预习05数量积的坐标表示（六大考点）

预习05数量积的坐标表示一、平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量,（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即（2）向量垂直:二、平面向量的模与夹角的坐标表示（1）向量的模:设,则（2）两点间的距离公式:若,则（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则考点01数量积的坐标运算【方法点拨】进行向量的数量积运算的两条途径:（1）先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;（2）先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.【例1】已知向量满足，则（

）A． B．0 C．5 D．7【答案】C【分析】先求出，进而利用向量数量积公式求出答案.【详解】因为，所以，故.故选：C【例2】在等腰直角中，，，是边上一点，且，则.【答案】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得.【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，由于，所以，由于，所以，，所以.故答案为：【变式11】若为坐标原点，过点的直线与函数的图象交于两点，则．【答案】4【分析】首先得出是函数图象的对称中心，所以，然后由数量积的坐标运算公式计算即可.【详解】因为，所以是函数图象的对称中心，则为线段的中点，可得，则．故答案为：4.【变式12】已知向量，，则使成立的一个充分不必要条件是．【答案】（答案不唯一）【分析】根据向量坐标运算公式将原问题转化为的一个充分不必要条件进而求解.【详解】因为，，所以，，所以，解得，所以使成立的一个充分不必要条件是.故答案为：（答案不唯一）【变式13】已知为内一点，若，则．【答案】【分析】建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积公式求出答案.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，则，设，则.故答案为：考点02向量模的坐标表示【方法点拨】若,则,于是有【例3】在平面向量，中，已知，，如果，那么；如果，那么.【答案】【分析】根据数量积的坐标运算及向量模的坐标运算即可求解.【详解】由，即，解得；，，由，得，解得：.故答案为：；.【例4】已知向量满足.(1)求；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再根据向量的夹角公式计算可得结果；（2）因为平行求出，再根据向量的数量积求出模长，最后应用二次函数的最值求出模长最值.【详解】（1）由，得，同相减得，，代入中，得.所以，所以.（2）因为，所以，所以当时，取最小值.【变式21】（多选）已知向量，若，则等于（

）A．0 B．－1 C．1 D．－2【答案】CD【分析】根据向量的坐标运算，求出，，由，求出的值，判断选项.【详解】，，，，又，，解得或.故选：CD【变式22】已知向量，．(1)求的坐标及；(2)若与共线，求实数的值．【答案】(1)(2)1或【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解.（2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解.【详解】（1）由题意，，所以，所以.（2）由题意与平行，所以当且仅当，化简得，解得，即实数的值为1或1.【变式23】在直角坐标系中，已知，，若，恒成立，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，恒成立，将该不等式两边平方可得到恒成立，结合二次函数的最值，即可得，从而可得答案.【详解】由题意可得，，，若，恒成立，则，恒成立，即恒成立，即恒成立，而，时等号成立，故，即，故选：D考点03向量垂直的坐标表示【方法点拨】【例5】已知向量，，若，则.【答案】/2.5【分析】由题可得，再利用向量数量积的坐标公式即可求解.【详解】向量，，，又，则，解得.故答案为：【例6】已知为矩形，点在线段上，且满足，则满足条件的点有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．4个【答案】C【分析】以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出点坐标，算出坐标，由得到，构建方程求解即可.【详解】以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得,因为点在线段上，所以可设，所以,又，所以，可得，解得；，即满足条件的点P有2个.故选：C.【变式31】已知向量，，，则实数的值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】确定，，根据计算得到答案.【详解】，，，解得.故选：A.【变式32】（多选）已知为直角三角形，且，则实数的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】分、和三种情况，根据向量垂直时数量积为0，列方程求解即可.【详解】当时，，解得；当时，，解得；当时，，无实解，综上可得，或1.故选：AC.【变式33】设A、B、C、D为平面内的四点，且，，．(1)若．求D点的坐标；(2)设向量，，若向量与垂直，求实数k的值．【答案】(1)点的坐标为；(2)k的值为.【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】（1）设，因为，，，，于是，整理得，即有，解得，所以点的坐标为，（2）因为，所以，，因为向量与垂足，因此，解得，所以实数k的值为.考点04向量夹角的坐标表示【方法点拨】利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤：（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；（2）利用计算出这两个向量的模；（3）由公式直接求出的值；（4）在内,由的值求角【例7】设，向量，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件，利用向量垂直的坐标运算，得出，从而可得出，再利用向量数量积公式即可求出结果.【详解】因为，，又，所以，得到，所以，得到，所以，故选：B.【例8】已知点，，向量，若与成锐角，则y的取值范围为．【答案】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为，，与成锐角，所以，解得，当与同向时，，即，解得，此时满足，但与所成角为0，不满足题意，综上，与成锐角时，y的取值范围为.故答案为：【变式41】已知向量，若实数满足，则与的夹角为．【答案】/【分析】利用平面向量的坐标运算得到的坐标，从而计算两向量的数量积，由两向量的数量积为0得结果．【详解】因为向量，所以，又，所以，故与的夹角为．故答案为：．【变式42】已知向量，，若非零向量满足，则取最小值时，的坐标为.【答案】【分析】设，根据已知列出关系式，代入坐标整理得出.表示出，根据二次函数的性质，即可得出最值，求出答案.【详解】设，则由，得，所以，所以，即，化得.又，所以.当时，取得最小值，此时，即.故答案为：.【变式43】已知向量，向量．(1)若，求与的夹角；(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据得到与的夹角；（2）根据与的夹角为钝角得到且不反向共线，然后求即可.【详解】（1）当时，，，与的夹角为.（2）因为与的夹角为钝角，所以，解得，当与反向共线，即时，，解得，综上，实数的取值范围为.考点05投影向量的坐标表示【方法点拨】将已知量代入在方向上的投影向量公式(是与方向相同的单位向量,且)中计算即可【例9】已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据垂直向量的坐标运算建立方程求得参数，结合投影的定义，可得答案.【详解】，故，解得，所以，则在方向上的投影向量为.故选：A.【例10】设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据投影向量的知识列式，然后利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意，，向量在向量上的投影向量：，所以，当且仅当时等号成立.故选：A【变式51】已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为．【答案】【分析】根据已知求出.结合已知推得，求出，然后即可根据投影向量得出答案.【详解】由已知可得，.因为，所以，解得或（舍去），所以，，所以，向量在向量方向上的投影向量为，坐标为.故答案为：.【变式52】向量，，那么向量在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解．【详解】因为，，所以，则在上的投影向量的模为，则在上的投影向量为.故选：A．【变式53】已知，，为，的夹角，且，则在上的投影向量的坐标为．【答案】【分析】根据题意，由条件可得，再由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】由，则，解得，则．考点06数量积的坐标表示与三角函数的结合【例11】已知向量，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算及数量积的运算性质、夹角公式求解.【详解】，，，，，.故选：A【例12】已知向量，，若，则（

）A． B．1 C．或1 D．【答案】C【分析】结合数量积的坐标运算，两角和的平方关系和切化弦即可求解.【详解】，则，即，当时，即，则，结合，解得或者，结合检验得；当时，满足题意.故选：C【变式61】已知点，若，则.【答案】【分析】由向量的线性运算、数量积的坐标表示结合三角恒等变换即可求解.【详解】因为，所以，，所以，即，所以，即，所以.故答案为：.【变式62】（多选）已知向量，，则下列命题正确的是（

）A．不存在，使得 B．当时，C．对任意，都有 D．当时，在方向上的投影向量的模为【答案】ABD【分析】根据向量间运算与三角恒等变换逐项判断即可.【详解】对于A，若，则有不存在，故A正确；对于B，若，则，故B正确；若，存在，故C不正确；其中所以，，故D正确；故选：ABD【变式63】（多选）已知向量，，以下结论正确的是（

）A．若，，则B．若，则C．若，，则D．若，，则【答案】BD【分析】由向量垂直、平行、数量积、模长的坐标表示列方程或不等式，结合三角恒等变换及正余弦型函数的性质求值或范围，判断各项正误.【详解】A：若，则，，则，所以，错；B：若，则，而，对；C：若，则，故，，则或，所以或，错；D：若，则，可得，，所以，故，对；故选：BD一、单选题1．已知向量满足，，则（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】根据数量积的运算律求出的值，再结合，即可求得答案.【详解】由题意知向量满足，，故，则，故选：A2．设，向量，，且，则（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根据题意，列出方程求得，结合向量的坐标运算，即可求解.【详解】由向量，，因为，可得，解得，所以，所以.故选：D.3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据投影向量的定义运算求解.【详解】，又，所以在向量上的投影向量为.故选：A.4．已知是的边上的高，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，表达出，根据垂直关系得到方程，求出，进而得到答案.【详解】设，则，由得，解得，故故选：B5．在等腰直角三角形ABC中，，面积为1，则下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积及模的坐标运算求解即可.【详解】由题意，，，所以，如图，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立平面直角坐标系，则，所以，，，所以，，，，，所以，所以选项ABD正确，C错误.故选：C6．在三角形中，，若为边上的一个动点，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，建立合适的直角坐标系，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】因为三角形中，，所以是边长为2的等边三角形，则以为轴，的中垂线为轴，建立直角坐标系如图，则，设，则，故，显然当时，取得最小值，故选：B.二、多选题7．已知向量，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用坐标计算可判断A；利用坐标计算是否得0可判断B；由向量共线的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式的坐标运算可判断D.【详解】对于A，，所以，故A错误；对于B，，所以，所以，故B正确；对于C，，可得，故C错误；对于D，，所以，故D正确.故选：BD.8．已知向量，，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值为B．若，则的值为C．若，则与的夹角为锐角D．若，则【答案】AB【分析】根据向量共线和垂直的的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可．【详解】对于A：若，则，解得，故A正确；对于B：若，则，解得，故B正确；对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；对于D：若，则，即，即，解得，当时，，，，，显然，当时，，，，，此时，故D错误．故选：AB．9．已知向量，则（

）A．若，则B．在方向上的投影向量为C．存在，使得在方向上投影向量的模为1D．的取值范围为【答案】BCD【分析】由平行向量的坐标表示可判断A；由投影向量的计算公式可判断B，C；由向量的模长公式结合三角函数的性质可判断D.【详解】对于A，若，则，则，所以A错误；对于B，在方向上的投影向量为，故B正确；对于C，，所以在方向上投影向量的模为：，当时，，所以存在，使得在方向上投影向量的模为1，故C正确；对于D，向量，所以，则，故D正确.故选：BCD.三、填空题10．已知向量，，若，则.【答案】【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用模的坐标表示计算即得.【详解】向量，，由，得，解得，即，，所以.故答案为：11．向量，且，则．【答案】/0.8【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得，再建立平面直角坐标系，利用坐标求解夹角的余弦作答.【详解】由，得，即，而，则，即，以的方向分别为轴正方向，建立平面直角坐标系，如图，则，于是，有，所以.故答案为：12．如图，在平面四边