5n=(l+x)+2(l+x)2+-∙∙+10(l+x)l0,

(l+x)[l-(l+x)叫

则S,-(1+X)5M=10(l+x)n,

J1-(1+x)

(l+x)-(l+x)“：10(l+x)”

∙δπ~√十一%一'

/.a7=-C?i+IOCh=-∣C5ι+IOCh=yC?i.故选C.

(2)因为(X+l)5+(χ-I)∣°=α∣αr∣°+α9χ9+…+”ιχ+αo,所以“9是展开式中%9

K)

的系数，设(x—1)的展开式的通项为77+I=Cfa?°丁(一1)。

所以当r=l时，tZ9=C∣o(-1)1=—10.

令X=I得αo+αι+α2+α3+…+αιo=25,

令X=-I得优一----Fa∣o=2l°.

2I0+25

0o+α2+α4+…+α∣o=2=29+24=528.

名帅A披MINGSHIDIANBO

对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)参数问题，只需依据二项展开

式的通项，从每一项中分别得到特定的项再求和.或将和式化简后转化为二项展

开式问题处理.

三'三项展开式中特定项(系数)问题

»・例10(2022.安徽合肥质检)在，-4+，5的展开式中，f的系数为:

960.

［解析］解法一：(化为二项展开式问题)

(L4+》=(3科，

77+1=CfO(5严-｛一君r=(—2)©0?一,，

令5—r=2,r=3,所求系数为(-2>CA=-960.

解法二：Q—4+》=(X十号-45展开式的通项为77+1=(-4)<«+£卜；

5

而d，•展开式的通项为rs+i=4&Gfx-L2S.

7;+ι=(—4)"CSe/χ5-L2s,

由s=0,r=3或s=r=l可求得X2的系数为(一4>∙4°Cgd+(-4>4<%ɑ=

-960.

解法三：(利用多项式乘法对括号中选取情况讨论)

①5个括号中的2个选x,3个选(一4),这样得到的『的系数为C^∙d(-4)3

=-640；

②5个括号中3个选国1个选点1个选一4,这样