预习篇第11讲两个基本计数原理2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

第11讲两个基本计数原理本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！1分类加法计数原理做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有2分步乘法计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有3分类计数原理、分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．【题型1】分类加法计数原理【知识点解读】做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Eg1贵哥手上有3份高考真题试卷，5份高考模拟试卷，若给学生发一份试卷作为作业，有多少种可能？答案3+5=8.Eg2贵哥的书柜上有很多书，第一层是数学教材，有10本；第二层是奥数练习册，有7本；第三层是数学趣味读物，有6本；不上课有空抽一本书看看，有多少种可能？答案10+7+6=23.【典题1】设a，b，c∈{1，2，3，4}，若以a，b，c为三条边的长构成一个等腰三角形，则这样的三角形有个．解析根据题意，设等腰三角形的两腰为a、b，底边为c，分4种情况讨论：若a＝b＝1，则c只能为1，有1种情况，若a＝b＝2，c的值可以为1、2、3，有3种情况，若a＝b＝3，c的值可以为1，2，3，4，有4种情况，若a＝b＝4，c的值可以为1，2，3，4，有4种情况，共有1+3+4+4＝12种情况，即有12个符合题意的三角形，故答案为：12．【巩固练习】1.(★)从甲地到乙地，一天中有5次火车，12次客车，3次飞机航班，还有6次轮船，某人某天要从甲地到乙地，共有不同走法的种数是()A．18 B．26 C．60 D．1080答案B解析由分类加法计数原理知有5+12+3+6＝26(种)不同走法．故选：B．2.(★)已知某校高二(1)班有42人，高二(2)班有45人，高二(3)班有38人，现从这三个班中任选1人去参加活动，则不同的选法共有()A．125种 B．135种 C．155种 D．375种答案A解析一共42+45+38＝125人，从中选一人去参加活动，共有125选法．故选：A．3.(★)小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有()A．4种 B．5种 C．6种 D．9种答案B解析记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选：B．4.(★)某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：(1)每位学生每天最多选择1项；(2)每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有()A．6种 B．7种 C．12种 D．14种答案D解析由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，故可分4类：当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法，当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法，当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法，当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法，再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有3+4+4+3＝14种．故选：D．5.(★★)如图所示，电路中有4个电阻和一个电流表A，若没有电流流过电流表A，其原因仅为电阻断路的可能情况共有()A．9种 B．10种 C．11种 D．12种答案C解析一个电阻坏，使得没有电流流过电流表A的情况有1种，2个电阻坏的情况有5种，3个电阻坏的情况有4种，4个电阻全坏的情况有1种，根据分类加法计数原理知，共11种可能情况．故选：C．6.(★★)如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有()种．A．9 B．11 C．13 D．15答案C解析按照可能脱落的个数分类讨论，若脱落一个，则有(1)(4)两种情况，若脱落2个，则有(1，2)(1，3)(1，4)(2，3)(2，4)(3，4)共6种情况，若脱落3个，则有(1，2，3)(1，2，4)(2，3，4)(1，3，4)共4种情况，若脱落4个，则有(1，2，3，4)共1种情况，综上共有2+6+4+1＝13种情况．故选：C．7.(★★)三边均为整数且最大边长为11的三角形有________个．答案36解析两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11.要构成三角形，需x+y≥12.当y=11时，x【题型2】分步乘法计数原理【知识点解读】1分步乘法计数原理做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Eg贵哥要从湛江去北京出差，途中要经过广州作个演讲“如何学好数学”，从湛江去广州有4种交通方式，从广州到北京有8种交通方式，那去北京共有多少种交通方式?解析4×8=32.为什么是相乘呢？我们可以借助树状图进行分析！2分类计数原理、分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事.分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．Eg小芳要去party，衣柜里有3件连衣裙、4件上衣和5件裙子，那她有多少种搭配的方式去party呢？显然是3+4×5=23种方式.【典题1】某市人民医院急诊科有3名男医生，3名女医生，内科有5名男医生，4名女医生，现从该医院急诊科和内科各选派1名男医生和1名女医生组成4人组，参加省人民医院组织的交流会，则所有不同的选派方案有()A．180种 B．56种 C．29种 D．15种解析从急诊科选派1名男医生和1名女医生有3×3＝9种方案，从内科选派1名男医生和1名女医生有5×4＝20种方案，根据分步乘法计数原理，该医院总共有9×20＝180种不同的选派方案．故选：A．【巩固练习】1.(★)李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式()A．24 B．14 C．10 D．9答案B解析由题意可得：李芳不同的选择方式有4×3+2＝14．故选：B．2.(★)若x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，则x•y的不同值个数是()A．2 B．6 C．9 D．8答案C解析从x∈{1，2，3}选一个有3种方法，再从y∈{5，7，9}选一个共有3种选法，故则xy的不同值有3×3＝9种，故选：C．3.(★)定义集合A与B的运算A*B如下：A*B=x,A．34 B．43C．12 D．24答案C解析显然(a,a)、(a,c)等均为A*B中的元素，确定A*4.(★★)已知集合A＝{﹣3，﹣1，0}，B＝{﹣7，﹣4，5，6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则表示不在第一、二象限内的点的个数为()A．12 B．14 C．18 D．20答案D解析第一类是坐标轴上的点：A中元素0作为横坐标，B中元素作为纵坐标得4个；A中元素0作为纵坐标，B中元素作为横坐标得4个．第二类是第三、第四象限的点，此时纵坐标为负数：当A中元素为横坐标有2个，B中元素作为纵坐标有2个，乘法原理2×2＝4个；当A中元素为纵坐标有2个，B中元素作为横坐标有4个，乘法原理2×4＝8个．从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则表示不在第一、二象限内的点的个数为4+4+4+8＝20．故选：D．5.(★★)a1(b1+b2)(c1+c2+c3)(d1+d2+d3+d4)展开后的项数为()A．10 B．18 C．24 D．36答案C解析第二个括号(b1+b2)内含有两种字母，第三个括号(c1+c2+c3)含有3个的字母，第四个括号(d1+d2+d3+d4)含有4个字母，则展开式后共有1×2×3×4＝24项，故选：C．6.(★★)立德幼儿园王老师和李老师给小朋友发水果．王老师的果篮有草莓，苹果，芒果3种水果．李老师的果篮里有苹果，樱桃，香蕉，猕猴桃4种水果．小华可以在两个老师的果篮里分别选一个水果．小华拿到两种不同的水果的情况有()．A．6种 B．7种 C．11种 D．12种答案C解析分两种情况：①小华拿到的水果里没有苹果，则在王老师的果篮里有2种选法，在李老师的果篮里有3种选法，共有2×3＝6种选法；②小华拿到的水果里有苹果，再分苹果来自王老师还是李老师的果篮，共有1×3+2×1＝5种选法，由分类加法计数原理知，共有6+5＝11种选法．故选：C．7.(★★)4张卡片的正、反面分别写有0与1，2与3，答案168解析要组成三位数，根据首位、十位、个位应分三步：第一步：首位可放8-1=7(个)数；第二步：十位可放6个数；第三步：个位可放4个数．故由分步计数原理，得共可组成7×6×4=168(个)不同的三位数．8.(★★★)某校高一年级有6个班，高二年级有7个班，高三年级有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动，有多少种不同的选法？(2)选2个班的学生参加社会实践活动，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？答案(1)21；(2)146.解析(1)根据题意，分三类情况讨论：①从高一年级选1个班，有6种不同方法；②从高二年级选一个班，有7种不同的方法；③从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6+7+8＝21种不同的选法；(2)分3种情况讨论，①从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；②从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；③从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8＝146种不同选法．【题型3】可重复的排列求幂法【典题1】(1)8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？(2)将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？(3)3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种住宿方法？解析(1)“8本不同的书，任选3本分给3个同学”的意思等价于“三位同学在8本不同的书上选3本书”，第一位同学从8本书中任选一本有8种选法，第二位同学从余下的7本书中任选一本有7种选法，第三位同学还剩下6本书供选择有6种选法.由分步计数原理知：共有8×7×6=336种选法.(2)完成这件事分四步进行，每一步投一封信，每一封信都有3种选择，即每一封信都有3种投法.由分步计数原理知：共有3×3×3×3=34(3)完成这件事分三步进行，每一步安排一名旅客，每一位旅客都有4种不同的住宿方法.由分步计数原理知：共有4×4×4=43【巩固练习】1.(★★)5名同学去听同时进行的3个名师讲座，每个同学可自由选择，且必须选择一个讲座，则不同的选择种数是()A．53 B．35 C．5×4×3 D答案B解析根据题意，每名同学可自由选择其中的一个讲座，即每位同学均有3种讲座可选择，则5位同学共有3×3×3×3×3=3故选：B．2.(★★)某校教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，一学生由一层到五层的走法有()A．10种 B．25种 C．52种 D．24种答案D解析共分4步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共24＝16种．故选：D．3.(★★)集合A={a,b,c}，A．24 B．81C．6 D．64答案D解析由分步乘法计数原理得43=64，4.(★★)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C．5×6×5×4×3×22答案A解析要完成选择听讲座这件事，需要分六步完成，即6名同学逐个选择要听的讲座，因为每名同学均有5种讲座可选择，由分步乘法计数原理，6位同学共有5×5×5×5×5×5=5【题型4】涂色问题【典题1】将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是()A．420 B．180 C．64 D．25解析方法一：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法A,D不同色，DA,D同色，D有4种涂法，C∴共有180种不同的涂色方案．方法二：分步，比如先排BCD，两两不同色，有5×4×3=60种，再排A，只要与BC不同，有3种，故共故选：B．【巩固练习】1.(★★)某地为以下社会主义核心价值观宣传标语进行涂色装饰，要求相邻的标语之间不能用同一颜色，现在有四种颜色可供选择，有()种不同的涂色方案．自由平等公正法制A．24 B．256 C．108 D．72答案C解析首先涂“自由”有4种涂法，再涂“平等”有3种涂法，以此类推涂“公正”有3种涂法，涂“法制”有3种涂法，按照分步乘法计数原理计算可得有4×3×3×3＝108种涂法．故选：C．2.(★★)如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为()A．180 B．240C．360 D．420答案D解析本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻)，故应先种区域1，有5种栽种方案，再种区域2，有4种栽种方案，接着种区域3，有3种栽种方案，种区域4时应注意：区域2与4种同色花时，区域4有1种栽种方案，此时区域5有3.(★★★)如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A．30种 B．27种 C．24种 D．21种答案A解析由题意知本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；这时最后两个边有3种情况．∴方法共有3(2×2+2×3)＝30种．故选：A．4.(★)建造一个花坛，花坛分为4个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有____________种(以数字作答)．答案108解析先载第一块地，有4中情况，然后载第二块地，有3种情况，载第三块地的时候考虑1和3相同，以及1和5.(★★★)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有种(用数字作答)．答案420解析根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，分2步进行分析：对于区域①②③，三个区域两两相邻，有A5对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有2×2=4种，则区域④⑤有3+4=7种情况，则一共有60×7=420种涂色方案；故答案为：420．6.(★★★)如图，一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？答案96解析先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，综上所述，共有96种种植方法；1.(★)解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有()A．10种 B．21种 C．24种 D．36种答案A解析根据分类加法计数原理得：不同的选法共有3+4+3＝10(种)．故选：A．2.(★)如图，连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形的个数为()A．40 B．30 C．20 D．10答案A解析与正八边形有2条公共边的三角形共有8个；与正八边形有1条公共边的三角形共有8×4＝32个；由分类加法计数原理知，共有32+8＝40(个)．故选：A．3.(★)2022年北京冬奥会的顺利召开，引起了大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有()A．12种 B．16种 C．64种 D．81种答案C解析由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有4×4×4＝64种，故选：C．4.(★★)有六种不同颜色，给如图的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，不同的涂色方法共有()A．4320 B．2880 C．1440 D．720答案A解析从左向右涂色，有6×5×4×3×4×3=4320．故选：A．5.(★)若a，b∈N*答案10解析按a分类，当a取1,2,3,4时，b的值分别有4个、3个、2个、1个，由分类计数原理，得复数a+bi6.(★★)已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，则|a|＜|b|的情况有种．答案18解析当a＝﹣3，0种，当a＝﹣2，2种，当a＝﹣1，4种；当a＝0，6种，当a＝1，4种；当a＝2，2种，当a＝3，0种，故共有：2+4+6+4+2＝18．故答案为：18．7.(★★)乘积(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有项．答案60解析根据多项式的乘法法则，(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)的结果中每一项都必须是在(a1+a2+a3)、(b1+b2+b3+b4)、(c1+c2+c3+c4+c5)三个式子中任取一项后相乘，得到的式子，而在(a1+a2+a3)中有3种取法，在(b1+b2+b3+b4)中有4种取法，在(c1+c2+c3+c4+c5)中有5种取法，由乘法原理，可得共有3×4×5＝60种情况，则(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)的展开式中有60项；故答案为60．8.(★★)如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法_____种答案84解析设四个直角三角形顺次为A、B、C、D．按A→B→C→D顺序着色，下面分两种情况：(1)A、C不同色(注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中颜色中任