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[学业水平训练]eq\a\vs4\al(1.)已知空间两个角∠AOB和∠A′O′B′,且两角的两边分别对应平行,∠AOB=60°,则∠A′O′B′为()A.60° B.120°C.30° D.60°或120°解析:选D.利用等角定理可知两角相等或互补.eq\a\vs4\al(2.)分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行 B.一定相交C.一定异面 D.相交或异面解析:选D.分别和两条异面直线平行的两条直线相交或异面,如图(1)(2).eq\a\vs4\al(3.)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()A.45° B.60°C.90° D.120°解析:选B.连接A1B、C1B、A1C1,易证∠A1BC1为异面直线EF与GH所成的角,又因为△BC1A1为等边三角形,所以∠A1BC1=60°.eq\a\vs4\al(4.)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别为边B1C1,C1C,A1A,AD的中点,则EF与GH()A.平行 B.相交C.异面 D.不能确定解析:选A.连接A1D,B1C,由三角形的中位线性质可得GH∥A1D,EF∥B1C,又因为在正方体中A1D∥B1C,所以GH∥EF.eq\a\vs4\al(5.)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.不确定解析:选B.因为E、F、G分别是棱A1C1,B1C1,B1B的中点,由三角形中位线性质得EF∥A1B1,GF∥BC1,又在三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,所以EF∥AB.所以∠EFG和∠ABC1的角的两边分别平行,利用平移可知两边互补.eq\a\vs4\al(6.)设直线a,b分别是长方体相邻两个面的对角线所在直线,则a与b的位置关系是________.解析:如图,在平面ABB′A′和平面BB′C′C内,两条对角线有两种位置关系,可能相交,也可能是异面直线.答案:相交或异面eq\a\vs4\al(7.)空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若AC=BD,则四边形EFGH是________.解析:利用三角形的中位线可得,EF=GH=eq\f(1,2)AC,FG=EH=eq\f(1,2)BD.因为AC=BD,所以EF=FG=GH=EH.又利用平行公理,可知,EH∥FG,EF∥GH,所以四边形EFGH是菱形.答案:菱形eq\a\vs4\al(8.)下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的是________.解析:利用三角形中位线的性质和平行公理4可知,①、②、③中的四个点共面,而④中的四个点不共面.答案:④eq\a\vs4\al(9.)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,M,N分别为棱A1B1,AB的中点,求证:C1M∥CN.证明:连接MN,因为M,N为棱A1B1与AB的中点,所以MN綊A1A,由三棱柱性质知A1A綊C1C,所以MN綊C1C,所以四边形MNCC1为平行四边形,所以C1M∥CN.eq\a\vs4\al(10.)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ADEF是正方形,ED⊥CD,CD=1,AD=2eq\r(2),求异面直线CE与AF所成角的余弦值.解:因为四边形ADEF是正方形,所以FA∥ED.因为ED⊥CD,故∠CED为锐角,即为异面直线CE与AF所成的角.在Rt△CDE中,CD=1,ED=2eq\r(2),CE=eq\r(CD2+ED2)=3,故cos∠CED=eq\f(ED,CE)=eq\f(2\r(2),3),所以所求异面直线CE与AF所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),3).[高考水平训练]eq\a\vs4\al(1.)如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中,AB与CD的位置关系为()A.相交 B.平行C.异面而且垂直 D.异面但不垂直解析:选D.将展开图还原为正方体,如图所示.AB与CD所成的角为60°,故选D.eq\a\vs4\al(2.)在空间四边形ABCD中,已知E,F分别为边AB和CD的中点,且EF=5,AD=6,BC=8,则AD与BC所成的角的大小为________.解析:如图,连接BD,取BD的中点G,连接EG,GF,由三角形的中位线定理可知:EG綊eq\f(1,2)AD,GF綊eq\f(1,2)BC.∵AD=6,BC=8,∴EG=3,GF=4,又因为EF=5,所以EG2+GF2=EF2,所以∠EGF=90°,∠EGF就是AD与BC所成的角.答案:90°eq\a\vs4\al(3.)如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D、E分别是△PAB、△PBC的重心.求证:DE∥AC,DE=eq\f(1,3)AC.证明:连接PD并延长交AB于M,连接PE并延长交BC于N,则M为AB的中点,N为BC的中点,∴MN∥AC,又eq\f(PD,DM)=eq\f(PE,EN)=eq\f(2,1),∴DE∥MN,∴DE∥AC.又eq\f(DE,MN)=eq\f(PD,PM)=eq\f(2,3),∴DE=eq\f(2,3)MN,又因MN=eq\f(1,2)AC,∴DE=eq\f(1,3)AC.4.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊eq\f(1,2)AD,BE綊eq\f(1,2)FA,G,H分别为FA,FD的中点.(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?解:(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GH綊eq\f(1,2)AD.又BC綊eq\f(
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