新教材苏教版高中数学选择性必修第二册第七章计数原理 课时练习题含答案解析

第七章计数原理

7.1两个基本计数原理.....................................................1

7.2排列................................................................13

7.3组合................................................................26

7.4二项式定理..........................................................40

7.1两个基本计数原理

一、单选题

1.某校开设A类选修课4门,8类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（）

A.7种B.12种C.4种D.3种

【答案】A

【分析】根据题意求出所有的可能性即可选出结果.

【解析】解:由题知某校开设A类选修课4门,8类选修课3门，

共7门，

故该同学的不同选法共有7种.

2.现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，

则不同的选法共有（）

A.7种B.9种C.14利1D.70种

【答案】C

【分析】根据分类加法计数原理求解即可

【解析】分为三类：

从国画中选，有2种不同的选法;从油画中选，有5种不同的选法;从水彩画中选，有7种不

同的选法，

根据分类加法计数原理，共有5+2+7=14（种）不同的选法；

3.现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（）

A.3-B.43C.24D.12

【答案】B

【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.

【解析】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是

4.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0~255.在电脑上绘画可以

分别从这三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为（）

A.2563B.255,C.3256D.3255

【答案】A

【分析】根据题意，得到每种颜色有256种色号，由分步计数原理计算，即可求解.

【解析】根据题意，红、黄、绿三种基本颜色有0~255种色号，即每种颜色有256种色号，

从三种颜色的所有色号中各选一个配成一种颜色，

由分步计数原理，可以配成256x256x256=256'种颜色.

5.小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一

重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门

的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室

的不同的取法共有（）

A.10种B.24种C.36种D.120种

【答案】C

【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.

【解析】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3

种取法，

由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有3x4x3=36种.

6.园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一

种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉.现有4种不同种类的花卉可供

选择，则不同布置方案有（）

A.144种B.120种C.96种D.72种

【答案】C

【分析】按照A8,0,E,C的顺序分步考虑可能性，再相乘即可.

【解析】先考虑A区有4种可供选择，再考虑B区有3种，。区有2种，E区有2种，C区

有2种，

由分步乘法计数原理得共有4x3x2x2x2=96种.

7.己知集合A={TL2,3},B={-2,-1,0,3}.现从集合A中取一个元素作为点尸的横坐标，

从集合B中取一个元素作为点尸的纵坐标，则位于第四象限的点P有（）

A.16个B.12个C.9个D.6个

【答案】D

【分析】根据第四象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可.

【解析】因为第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负，

所以集合力={T1,2,3}中只有1,2,3符合，集合B={-2,-1,0,3}中只有-2,T符合，

所以第四象限的点尸有3x2=6个，

8.某航母编队将进行一次编队配置科学演练，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，2艘驱逐舰

和2艘护卫舰分列左右，每侧2艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（）

A.16B.32C.36D.64

【答案】B

【分析】分析可知2艘攻击型核潜艇放在中间，共有2种顺序，这2艘攻击型核潜艇前方是1

艘护卫舰和1艘驱逐舰，剩余的1艘护卫舰和1艘驱逐舰列在攻击型核潜艇的后方，利用分步

乘法计数原理可得结果.

【解析】2艘攻击型核潜艇放在中间，共有2种顺序，

这2艘攻击型核潜艇前方是1艘护卫舰和1艘驱逐舰，剩余的I艘护卫舰和1艘驱逐舰列在攻击

型核潜艇的后方，

由分步乘法计数原理可知，不同的配方案的方法数为2x22χ2x2=32∙

9.2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注.若A,B,C,。四人在自

由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）

A.8种B.12利IC.16利1D.24种

【答案】C

【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答

案.

【解析】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完

成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2x2x2x2=16种，

10.重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式.九宫格下面是相通的，实现了“底同火不

同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其

锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：

“中间格”火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；

“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；

“四角格”属文火，火力温和，适合娴菜，让食物软糯入味.现有6种不同食物（足够量），

其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格.现将九宫格全部放入

食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法

（）

【答案】C

【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.

【解析】由题可知中间格只有一种放法；

十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；

四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放

法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；

所以不同放法共有Ix3x3=9种.

11.设集合4={1,2,,2023},s={(A,,AHO)IAqGAHOq4}，则集合S的元素

个数为()

A.C雕B.C%C.100≡D.IOl2023

【答案】D

【分析】由每个l≤i≤2023,在A，A2,,Aoo中的从属关系，结合分步乘法计数原理求解即

可.

【解析】对每个l≤i≤2023,在A，4,,Aoo中的从属关系有以下101种：

(1)/∈ʌ,/∈A,,I∈A,,,z∈Λi00,

(2)iiAi,ieA2,i∈A5,.,z∈Awi,

(3)z⅛Λ,,∕⅛Λ,ι∈A,,∙,∕∈A()0,

(101)iiAl,iA2,iAi,,iiAy00.

由分步乘法计数原理，集合S中共101如3个元素.

12.空间中不共面的4点A,B,C,D,若其中3点到平面ɑ的距离相等且为第四个点到平

面α的T倍，这样的平面ɑ的个数为()

A.8B.16C.32D.48

【答案】C

【分析】由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可.

【解析】第一种情况，A，B,C,。点在平面ɑ的同侧.

当平面α〃平面BCDH>J,A与平面α的距离是α与平面BCz）的距离的2倍.

这种情况下有4个平面.

第二种情况，A,B,C,。中有3个点在平面ɑ的一侧，第4个点在平面ɑ的另一侧，这时

又有两种情形：

一种情形是平面α与平面BCD平行，且A与平面α的距离是平面α与平面BCz）距离的2倍.

这时有4个平面.

另一种情形如图“所示，图中E，尸分别是AB,AC的中点，K是4。的三等分点中靠近A的

分点，A,B,C到平面EFK（即平面α）的距离是。到平面EFK距离的一半.

尸可以是AB,AC的中点的连线，又可以是AB,BC的中点的连线，或AC,BC的中点的

连线，

，这种情形下的平面α有3x4=12（个）.

第三种情况，如图6所示，在A,B,C,。四点中，平面ɑ两侧各种有两点.

容易看出：点A到平面ERwV（平面α）的距离是B,C,。到该平面距离的2倍.

就A,C与8,O分别位于平面ɑ两侧的情形来看，就有A离平面α远，8离平面α远，C离

平面α远，。离平面ɑ远这四种情况.

又“AC,BD异面,则这样的异面直线共有3对，

，平面a有4x3=12（个）.

综上分析，平面ɑ有4+4+12+12=32（个）.

二、多选题

13.现有6位同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每位同学可自由选择其中的一个讲座，

则不同选法的种数错误的是（）.

A.5×6×5×4×3×2

A.56B.6C.---------------------D.6×5×4×3×2

2

【答案】BCD

【分析】根据题意，每位同学都有5种选择，结合分步计数原理，即可求解.

【解析】根据题意，每位同学都有5种选择，共有5x5x5x5x5x5=56（种）不同的选法,

所以A正确，B,C,D错误.

14.现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（）

A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法

B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法

C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法

D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法

【答案】BD

【分析】根据分步与分类计数原理逐个求解即可

【解析】对A,从中选出2个球，正好一红一黄，有4x5=20种不同的选法，所以该选项错

误：

对B,若每种颜色选出1个球，有4x5x6=120种不同的选法，所以该选项正确；

对C,若要选出不同颜色的2个球，有4x5+5x6+4x6=74种不同的选法，所以该选项错误；

对D,若要不放回地依次选出2个球，有15*14=210种不同的选法，所以该选项正确.

15.某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（）

A.从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法

B.从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法

C.从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法

D.若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名

方法

【答案】BC

【分析】利用分步计数原理和分类计数原理逐一判断即可.

【解析】对于A,选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，

先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10x9=90种不同的选法，故A错

误；

对于B,从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7x3=21种不同的选法，

故B正确；

对于C,选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7+3=10种不同的选

法，故C正确；

对于D,每人报名都有2种选择，共有K）人，贝怏有2K）=I024种不同的报名方法，故D错

误.

16.已知数字0,1,2,3,4,由它们组成四位数，下列说法正确的有（）

A.组成可以有重复数字的四位数有500个

B.组成无重复数字的四位数有96个

C.组成无重复数字的四位偶数有66个

D.组成无重复数字的四位奇数有28个

【答案】AB

【分析】根据题意，由分类分步计数原理依次分析各选项，即可得答案.

【解析】解：对A：四位数的首位不能为0,有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可

以有重复数字的四位数有4χ5χ5χ5=5OO个，故选项A正确；

对B：四位数的首位不能为0,有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个

数位，有4x3x2=24种情况，则组成无重复数字的四位数有4x24=96个，故选项B正确；

对C：若0在个位，有4x3x2=24个四位偶数，若0不在个位，有3x3x2x2=36个四位偶

数，则组成无重复数字的四位偶数共有24+36=60个四位偶数，故选项C错误；

对D：组成无重复数字的四位奇数有3x3x2x2=36个，故选项D错误；

三、填空题

17.从A地到8地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到8地有四条路，则从A

地到B地不同的走法有种.

【答案】12

【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.

【解析】由分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法有3*4“种.

18.有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，从中选出3人，并指派1人唱歌，另2

人跳舞，则不同的选派方法有种.

【答案】48

【分析】先求出既会唱歌又会跳舞的人数，然后分唱歌只在会唱歌的人中取和唱歌在既会唱

歌又会跳舞的人中取.

【解析】因为有8名歌舞演员，其中6名会唱歌，5名会跳舞，

所以既会唱歌又会跳舞的有6+5-8=3人，

所以只会唱歌的有6-3=3人，只会跳舞的有5-3=2人

从只会唱歌的里选1人去唱歌有3种方法，从剩下会跳舞的5人中选2人跳舞有C；=10种

所以此种情况有3x10=30种；

从既会唱歌又会跳舞的人选1人去唱歌有3种方法，从剩下会跳舞的4人中选2人跳舞有

C=6种，

所以此种情况有3x6=18种；

综上不同的选派方法有30+18=48种.

19.某人设计了一项单人游戏，规则如下：先将一枚棋子放在如图所示的正方形ABCO(边

长为3个单位)的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的

单位，如果掷出的点数为i(i=L2,∙,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下

去.某人掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有种.

D1------------------IC

A'------------------IB

【答案】25

【分析】根据题意分析得，正方形周长为12,而抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示

三次骰子的点数之和是12,据此分类讨论即可求解

【解析】由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,

掷三次骰子后，棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,

三个数字能够使得和为12的有I、5、6,2、4、6,3、4、5,3、3、6,5、5、2,4、4、4,

共6种组合.

①1、5、6,2、4、6,3、4、5这三种组合中，每一种又可以列出6种不同结果，所以有3x6=18

种；

②3、3、6,5、5、2这两种组合中，每一种又可以列出3种不同结果，所以有2*3=6种；

③组合4、4、4只有1种结果.

根据分类加法计数原理知，共有18+6+1=25种不同走法.

20.已知关于X的方程卜-4+卜-4=卜-。|+上-4有且仅有一个实数根，其中互不相同的实

数〃、b、c、"∈{1,2,3,4,5,6},且∣α-4=∣c-"∣,则。、b、。、d的可能取值共有

种.(请用数字作答)

【答案】56

【分析】考虑α<6,c<d,分析得出力<c或小，对(“力)分(α,b)=(l,2),(4,6)=(2,3),

(a∕)=(3,4),(α,A)=(1,3)四种情况讨论，列举出(Gd)的可能情况，然后在所得结果乘以8

即可.

【解析】方程∣χ-α∣+∣χ-q=∣χ-d+∣χ-d∣有且只有一个实根，

由绝对值三角不等式可得∣x-α∣+∣x-6∣≥∣(x-α)-(X-A)I=Ia-W，

∖x-c∣+∣x-rf∣>∣(Λ-c)-(x-rf)∣=∣c-rf∣,

因为IQ-W=IC—4，考虑Q<。，c<d,

a+b-2x9x≤ac+d-2x,x<c

因为卜-4+卜-闿=‹b-a,a<x<bx-c∣+∣x-J∣=d-c,c<x<d

2x-(α+⅛),x>⅛2x-(c+√),x≥J

作出函数y=k-ɑ∣+∣χ-4与函数y=∣χ-c∣+∣χ-d∣如下图所示:

则有b<c或八

若(S)=(1,2),则(c,d)的可能情况有:(3,4)、(4,5)、(5,6)；

若(α,b)=(2,3),则(Gd)可能的情况有：(4,5)、(5,6)：

若(α,6)=(3,4),则(Gd)=(5,6)；

若(a,b)=(l,3),则(c,d)=(4,6).

考虑。、。的大小，有2种情况；考虑c、d的大小，有2种情况；考虑(。力)、(c,d)的位置，

有2种情况.

综上所述，a、b、c、d的可能取值共有7χ2χ2χ2=56种.

四、解答题

21.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本

不同的体育书.

(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【答案】(1)24种；

⑵26种.

【分析】(1)应用分步乘法求不同的取法；

(2)应用分类加法求不同的取法.

【解析】(1)从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：

第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法，

第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法，

第3步从第3层取1本体育书，有2种方法，

根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是4x3x2=24.

(2)第1类方法是4本不同的计算机书和3本不同的文艺书中各选取1本，有4x3种方法

第2类方法是4本不同的计算机书和2本不同的体育书各选取1本，有.4x2种方法，

第3类方法是3本不同的文艺书和2本不同的体育书各选取1本，有3x2种方法

根据分类加法计数原理，不同取法的种数是4x3+4x2+3x2=26.

22.某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣传广告和1个公益广告，要

求最后播放的不能是商业广告，宣传广告与公益广告不能连续播放，2个宣传广告也不能连

续播放，则有多少种不同的播放方式？

【答案】108种

【分析】结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.

【解析】用1，2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有3类方法.

第1类，宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有

3χ3χ2χ2χlχl=36种不同的播放方式；

第2类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6.分6步完成这件事，共有

3x3x2x2xlxl=36种不同的播放方式；

第3类，宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6.同样分6步完成这件事，共有

3x3x2x2x1x1=36种不同的播放方式，

由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108种.

23.有不同的红球8个，不同的白球7个.

(1)从中取出一个球，共有多少种不同的取法？

(2)从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？

【答案】(1)15

⑵56

【分析】(1)分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理

可得结果；

(2)利用分步乘法计数原理可求得结果.

(1)

解：从中取出一个红球，有8种取法，

从中取出一个白球，有7种取法，

由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有7+8=15种不同的取法.

(2)

解：从中取出一个红球，有8种取法，

从中取出一个白球，有7种取法，

由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有7*8=56种不同的取法.

24.如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面.抛一次硬币，得到正面记

为1,得到反面记为0.现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组(例

如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为(1,1,0,1,0),则

可得不同的数组共有多少个？

正面反面

【答案】32

【分析】利用分步乘法计数原理求得正确答案.

【解析】依题意可知不同的数组共有2x2x2x2x2=25=32个.

25.已知集合M={-3,—2,-1,0,1,2},P(α,b)表示平面上的点(α,beM).问：

(1)P(a,b)可表示平面上多少个不同的点？

(2)P(α,b)可表示平面上多少个第二象限的点？

【答案】(1)36；(2)6.

【分析】(1)采用分步乘法计数原理，即可求出结果；

(2)根据分步乘法计数原理和第二象限点的横坐标和纵坐标的特点，即可求出结果.

【解析】解(1)确定平面上的点尸(“,力可分两步完成：

第一步，确定”的值，共有6种方法；

第二步，确定匕的值，也有6种方法.

根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6x6=36.

(2)确定第二象限的点，可分两步完成：

第一步，确定a,由于α<0,所以有3种不同的确定方法；

第二步，确定t>,由于λ>>0,所以有2种不同的确定方法.

根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3x2=6.

26.用"("≥3,neN*)种不同的颜色给如图所示的A,B,C,。四个区域涂色，要求相邻

区域不能用同一种颜色.

(I)当"=6时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？

(2)若图③有180种不同的涂色方案，求〃的值.

【答案】(1)600,480；(2)5

【分析】(1)对于图①按ABCZ)顺序涂色，由分步计数原理即求，对于图②按ABOC顺序

涂色，由分步计数原理即求：

(2)由题意列出方程即求.

【解析】(I)题图①：第一步，涂A,有6种不同的涂法；

第二步，涂8,与A的颜色不相同，有5种不同的涂法：

第三步，涂C,与A,B的颜色都不相同，有4种不同的涂法；

第四步，涂。，只需与C的颜色不相同，有5种不同的涂法.

所以共有6x5x4x5=600种不同的涂色方案.

题图②：第一步，涂A,有6种不同的涂法；

第二步，涂8,与A的颜色不相同，有5种不同的涂法；

第三步，涂D,与A,5的颜色都不相同，有4种不同的涂法；

第四步，涂C,与B,。的颜色都不相同，有4种不同的涂法

所以共有6x5x4x4=480种不同的涂色方案.

(2)前三步与题图①的涂法类似，分别有〃，(〃-1),(〃-2)种不同的涂法，

第四步，涂D,与C,A的颜色都不相同，有(”-2)种不同的涂法，

所以共有“5T)(〃-2)(〃-2)种不同的涂色方案，

所以〃(〃-1)(〃-2)2=180,"∈N*,所以“=5.

27.设A={x∣x≥10,xwN},BCA,且B中元素满足：①任意一个元素的各数位的数字互

不相同；②任意一个元素的任意两个数位的数字之和不等于9.

(1)求B中的两位数和三位数的个数；

(2*中是否存在五位数、六位数？

(3)若从小到大排列B中元素，求第1081个元素.

【答案】(1)两位数共有72种，三位数有432种

(2)五位数存在，不存在六位数

(3)4012

【分析】(1)利用分步计数原理直接计算；

(2)利用反证法可以证明；

(3)先求出符合题意的四位数有9x8x6x4=1728个，再找出B中第1081个元素即可.

(1)

两位数中，十位上的数字可取1,2,3,…，9,个位上的数字由于不能和十位上的数字重复，

且与十位上的数字之和不能为9,故对于十位上的每一个数字，相应的个位数字有8种取法，

从而满足题意的两位数共有9x8=72(种).

对于三位数，我们先考虑百位上的数字，可取1,2,3,…，9；再考虑十位上的数字，由于

不能与百位上的数字重复，且与百位上的数字之和不能为9,故有8种取法；

最后考虑个位上的数字，由于不能和百位、十位上的数字重复，且和百位、十位上的数字相

加都不能等于9,故有6种取法，从而符合题意的三位数有9仓也6=432（种）.

（2）

五位数存在，如12340就是其中一个；不存在这样的六位数.理由如下：仿照（1）的解法，

十万位上有9种取法，万位上有8种取法，千位上有6种取法，百位上有4种取法，十位上

有2种取法，个位上有0种取法，矛盾.

（3）

由（1）可得，符合题意的两位数有72个，三位数有432个，符合题意的四位数有

9×8×6×4=1728（个）.四位数中千位上是1的有8X6X4=192（个）；千位上是2,3的也

各有192个，由于1081-（72+432+192+192+192）=1,所以符合题意的数是千位上是4的最

小的数，即8中第1081个元素是4012.

7.2排列

一、单选题

ɪ.下列问题是排列问题的是（）

A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？

B.平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？

C.集合｛0,,生，/，•・・，4,｝的含有三个元素的子集有多少个？

D.从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多

少种选法？

【答案】D

【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.

【解析】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；

B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；

C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题：

D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加

独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题.

2.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（）

A.1260B.120C.240D.720

【答案】D

【分析】由题意知：问题等价于3个元素排10个位置，应用排列数计算不同的分法种数即可.

【解析】由题设，相当于3个元素排10个位置，有A：产720(种)不同的分法.

3.若碌=10A：,贝IJ"=()

A.1B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】将用,,=10可展开得2〃(2〃-1)(2〃-2)=10〃5-1)(〃-2),化简计算即可.

【解析】=W=IOA;,Λ2n(,2n-l)(2n-2)=1On(n-l)(n-2),化简可得4〃-2=5〃—10,则

〃=8.

4.高中毕业时，五名同学排成一排在学校门口照相留念，若甲、乙二人不相邻，则不同的排

法共有().

A.36种B.48种C.72种D.120种

【答案】C

【分析】采用插空求解即可,即先排除甲乙外的三位同学，再将甲乙二人插入三个同学所产生

的4个空位中即可.

【解析】解：因为甲、乙二人不相邻，所以先排其他三个同学，共有A；=3x2xl=6种排法；

再将甲乙二人插入三个同学所产生的4个空位中，有A：=4x3=12种排法.

所以一共有6x12=72种排法.

5.现要从“语文、数学、英语、物理、化学、生物”这6科中选出4科安排在星期三上午4节

课，如果“语文”不能安排在第一节，那么不同的安排方法的种数为()

A.280B.300C.180D.360

【答案】B

【分析】第一节课从除了语文之外的5科中选1科，其它3节课从5科中选3科排列即可得

到答案.

【解析】第一节课从除了语文之外的5科中选1科，其它3节课从5科中选3科排列，

贝IJ一共有A；A；=5x5x4x3=300(种).

6.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.若小明的父

母都与他相邻，则不同坐法的种数为()

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【分析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个

元素进行排序即可.

【解析】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个

元素进行排序，则A；A；=12,故所求的坐法种数为12,

7.有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，

乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7

人不同的可能位次共有（）

A.120种B.216种C.384种D.504种

【答案】D

【分析】甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.

【解析】因为甲的成绩是中间一名，

所以只需安排其余6人位次，

因为乙不排第一名，丙不排最后一名，

所以由间接法可得用一2&+A：=720-2×120+24=504,

8.永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，

是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久、风格独特，规模

宏大、结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.

现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，

圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有（）种不同的排法.

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形、五角形相邻，利用捆绑法求

解.

【解析】当圆形排在第一个，因为方形、五角形相邻，

所以捆在一起与其他图形全排列，目方形、五角形内部排列，

有A；A：=240种不同的排法∙，

同理当圆形排在最后一个有=240种不同的排法.

综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形、五角形相邻，则共有480种不同的排法.

9.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画排成一列，要求

同一品种挂在一起，，水彩画不在两端，那么不同的排列方式有（）种

A.A：A；B.A；A：A；

C.A；A：A；D.A；A：A；

【答案】D

【分析】先将4幅油画全排列，再将5幅国画全排列，最后将水彩画放中间，油画和国画排

在水彩画两边，按照分步乘法计数原理计算可得.

【解析】解：因为同一品种挂在一起，所以4幅油画全排列A：,5幅国画全排列A；,

水彩画不在两端，所以将油画和国画排在水彩画两边A；.

不同的排列方式有A；A：A；.

10.A、B、C、O、E、F六人站成一排，C站第三位，A不站在两端，。和E相邻，则不同排列方

式共有（）

A.16种B.20种C.24种D.28种

【答案】B

【分析】根据A的所站位置对排列方式分类，结合分步计数乘法原理，分类加法计数原理求

解即可.

【解析】符合要求的排法可分为三类，

第一类A站在第二位的排法，符合要求的排法可分为3步完成，第一步先排AC,有一种完

成方法，再排2E,有2&种排法，再排其余两人有反排法，由分步乘法计数原理可得第一

类共有排法1x4x2种，即8种排法，

第二类A站在第四位的排法，符合要求的排法可分为3步完成，第一步先排AC,有一种完

成方法，再排RE,有2用种排法，再排其余两人有可排法，由分步乘法计数原理可得第一

类共有排法1x4x2种，即8种排法，

第三类A站在第五位的排法，符合要求的排法可分为3步完成，第一步先排AC,有一种完

成方法，再排。E,有用种排法，再排其余两人有8排法，由分步乘法计数原理可得第一

类共有排法1x2x2种，即4种排法，

由分类加法计数原理可得符合要求的排法共有8+8+4利与即20种排法.

11.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比IOOO大的四位偶数共有（）

A.56个B.60个C.66个D.72个

【答案】B

【分析】分个位是O和不是O两种情况，去求用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且比

1000大的四位偶数

【解析】①末位是0时，满足条件的偶数有A：=24个；

②末位不是0时，满足条件的偶数有2A；A；=36个.

满足条件的四位偶数的个数为24+36=60,

12.2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，但甲不站

最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有()

A.3864种B.3216种C.3144种D.2952种

【答案】B

【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙

的位置，最后再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，

情况同①.③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不

在中间，再安排丙的位置，最后再将剩余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答

案.

【解析】根据题意，分3种情况讨论：

①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余

的4个位置，有5.A：=120种情况；

甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的

4个人全排列，安排在其余的4个位置，有(5x4).A：=480种情况；两种情况合并，共有

(5+5x4).A：=600种情况；

②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①.共有(5+5x4).A：=60()种情况；

③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排

法；乙若不在中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，

安排在其余的4个位置，共有4x(5+4x4).A：=2016种情况；

综上，贝IJ共有(5+5x4).A：+(5+5x4).A：+4x(5+4x4).A：=134x24=3216种不同的站法.

二、多选题

13.下列各式中，等于"!的是()

A.A丁B.AKC.研二：D.>n'.C：

【答案】AC

【分析】根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答

案.

【解析】解：根据题意，依次分选项:

对于A,AΓ'=∏×（w-l）×……×2=w!,故A正确；

对于8,AL=（〃+l）x〃x（〃一l）x×2=（n+l）!,故8错误；

对于C,=n×（n-↑）×……×l=n!,故C正确；

对于。，，加C,:=疝4=看'，故。错误；

nil

14.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的

个数是（）

A.阀+A：•4-阕B.阀+A：（A：—阀）

C.A1-A：+A：（A；-小）D.父-8（蜀-4）

【答案】ABD

【分析】由题意按照个位是0、个位不是0分类，结合分步乘法、排列的知识可得无重复数

字偶数的个数，即可判断A；再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解.

［解析】对于A,如果个位是0,则有父个无重复数字的偶数；如果个位不是0,则有A：.4.春

个无重复数字的偶数，所以共有｛+H∙A∙羯个无重复数字的偶数，故A正确；

对于B,由于A∙4=川-/，所以用+A1∙A∙履=父+A：（川-&）,故B正确；

对于C,由于国声国，所以4+4（W-4）X4-阂+砥4-硝，故C错误；

对于D,由于&-A（M-硝=41W=∕+Al∙A∙q,故D正确.

15.2022年2月5日晚，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，

为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨

婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（）

A.武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法

B.范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法

C.任子威在范可欣的右边，共有120种排法

D.任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法

【答案】ABD

【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.

【解析】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有A；种排法，

再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有A：种排法，

由分步乘法计数原理得，共有A；A：=48（种）排法，故选项A正确；

B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有A；种排法，

再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有A：种排法，

由分步乘法计数原理得，共有A；A：=72（种）排法，故选项B正确：

C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有A；种排法,

剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，

所以任子威在范可欣的右边，共有A；=60（种）排法，故选项C错误；

D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有A；种排法，

任子威在最左边，有A：种排法，武大靖在最右边，有A：种排法，

任子威在最左边，且武大靖在最右边，有A；种排法，

所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有A；-2A：+A；=78（种）排法，故选项D正

确.

16.甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长

为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单

位，如果掷出的点数为i3=1,2,....6）,则棋子就按逆时针方向行走，•个单位，一直循

环下去.某人抛掷〃次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（）

A.若”=2时，则共有3种不同走法B.若〃=2时，则共有5种不同走法

C.若〃=3时，则共有25种不同走法D.若〃=3时，则共有27种不同走法

【答案】BD

【分析】当〃=2时，骰子的点数之和是8,列举出点数中两个数字能够使得和为8的情况，

即可判断A、B,若〃=3时，三次骰子的点数之和是8,16,列举出在点数中三个数字能够

使得和为8,16的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.

【解析】解：由题意知正方形ABCZ）（边长为2个单位）的周长是8.

当〃=2时，骰子的点数之和是8,列举出在点数中两个数字能够使得和为8的有（2,6）,（3,5）,

（4,4）共3种组合，抛掷骰子是有序的，所以共5种结果，故A错误，B正确；

若〃=3时，三次骰子的点数之和是8,16,列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的

有（1,2,5）,（l,3,4）,（1,1,6）,（2,2,4）,（2,3,3）,（4,6,6）,（5,5,6）共有7种组合,

前2种组合（125）,（1,3,4）,每种情况可以排列出A；=6种结果，共有2A；=2x6=12种结

果，

其中（1,1,6）,（2,2,4）,（2,3,3）,（4,6,6）,（5,5,6）各有3种结果，共有5*3=15种结果，根

据分类计数原理知共有12+15=27种结果.

三、填空题

17.计算W=

5!

【答案】ɪ

【解析】由排列和阶乘直接计算出.

A：_4x3x2ɪ

【解析】

5!5×4×3×2×15

18.有5名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有

种.

【答案】60

【分析】甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，将剩下的三个人排好，

然后把甲乙按顺序排入即可.

【解析】解：甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，

将剩下的三个人排好，然后把甲乙按顺序排入，

则有A；=60种排法.

19.把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子只

放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有种.

【答案】12

【分析】利用分步原理求解，先从3,4号球中选一个球放入1号盒子，然后剩下的3个球分

别在2,3,4号盒子中各放入一个即可.

【解析】由于1号盒子不能放1号球和2