2023-2024届新高考一轮复习湘教版 2-9 函数模型的应用 学案

第九节函数模型的应用

【课标标准】1.了解指数函数、对数函数和一次函数增长速度的差异2理解“对数增

长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义3会选择合适的函数类型刻画现实问题

的变化规律.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.指数、对数、幕函数性质比较

函数

y=a∖a>i)y=logx(β>l)y=xn(n>0')

性质a

在(0,+∞)±

单调________单调________单调递增

的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现为随X的增大逐渐表现为

图象的变化随〃值变化而各有不同

与平行与平行

2.常见的函数模型

函数模型_______________________函数解析式_______________________

一次函数模至一_____________兀v)=αr+b(α,为常数，4W0)______________

反比例函数模型ΛΛ)=⅛⅛(⅛,〃为常数且ZWO)

2

二次函数模型fix)=ax+bx+c(afb,C为常数，ɑ≠0)

指数函数模型一7U)=b1+c(mb,C为常数，bW0,公>0且4Wl)

对数函数模疝^b,C为常数，∕τ≡0,α>0且α≠l)

基函数模型一,1

J(x)=ax+h(a9〃为常数，0≠0)

［常用结论］

I.函数Kr)=；+第>0,b>0,x>0)在区间(0,上单调递减，在区间［闻，+∞)±

单调递增.

2.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量

越来越大，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)基函数增长比直线增长更快.()

(2)不存在xo，使a*。<Xo<logαΛo.()

(3)在(0,+8)上，随着X的增大，y="(α>l)的增长速度会超过并远远大于y=d(a>l)

的增长速度.()

(4)“指数爆炸”是指数型函数y=α〃+c(αW0,b>0,人Wl)增长速度越来越快的形象

比喻.()

2.在某个物理实验中，测量得变量X和变量y的几组数据，如下表：

X0.500.992.013.98

y—0.990.010.982.00

则对X,y最适合的拟合函数是()

A.y-2xB.y-x2~↑

C.y=2x~2D.γ=log2X

3.(教材改编)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原

来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一

时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测

不到，则它至少要经过个“半衰期”.

2

4.(易错)已知y(x)=x,g(x)=2',Zz(X)=Iog2X,当χe(4,+8)时，对三个函数的增长

速度进行比较，下列选项中正确的是()

A.J(X)>g(x)>h(x)

B.g(x)>∕(x)>h(x)

C.g(x)>h(x)>fix)

D.J(x)>h(x)>g(x)

5.(易错)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,

则该市这两年生产总值的年平均增长率为.

关键能力•题型突破

题型一二次函数模型

例1某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产

品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量

x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=》?-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可

利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补

贴多少元才能使该单位不亏损？

题后师说

二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际

中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称轴

与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端

点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.

巩固训练1

某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每

件利润增加2元.用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3

件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()

A.7B.8C.9D.10

题型二分段函数模型

例2[2023∙河南濮阳模拟]今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2024

年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万,

IOx2+IOOx+1000,O<X<40

每生产x(千部)手机,需另投入成本R(X)万元,且Ra)=

701x+U■吧—8450,x≥40

∖X

由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.

(1)求2024年的利润W(X)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式；

(2)2024年产量为多少(干部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

题后师说

(1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，

将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起,要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.

巩固训练2

[2023•安徽安庆模拟]由中国发起成立的全球能源互联网发展合作组织于2021年3月18

日在京举办中国碳达峰碳中和成果发布暨研讨会.会议发布了中国2030年前碳达峰、2060

年前碳中和、2030年能源电力发展规划及2060年展望等研究成果，在国内首次提出通过建

设中国能源互联网实现碳减排目标的系统方案.为积极响应国家节能减排的号召，某企业计

划引进新能源汽车生产设备，通过市场调查分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产

10χ2+300x,OVX<40,

M百辆)新能源汽车，需另投入成本Ca)万元，且Ca)=25oo，

1OOlx+ʌ-^-12600,x≥40

X

由市场调研知，每辆车售价10万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

(1)请写出利润L(X)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式(利润=收入一成本)；

(2)当年产量为多少百辆时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

题型三指数与对数函数模型

例3某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和

地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力,

进入宇宙空间的运载工具.早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式:

v=ωln也，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中。为喷流相为火箭的速度，，处和〃”分别是

n⅛

火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，也被称为火箭的质量比.

n⅛

（1）某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火

箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；

（2）根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10.如果喷流相对火箭的速度为2千

米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由.（参

考数据：ln2≈=≡0.69）

题后师说

在解决对数型函数或指数型函数的实际问题时经常会解对数不等式或进行对数与指数

的互化.

巩固训练3

（l）［2023∙河南郑州模拟］在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测

到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量.在此过程中，DNA的数量

X,,（单位：μg∕μL）与PCR扩增次数〃满足X,,=XoX1.6",其中Xo为DNA的初始数量.已知

某待测标本中DNA的初始数量为0.1μg∕μL,核酸探针能检测到的DNA数量最低值为

10μg∕μL,则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（参考数据：Ig1.6≈0.20,In

1.6Qo.47）（）

A.5B.10

C.15D.20

（2）［2023•山东荷泽模拟］某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开

植树造林.假设一片森林原来的面积为。亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长

率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.为使森林面积至少达到6α亩，至少需

要植树造林年（精确到整数）.（参考数据：Ig2=0.3010,Ig3=0.4771）

第九节函数模型的应用

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.递增递增y轴X轴

夯实双基

ɪ.(D×(2)×⑶J(4)×

2.解析：根据X=O.50,尸一0.99,代入计算，可以排除A；根据x=2.01,y=0.98,

代入计算，可以排除B,C；将各数据代入函数y=log2x,可知D满足题意.

故选D.

答案：D

3.解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过〃个“半衰期”后的含量

为(3"，由($"<焉,得〃210.所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，

则它至少需要经过10个“半衰期”.

答案：案

4.解析：在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4,+8)时，增长速度由

大到小依次为g(x)>fix)>h(x).

故选B.

答案：B

5.解析：设原来的生产总值为“，平均增长率为X,

则α(l+p)(l+q)=α(l+x)2,

解得l+x=J(p+l)(q+1)，

即x=√(p+l)(q+I)-1.

答案：J(p+l)(q+1)—1

关键能力•题型突破

例1解析：⑴由题意可知：y=#-200x+80000(300WXW600),

每吨二氧化碳的平均处理成本为

y=x+8o^o_2OO≥2亟—200=200,

X2Xy∣2X

当且仅当==%2U,即χ=400时，等号成立，

该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低.

(2)该单位每月的获利：

,Ax)=IOOA-QX2-200x+80000)=-i(χ-300)2-35000,

因300WxW600,函数./U)在区间[300,600]上单调递减，

从而得当x=300时，函数次尤)取得最大值，即於)max=∕(300)=-35000,

所以该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.

巩固训练1解析：由题意，当生产第人档次的产品时，每天可获利润是生产件数与每

件的利润的乘积为y≈[8+2(⅛-1)][60-3(k-1)]=-6⅛2+108⅛+378(1≤⅛≤10),配方可得)，

=一6/一9>+864,.∙.当&=9时,获得利润最大.

故选C.

答案：C

例2解析：(1)当Oa<40时，W(X)=700X-(IaX2+IOOx+1000)-250=—Iox2+60Qx

-1250；

当x240时，W(X)=700r-(701x+吧詈-8450)—250=一。+丝詈)+8200；

(-IOx2+600x-1250,0<x<40

.∙.W(x)=/10000、Crcc；

一(x+-)+8200,x≥40

⑵若04<40,Wa)=-10(χ-30)2+7750,

当x=30时，川(戏皿=7750万元；

若x240,MX)=-(X+i^^)+8200W8200—2Jx∙i^^=8000,

当且仅当X=I即X=IOO时，W(X)max=8000万元>7750万元.

综上，2024年产量为100千部时，利润最大为8000万元.

巩固训练2解析：(1)当(XX<40时，L(x)=10×IOOx-10X2-300A-2500

=-∣0x2+700χ-2500;

当x>40时，La)=IoXlOOx—lOolX-^^+12600—2500=10100-(x+^-∣^);

,(-IOx2+700x-2500,0<x<40,

所以L(X)=/2500、

10100-(x+≡^Lx≥40.

⑵当0<x<40时，L(X)=-IO(X—35/+9750,

当x=35时，Z,(35)=9750；

当x>40时，L(X)=IO100-(x+^-∣^)≤10100-2Jx