高中数学北师大版练习第三章3第1课时指数函数的图象和性质

§3指数函数第1课时指数函数的图象和性质水平11.y＝2－x在R上是减函数．()2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)是增函数．()3．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)过定点(0，1).()4．y＝2x－1的定义域是[0，＋∞).()5．指数函数的图象都在x轴上方．()【解析】1.√.2．提示：×.指数函数的底数大于1是增函数；底数大于0且小于1是减函数．3．√.4．提示：×.y＝2x－1的定义域是R.5．√.·题组一指数函数的概念1．下列函数中是指数函数的是()A．y＝2·(eq\r(2))x B．y＝xxC．y＝3－eq\f(1,x) D．y＝(eq\r(3))x【解析】选D.由指数函数定义可知，函数y＝(eq\r(3))x是指数函数．2．函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝()A．8 B．eq\f(3,2) C．4 D．2【解析】选D.函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，所以2a－3＝1，解得a＝2.所以f(x)＝2x，所以f(1)＝2.3．若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有()A．a＝1或2B．a＝1C．a＝2D．a>0且a≠1【解析】选C.由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1,a>0,a≠1))，解得a＝2.·题组二指数函数的图象1．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(x)的图象可能是()【解析】选C.底数为eq\f(3,4)，函数单调递减，图象在x轴上方且过点(0，1).2．函数y＝5x与y＝5－x的图象关于______对称．()A．x轴 B．y轴C．原点 D．直线y＝x【解析】选B.底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．3．函数f(x)＝ax＋1－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过的点为()A．(－1，－1) B．(－1，0)C．(0，－1) D．(－1，－2)【解析】选A.令x＋1＝0.则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)的图象恒过的点为(－1，－1).·题组三指数函数的单调性1．若指数函数y＝(1－3a)x在R上为单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B．(1，＋∞)C．R D．(－∞，0)【解析】选D.因为指数函数y＝(1－3a)x在R上为单调递增函数，所以1－3a＞1，所以a＜0.2．若指数函数y＝(a－2)x在(－∞，＋∞)上是减函数，那么()A．2＜a＜3 B．－2＜a＜1C．a＞3 D．0＜a＜1【解析】选A.因为指数函数y＝(a－2)x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以0＜a－2＜1，解得2＜a＜3.3．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在区间[－2，2]上的最小值是()A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)C．－4 D．4【解析】选B.因为函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在定义域R上单调递减，所以f(x)在区间[－2，2]上的最小值为f(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4).·题组四比较指数幂的大小1．已知a＝20.3，b＝23，c＝2－1，那么a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a【解析】选B.因为函数y＝2x在R上单调递增，3＞0.3＞－1，a＝20.3，b＝23，c＝2－1，所以b＞a＞c.2．已知a＝0.30.3，b＝0.31.3，c＝1.30.3，则它们的大小关系是()A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．b＞c＞a D．a＞b＞c【解析】选A.a＝0.30.3，b＝0.31.3，c＝1.30.3，因为y＝0.3x为减函数，所以0.30.3＞0.31.3，因为y＝x0.3为增函数，所以0.30.3＜1.30.3，故c＞a＞b.3．下列各式比较大小正确的是()A．1.72.5＞1.73 B．0.6－1＞0.62C．0.8－0.1＞1.250.2 D．1.70.3＜0.93.1【解析】选B.对于指数函数y＝ax，当a＞1时，函数为增函数，故A错误，当0＜a＜1时，函数为减函数，故B正确，由于0.8－0.1＝1.250.1，对于指数函数y＝ax，当a＞1时，函数为增函数，故C错误，由于1.70.3＞1，0.93.1＜1，故D错误．·题组五简单的指数方程和不等式1．方程92x－1＝3eq\r(3)的解为()A．x＝eq\f(7,8)B．x＝1C．x＝eq\f(5,4)D．x＝2【解析】选A.由92x－1＝3eq\r(3)，即32(2x－1)＝3eq\s\up6(\f(3,2))，所以4x－2＝eq\f(3,2)，所以x＝eq\f(7,8).2．不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜2－2x的解集是________．【解析】因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜2－2x，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2x)，因为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，所以x2－3＞2x，解得：x＞3或x＜－1，所以不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x2)－3＜2－2x的解集是{x|x＞3或x＜－1}．答案：{x|x＞3或x＜－1}3．求满足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－3)＞16的x的取值集合是__________．【解析】因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－3)＞16，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x－3)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－2)，根据函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(x)的单调性可知，x－3＜－2，故x＜1.答案：(－∞，1)4．函数y＝eq\r(2x－8)的定义域为__________．【解析】依题意得，2x－8≥0，所以2x≥8＝23，又y＝2x为增函数，所以x≥3.所以函数y＝eq\r(2x－8)的定义域为{x|x≥3}．答案：[3，＋∞)易错点一混淆y＝ax与y＝a－x的底数函数y＝3－x的图象是()【解析】选B.y＝3－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，故选项B中的图象符合题意．【易错误区】y＝ax的底数是a，而y＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的底数是eq\f(1,a)，而y＝a3x＝(a3)x的底数是a3，先把函数化成指数函数的标准形式，再去找底数．易错点二比较指数幂大小时忽略底数已知am>an(a>0)，则m，n的大小关系为()A．m>nB．m<nC．m＝nD．a>1时，m>n；0<a<1时，m<n【解析】选D.由指数函数的单调性可知，a>1时，单调递增，所以m>n；0<a<1时，单调递减，所以m<n.【易错误区】比较同底数幂的大小时，先看底数是大于1还是大于0且小于1.底数大于1指数越大幂值越大，底数大于0且小于1指数越大幂值越小．不知道底数大小时要进行分类讨论．水平1、2限时30分钟分值60分战报得分______一、选择题(每小题5分，共30分)1．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则()A．a<0，b>0 B．0<a<1，0<b<1C．0<a<1，b>1 D．a>1，0<b<1【解析】选C.y＝ax是减函数，则0<a<1，y＝bx是增函数，则b>1.2．已知函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a－4)))eq\s\up12(x)的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是()A．1 B．2 C．4 D．8【解析】选C.因为函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2a－4)))eq\s\up12(x)的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，所以eq\f(1,2a－4)＝a－1＝eq\f(1,a)，所以a＝4.经检验，a＝4符合题意．3．(金榜原创题)函数y＝ax－2021＋2020(a＞0且a≠1)的图象必经过点()A．(2021，2021)B．(2020，2020)C．(2020，2021)D．(2021，2020)【解析】选A.对于函数y＝ax－2021＋2020(a＞0且a≠1)，令x－2021＝0，求得x＝2021，f(2021)＝2021，可得它的图象必经过点(2021，2021).【变式备选】1.函数f(x)=a2x+21恒过定点 ()A.(1,1) B.(1,1)C.(1,0) D.(1,1)【解析】选C.令2x+2=0,求得x=1,且f(1)=0,故函数f(x)=a2x+21恒过定点(1,0).2.已知幂函数f(x)=xa的图象经过函数g(x)=mx2QUOTE(m>0且m≠1)的图象所过的定点,则fQUOTE的值等于 ()A.1 B.3 C.6 D.9【解析】选B.函数g(x)=mx2QUOTE(m>0且m≠1),令x2=0,解得x=2;此时g(2)=QUOTE,所以g(x)的图象过定点QUOTE,所以2a=QUOTE,解得a=1;所以f(x)=x1,所以fQUOTE=3.4．函数y＝eq\r(2x－1)的定义域是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)【解析】选C.由2x－1≥0，得2x≥20，所以x≥0.5．已知集合A＝{x|1＜x＜2}，关于x的不等式2a＜2－a－x的解集为B，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．(－1，＋∞) D．[－1，＋∞)【解析】选A.由2a＜2－a－x，得a＜－a－x，则x＜－2a，所以集合B＝{x|x＜－2a}，因为集合A＝{x|1＜x＜2}，A∩B＝A，所以－2a≥2，解得a≤－1，则实数a的取值范围是(－∞，－1].6．(多选)对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝2－x时，下列结论中正确的是()A．f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)C．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)【解析】选ACD.f(x)＝2－xf(x1＋x2)＝2－(x1＋x2)，f(x1)f(x2)＝2－x1·2－x2＝2－(x1＋x2)，故A对；f(x1·x2)＝2－(x1·x2)≠2－x1＋2－x2＝f(x1)＋f(x2)，故B错；因为f(x)＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)为减函数，所以当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0，同理当x1<x2时，此式也成立，故C对，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＝eq\r(2－（x1＋x2）)，eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)＝eq\f(2－x1＋2－x2,2)，由基本不等式，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＜eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)，故D对．二、填空题(每小题5分，共20分)7．(2021·宝鸡高一检测)函数f(x)的值域为(0，＋∞)，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数f(x)可以为________．(写出符合条件的一个函数即可)【解析】因为函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的值域为(0，＋∞)，且在定义域R内单调递减，所以函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是符合要求的一个函数．答案：f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)(答案不唯一)8．已知a＝0.32，b＝0.30.2，c＝1，a，b，c的大小关系是________(用“＞”连接).【解析】因为函数y＝0.3x在R上是减函数，0.2<2，所以0.30.2>0.32，且b＝0.30.2＜0.30＝1，c＝1，所以a，b，c的大小关系是c＞b＞a.答案：c＞b＞a9．若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在R上是单调增函数，则a＝________．【解析】若函数g(x)＝(1－4m)x在R上是单调增函数，则1－4m＞0，则m＜eq\f(1,4).若a＞1，因为函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，所以a2＝4，m＝a－1＝eq\f(1,a).解得a＝2，m＝eq\f(1,2)，不满足m＜eq\f(1,4).若0＜a＜1，因为函数f(x)＝ax在区间[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，所以a－1＝eq\f(1,a)＝4，m＝a2，解得a＝eq\f(1,4)，m＝eq\f(1,16)，满足m＜eq\f(1,4).所以a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10．若函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，则y＝f(x)的图象恒过定点________，又f(x)在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．【解析】对于函数f(x)＝(2a－1)x－3－2，令x－3＝0，求得x＝3，f(x)＝－1，可得y＝f(x)的图象恒过定点(3，－1).再根据函数f(x)＝(2a－1)x－3－2在R上是减函数，故有0＜2a－1＜1，求得eq\f(1,2)＜a＜1.答案：(3，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【变式备选】若f(x)=(2a1)x是增函数,那么a的取值范围为 ()A.a<QUOTE B.QUOTE<a<1C.a>1 D.a≥1【解析】选C.因为f(x)=(2a1)x是增函数,所以2a1>1,解得a>1.三、解答题11．(10分)已知函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1).(1)若函数f(x)的图象过点(3，4)，求实数a的值；(2)求关于x的不等式f(x)＞a3的解集．【解析】(1)函数f(x)的图象过点(3，4)，则a2＝4，因为a＞0，且a≠1，则a＝2.(2)由f(x)＞a3可得ax－1＞a3，当0＜a＜1时，x－1＜3，解得x＜4，即不等式的解集为(－∞，4)；当a＞1时，x－1＞3，解得x＞4，即不等式