高中数学必修3北师大版课时作业1-8最小二乘估计

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到线性回归方程y＝bx＋a，那么下面说法不正确的是()A．直线y＝bx＋a必经过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))B．直线y＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点C．直线y＝bx＋a的斜率为eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)D．直线y＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的接近程度eq\i\su(i＝1,n,[)yi－(bxi＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线解析：直线y＝bx＋a一定过点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，但不一定要过样本点．答案：B2．设一个线性回归方程为y＝2＋1.2x，则变量x增加1个单位时()A．y平均增加1.2个单位 B．y平均减少1.2个单位C．y平均增加2个单位 D．y平均减少2个单位解析：根据系数b的意义可得b＝1.2＞0，因此变量x增加1个单位时，y平均增加1.2个单位．答案：A3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(元)与居民人均消费水平y(元)统计调查，y与x具有相关关系，线性回归方程为y＝0.66x＋1562，若某城市居民人均消费水平为7675元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为()A．83% B．72%C．67% D．66%解析：将y＝7675代入回归方程，可计算得x≈9262，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7675÷9262≈0.83，即约为83%.答案：A4．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y＝bx＋a.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A．b＞b′，a＞a′ B．b＞b′，a＜a′C．b＜b′，a＞a′ D．b＜b′，a＜a′解析：法一：由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y＝2x－2，故b′＝2，a′＝－2.而利用线性回归方程回归系数b，a的计算公式与已知表格中的数据，可求得b＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\x\to(x)2)＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq\f(5,7)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，所以b＜b′，a＞a′.法二：根据所给数据画出散点图(如图所示)直接判断，斜率b′＞b，截距a＞a′.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)5．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：由线性回归方程中b的意义可知年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2546．某地区近10年居民的年收入x与支出y之间的关系大致符合y＝0.8x＋0.1(单位：亿元)，预计今年该地区居民收入为15亿元，则年支出估计是________亿元．解析：由题意知，y＝0.8×15＋0.1＝12.1(亿元)，即年支出估计是12.1亿元．答案：12.17．已知x，y之间的一组数据如下表：x23456y34689对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝eq\f(8,5)x－eq\f(2,5)；④y＝eq\f(3,2)x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是________(填序号)．解析：由题意知eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝6，∴b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(8,5)，∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝－eq\f(2,5)，∴y＝eq\f(8,5)x－eq\f(2,5)，故填③.答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)8．随着网络的普及，网上购物的方式已经受到越来越多年轻人的青睐，某家网络店铺商品的成交量x(件)与店铺的浏览量y(次)之间的对应数据如下表所示：x/件24568y/次3040506070(1)画出表中数据的散点图；(2)根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程；(3)要使这种商品的成交量突破100件(含100件)，则这家店铺的浏览量至少为多少？解析：(1)散点图如图所示．(2)根据散点图，变量x与y之间具有线性相关关系．数据列成下表：ixiyixeq\o\al(2,i)xiyi1230460244016160355025250466036360587064560合计252501451390由上表计算出eq\x\to(x)＝eq\f(25,5)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(250,5)＝50，代入公式得b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1390－5×5×50,145－5×52)＝7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝50－7×5＝15，故所求的线性回归方程是y＝15＋7x.(3)根据上面求出的线性回归方程，当成交量突破100件(含100件)，即x＝eq\f(y－15,7)≥100时，y≥715，所以店铺的浏览量至少为715次．9．(2018·上海徐汇区一模)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(b,\s\up6(∧))x＋eq\o(a,\s\up6(∧))，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少时．附：eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))eq\x\to(x)解析：(1)散点图如图．(2)由表中数据得eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)