2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（B卷）（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市高一（下）期末数学试卷（B卷）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若复数Z满足zi=2-i（i为虚数单位），贝IJZ在复平面上所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.记△?!BC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c.已知α=8,b=7,B=30。，贝IJSim4=（）

βC.三D.ʧɜ

ʌ-1∙727

3.已知si?Ia==ξ,则cos2a=()

ʌ16

A.—TTZB.-⅞D.⅛

2525c.⅞2525

4.己知一组数据分别是2.65,2.68,2.68,2.72,2.73,2.75,2.80,2.80,2.82,2.83,则

它们的75百分位数为（）

A.2.75B.2.80C.2.81D.2.82

5.已知非零向量口与方的夹角为。，∖b∖=21a∣>a∙K=a2,则9=()

A.0-C3-0D.2-

6.已知八m为两条不同的直线，a、6为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若〃/a,m1a,则

B.若I-LnI,m1a,贝”〃a

C.若IUa,me.a,l∕∕β,τn∕∕β,则a〃0

D.若a//.，，Ua,muβ,则〃/m

7.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件4"第二枚硬币反面

朝上”为事件B,则下述正确的是（）

A.4与B对立B.4与B互斥

C.P（A+B）>PQ4）+P（B）D.4与B相互独立

8.如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体

建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔AB的高度.他选取与塔底B在同一水平面内的两个

观测点C,D,测得ZBCD=I20。，CD=112m,在C,。两观测点处测得大运塔顶部A的仰角

分别为45。，30°,则大运塔48的高为（）

A

A.56y∕~2mB.112mC.112y∕~2mD.112√^^m

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.如图，在平行四边形ZBCn中，E,F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的

有（）

A.EF=^AB

B.BE=CB-CE

C.AC=AB+AD

D.AF=∣ΛD+∣½C

10.已知函数/"（x）=SinXcosx,下列选项中正确的有（）

A./（x）的最大值为:B./（x）的最小正周期是Tr

C./（X）在区间（0,方上单调递增D./（X）在区间［0,兀］上有且仅有2个零点

11.从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命（单位：年）的检测结果如

记甲工厂样本使用寿命的众数为与，平均数为的，极差为与，方差为XM乙工厂样本使用寿

命的众数为力，平均数为光，极差为为，方差为'4∙则下列选项正确的有（）

z

A.x1<y1B.X2=）2C.x3<y3D.x4>y4

12.在aABC中，已知4=竽，AD为〃的内角平分线且力D=2,则下列选项正确的有（）

A1.11

A—H-----=—2

ACABADB.BC-IAC-AB=16

C.AB-AC-DB-DC=4D.ZMBC的面积最小值为4√^^

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.己知复数z=3+4i(i为虚数单位)，则IZl=.

14.已知非零向量N与石的夹角为45。，|石|=2/7，向量石在向量方上投影向量为落则Iml=

.Sl+tanl50_

ɔ*l-tanl5°=-------'

16.已知正四棱柱ABCD-AIBIGDI中，AB=1,直线4的与平面ABCD所成角的正切值为2,

则该正四棱柱的外接球的表面积为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

己知向量3=(2,x),K=(x-1,1)>X∈/?.

(1)若苍1另，求实数X的值；

(2)若苍〃a求实数X的值.

18.(本小题12.0分)

如图，在棱长为1的正方体ABC。一AlBIelDl中，E为棱。。[的中点，BD∏AC=F.

(I)求证：BDI〃平面EAC；

(2)求三棱锥E-ADC的体积.

19.(本小题12.0分)

己知函数∕^(x)=—6(sinx+COSX)-3,x∈[θ,^]∙

(1)求/(x)的最大值；

(2)证明:函数W(X)=/(x)+10有零点.

20.(本小题12.0分)

某中学为了制定培养学生阅读习惯，指导学生提高阅读能力的方案，需了解全校学生的课外

阅读情况，现随机调查了100名学生本学期开学以来(60天)的课外阅读时间，把他们的阅读时

间分为5组：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),并绘制如图所示的频率分布直方

图.

(1)求X的值及这IOO名学生课外阅读时间的平均数.(各组数据的中间数值代表这组数据的平

均水平)

(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定采用分层抽样的方法，从阅读时间为

[10,20),[20,30)的学生中抽取6名参加座谈会,再从这6名学生中随机抽取2人，求恰好有一人

读书时间在“0,20)的概率.

21.(本小题12.0分)

如图，在三棱锥P-ABC中，平面PABj_平面PBC,∆CBP=90o,PA=AB=BC=2,PC=

2y∕~3.

(1)求证：PA1BC-,

(2)求二面角P-BC-4的大小.

22.(本小题12.0分)

记AABC的内角A,B,C的对边分别为α,b,c.已知(a—c)(S讥A+si?IC)=(a—b)sinB.

(1)求角C的大小；

(2)若。是边4B的三等分点(靠近点4),CD=求实数t的取值范围.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】解：因为zi=2—i,则Z=Z-I=—1—23

I

所以Z在复平面上所对应的点为(-1,-2),位于第三象限.

故选：C.

根据复数的除法运算求复数z,再结合复数的几何意义分析判断.

本题主要考查导数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理可得：号=刍，

sιnAStnB

所以-^=三，

SinAStnB

874

即丽=I'解得SinA=

2'

故选:B.

由正弦定理代入求解即可.

本题主要考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题.

3.【答案】C

【解析】解：Sina=|,则COS2α=1-2sin2a=1—2×(∣)2=ɪ.

故选：C.

直接利用二倍角的余弦函数化简求解即可.

本题考查二倍角公式的应用，考查计算能力.

4.【答案】B

【解析】解：因为10个样本数据是从小到大排列的，且10X75%=7.5,

所以第75百分位数是第8个数2.80.

故选:B.

由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数.

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：。e[O,τr],

∖b∖=2∣α∣,a∙b≈^a2>

,

故COSo=∣a∣∙∣h∣2∣a∣∣Lal∣=2∣耳a∣-L∣aI∣=l23解得。=i∙

故选：C.

根据夹角公式计算可得.

本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于中档题.

6.【答案】A

【解析】解：对于4,；mla,二τn垂直平面a内任意一条线，又IUa,：.3n,ua,使得〃∕n,

.∙.mln.则有/lm,故A正确；

对于B,当/1?n,rn_La时，有〃/a或/ua,故8错误；

对于C,当IUa,maa,l∕∕β‹S时，a与S可以相交，故C错误；

对于0,若a∕",IUa,mu£时，有l〃ni或1与m异面，故。错误.

故选:A.

根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思

维能力，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，

正）,（反,反），

则事件2包含的结果有：（正，正），（正，反），事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），

显然事件4事件8都包含“（正，反）”这一结果，即事件4事件B能同时发生，

所以，事件4事件B既不互斥也不对立，故AB错误.

2121

==P==ɔ1

又因为P（A）4-2-而P(4+B)=：,PG4B)

所以P(A+B)<P(A)+P(B),4-P(2-AB)=P(A)P(B),故C错误，。正确.

故选：D.

根据题意，列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可得到结果∙

本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件相关知识，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由题意得，在直角△ABC中，乙4CB=45°,

所以BC=AB,

在直角A4BD,∆ADB=30°,

所以黑=tcm30°,即BD=「AB,

在ABCO中，NBCO=I20。，CD=112,

由余弦定理BO?=BC2+CD2-2BC-CDcosl20o,可得348?=AB2+1122-2×112∙(-ɪ)•

AB,

因为力B>0,

所以解得AB=112,即大运塔AB的高为112m.

故选:B.

根据仰角分别得出BC=AB,BD=CAB，在△BCD中由余弦定理即可求出AB.

本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题.

9.【答案】AC

【解析】解：对选项A：EF=1DC=1AB,正确；

对选项B：BE=BC+CE=-CB+CE>错误；

对选项C：AC=AB+BC=AB+正确；

对选项。：AF=AD+DF=AD+^DC=AD+^(AC-AD)=^AD+^AC,错误.

故选：AC.

结合图形，用向量共线的知识和三等分点的性质即可判断选项A；用向量的加法法则和向量的性

质即可判断选项B和选项C；用向量的加法法则和减法法则即可判断选项D.

本题主要考查平面向量的基本定理，属于基础题.

10.【答案】AB

【解析】解：由题意得/(无)=Sinxcosx=∣sin2x,

则/⑶的最大值为：，故A正确；

/(x)的最小正周期是与=τr,故B正确；

由一'+2kπ≤2x≤/+2/c兀解得一亨+kπ≤x≤/kπ,

所以当一^+kπ<X<^+kπ,kEZ时，/(x)单调递增，

同理，当*+Er≤%≤与+kτr,keZ时，f(X)单调递减，

所以/(x)在区间(Ow)上单调递增，在区间田,方上单调递减，故C错误；

令2sin2x=0,X€[0,,解得X=O或X=/或X=兀，故。错误.

故选：AB.

先化简/(x),即可由正弦函数的取值范围判断选项A,由正弦函数的周期公式判断选项B,由正

弦函数的单调性判断选项C,解三角方程判断选项D.

本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题.

11.【答案】BD

【解析】解：由题意可得，X1=8,&=象3+5+6+7+7+8+8+8+9+10)=7.1,

222222

X4=⅛[(3-7.1)+(5-7.1)+(6-7.1)+(7-7.1)+(7-7.1)+(8-7.1)+(8-

7.1)z+(8-7.1)2+(9-7.1)2+(10-7.1)2]=3.69,

%3=10—3=7,

Vi=8,y?——(4+6+6+7+8+8+8+8+8+8)=7.1,

22222

y3=8-4=4,y4=⅛[(4-7.1)+(6-7.1)+(6-7.1)+(7-7.1)+(8-7.1)+(8-

7.1)2+(8-7.1)2+(8-7.1)2+(8-7.1)2+(8-7.1)2]=1.69,

则=y^λ'χι—y∙∖,'%3>丁3，χ4>)z4∙

故选：BD.

根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果.

本题考查众数，平均数，极差以及方差的计算公式，属于基础题.

12.【答案】ACD

【解析】解：依题意SAABC=SAABD+SAADC，^AB-ACsi∏^=

^AB-ADsin^+AD-ACsin^,/\

BDC

所以48∙AC=ADQAB+AC),

所以^⅛+^⅛=^⅛?故A正确；

∕ι(->ADAU

AB-AC=2(AB+AQ,

所以=AB+AC≥2√AB∙4C,当且仅当AB=AC时取等号，

所以SB∙AC≥16或AB∙AC<0(舍去)，

则SAABC=以B∙ACsin多=∙AC≥4「，当且仅当月B=AC=4时取等号，故。正确；

L34

XBD2=AB2+AD2-2AB-ADcos^,DC2=AC2+AD2-2AC-ADcos^,

B∣JβO2=AB2+AD2-AB-AD,DC2=AC2+AD2-AC-AD,

所以+DC2=AB2+AC2+2AD2-AC-AD-AB-AD,

XfiC2=AB2+AC2-2ABACcos^-,GPBC2=AB2+AC2+AB-AC,

所以(BD+DC)2=BD2+2BD-DC+DC2=AB2+AC2+AB-AC,

所以2B。-DC=AB-AC-2AD2+(AC+AB)-AD,

即28。∙DC=2AB∙AC-2AD2,

所以AB∙AC-DB∙De=AD2=%故C正确；

由余弦定理Bf2=AB2+AC2-2AB-ACcos^,

BPBC2=AB2+AC2+AB-AC

=(AB+AQ2-AB-AC

=-AB-AC

=^AB-AQ2-AB-AC,

所以Be2-2AC-AB=∖{AB-AC)2-3AB-AC,

由于由已知条件无法得知48•4C的值,

故无法确定8。2-24548的值，故B错误.

故选：ACD.

利用等面积法得到ABSC=AD(AB+AQ,即可判断出再利用基本不等式求出AB∙AC的最小值,

即可判断D；利用余弦定理判断B、C.

本题考查了三角形的面积公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力

和转化思想，属于中档题.

13.【答案】5

【解析】解：7z=3+4i,

.∙.∣z∣=√32+42=√-25=5.

故答案为：5.

直接利用复数模的计算公式得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

14.【答案】2

【解析】解：根据题意，非零向量4与方的夹角为45。，商I=21∑

向量石在向量日上投影向量为乙则I口I=Il石ICos＜五，］＞∣=2∙

故答案为：2.

根据题意，由投影向量的计算公式计算可得答案.

本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的运算和性质，属于基础题.

15.【答案】O

【解析】

【分析】

本题考查了两角和与差的正切公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，属于

基础题.

利用tan45。=1对原式进行替换，利用两角和的正切公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值.

【解答】

解：原式=罂鬻需=tan(450+15。)=tan6。。=

故答案为，耳.

16.【答案】10兀

【解析】解:连接4C,在正四棱柱ABCO-48165中，/CI5FffiXSCD,

所以4C1AC为直线4G与平面ABCD所成角，

因为在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=I,所以AC=IΣ,

在直角三角形ACCI中，tan/GAC=爷=篝=2,

22

所以ClC=2。，AC1=√AC+C1C=√^Tθ.

又正四棱柱4BC0-4BιG5的外接球的直径为AG，则半径r=子.

所以球的表面积为：S—4Tir2=4∏∙(-'222=10π∙

故答案为:10τr.

在正四棱柱ABCD-&BIGCl中，连接4C,则4CI4C为直线AC】与平面ZBCD所成角，结合题中的

条件可得侧棱长，进一步得到外接球的半径，得到答案.

本题考查正四棱柱的外接球问题，属中档题.

17.【答案】解：⑴因为入石，所以2(x-l)+x=0,解得：x=∣.

(2)因为W〃石，所以X(X-I)=2,解得：*=2或X=—1.

【解析】根据向量共线和垂直的坐标运算求解.

本题主要考查了向量共线及垂直的坐标运算，属于基础题.

18.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD为正方形，所以F为BO中点

因为E为棱DDl的中点，所以EF〃BD1，

月方FU平面及4C,BDIa平面瓦4C,

所以8%〃平面EAC.

(2)因为。DlL平面4BC。，底边ABC。为正方形

则4ADC为直角三角形，且AD1DC

所以三棱锥E-ADC的体积为：

11111

^E-ADC=§XEDXSAADC=5X5X5XlXl=12'

【解析】(1)根据线面平行的判定定理分析证明；

(2)根据锥体的体积公式运算求解.

本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属中档题.

191答案】解：(l)∕(x)=-6(SinX+cosx)-3=-6∖∕~2(j-γ-sinx+ɪcosx)—3=­6√-^sin(x+

A3,

因为xe［0,J所以x+*e［犯］,所以f(x)在［0币上单调递减，所以/(χ)rng=/(O)=-%

(2)因为S(X)=/(%)+10=-6√^^2sin(x+^)+7,x∈［0,g,

因为火0)=1>0,φζ)=7-6√^2<0,且S(X)图象在［0币上不间断，

所以S(X)在区间［0,守上有零点.

【解析】(1)利用辅助角公式将函数化简，由X的取值范围求出x+今的取值范围，即可得到函数的

单调性，即可求出函数的最大值；(2)首先得到R(X)的解析，求出区间端点的函数值，结合零点存

在性定理即可证明.

本题考查三角函数的性质，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由题意得：X=1-10(0.005x2+0.02+0.04)=θθɜ,

这100名学生阅读时间的平均数为：5X0.05+15×0.2+25×0.4+35×0.3+45×0.05=26,

所以这100名学生阅读时间的平均数为26：

(2)由直方图得：课外阅读时间为［10,20)与［20,30)的学生数的比为1：2,

所以，课外阅读时间在［10,20)有2名，阅读时间在［20,30)有“4名，

记从这6名学生中随机抽取2人，

恰好有一人读书时间在［10,20)为事件M,

课外阅读时间在［10,20)的2名学生分别记为a、b,

阅读时间在［20,30)的4名学生分别记为4、B、C、D,

所以从这6人中任意抽取2人，

样本空间:

0={(α,b),(α,A),(a,B),(α,C),(α,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),

(AB),(AC),(4D),(B,C),(B,D),(C,D)},共15个样本点，

其中M={(a,4),(a,B),(α,C),(α,D),(b,A),(b,B),(b,C),(h,D)},共8个样本点，

所以P(M)=总

【解析】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求出》,再根据平均数公式计算可得;

(2)利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.

21.【答案】解：(I)证明：由于平面PABJ_平面PBC,平面Λ4Bn平面PBC=PB,

又NCBP=90。，BeU平面PBC,BC1PB,

则根据面面垂直的性质定理得BC1平面P4B,

又PAU平面P4B,

ʌPA1BC.

(2)由(I)知BC_L平面PAB,

∙.∙PBu平面P4B,ABu平面Pg

∙∙∙“B4就是二面角P-BC-4的平面角.

∙.∙PB1BC,BC=2,PC=2√^^,

.∙.PB=2√^2,

又ZM=AB=2,

所以P/+心=PB2,

.∙.PalAB,

SinNPB4=警=奈=半LPBA=

二二面角P-BC-4的大小为

【解析】(1)利用面面垂直的性质定理得到BCI平面/MB,再利用线面垂直的定义即可证明.

(2)先利用平面角的