2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习10 圆锥曲线（文科）解答题30题 含答案

2023届全国甲卷+全国乙卷高考数学复习提分复习资料专题

10圆锥曲线(文科)解答题30题

1.(陕西省渭南市华阴市2022-2023学年高三上学期期末文科数学试题)已知椭圆

22

(7:£+£=1(。>6>0)的四个顶点构成的四边形的面积为4√L离心率为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为135°的直线/交椭圆C于M、N两点，求IMM的值.

2.(云南省曲靖市罗平县第一中学2022-2023学年高三下学期见面考数学试题)已知

抛物线C：/=2px(p>0)上一点P(3√n)到焦点F的距离为4.

(1)求实数P的值；

(2)若直线/过C的焦点，与抛物线交于A,8两点，且,却=8,求直线/的方程.

3.(云南巍山彝族回族自治县第二中学2022-2023学年高三下学期月考数学试题)椭

圆C的中心在坐标原点。，焦点在X轴上，椭圆C经过点(0,1)且长轴长为2√L

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点M(LO)且斜率为1的直线/与椭圆C交于A,B两点,求弦长∣AB∣.

4.(贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学(文)试题)设中心

在原点O,6、G为椭圆C的左、右焦点，离心率为变，短轴的一个端点和焦点的连

2

线距离为√L

⑴求椭圆C的方程；

(2)直线/与椭圆C交于两点M、N,若直线/的斜率存在，线段MN的中点在直线x=-g

上，求直线/的斜率取值范围.

5.(贵州省贵阳第一中学2023届高三高考适应性月考(三)数学(文)试题)已知椭

22

圆C:=+4=l(a>6>0),短轴长为26，过椭圆C的右焦点F?且垂直于X轴的直线

a-b-

被截得的弦长为3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点工的直线/与椭圆C交于。，E两点，则在X轴上是否存在一个定点M,使得直

线MRME的斜率互为相反数？若存在,求出定点M的坐标:若不存在，也请说明理由.

6.(贵州省部分学校2023届高三上学期11月联考数学(文)试题)已知F∣,乃是椭

圆Et-ζ-+⅞=l(a>Δ>0)的两个焦点，点41,-2)在E上，且ZVW=;鸟的面积为

ab

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点8(2,0)的直线/与椭圆E交于C,。两点,直线AC,AD分别与直线x=2交于

M,N两点，证明：IMBl=IN8].

7.(山东省多校2022-2023学年高二上学期期中联合调考数学试题)己知椭圆W：

5+}=l(a>b>0)的离心率为言，左、右焦点分别为耳，F2,过心且垂直于X轴

ClDɔ

的直线被椭圆W所截得的线段长为芈.

⑴求椭圆W的方程；

⑵直线y="(kWO)与椭圆W交于4,8两点，连接A£交椭圆W于点C,若SAAaC=下，

求直线AC的方程.

8.(青海省海东市第一中学2022届高考模拟(一)数学(文)试题)已知动圆E过定

点P(2,0),且y轴被圆E所截得的弦长恒为4.

(1)求圆心E的轨迹方程.

(2)过点尸的直线/与E的轨迹交于A,B两点,M(-2,0),证明：点尸到直线AM,BM

的距离相等.

9.(四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期第三次月考数学(文)试题)已

知椭圆C：，+/=l(q>8>0)经过点4(2,1),椭圆C的离心率e=亭.

⑴求椭圆C的方程；

(2)设过点B(3,0)且与X轴不重合的直线/与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,

AN分别与直线*=-3分别交于P,Q,记点尸，。的纵坐标分别为p,q,求P+夕的值.

10.(安徽省安庆市怀宁县第二中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学(文)

22

试题)椭圆E：二+4=l(α>%>0)的左焦点为Fi右焦点为尸2离心率e=；,过Fi的直

线交椭圆于4，B两点，且ZMB&的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线AB的斜率为√J,求/A8F2的面积.

11.(高三上学期第一次质量检测数学(文)试题)已知直线/：x-y+l=0与焦点为产

的抛物线C-.y2=2px(p>0)相切.

(ɪ)求抛物线C的方程；

(II)过点尸的直线，"与抛物线C交于A,B两点，求A,8两点到直线/的距离之和

的最小值.

12.(陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测(I)文科数学试题)“工艺折纸”

是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含

丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片,设定点F到圆心E的

距离为4,按上述方法折纸.

(1)以点/、E所在的直线为X轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程;

(2)若过点Q(LO)且不与y轴垂直的直线/与椭圆C交于N两点，在X轴的正半轴上

是否存在定点T。,。)，使得直线TM,刀V斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定

值；若不存在，请说明理由.

13.(陕西省宝鸡市2023届高三上学期一模文科数学试题)已知点A(Λ0,-2)在抛物线

C:/=2px(p>0)上，且A到C的焦点F的距离与到X轴的距离之差为T.

(1)求C的方程；

(2)当〃<2时，M,N是C上不同于点A的两个动点，且直线AM,AN的斜率之积为

-2,A。，MMn为垂足.证明：存在定点E,使得|。目为定值.

14.(陕西省咸阳市高新一中2022-2023学年高三上学期第五次质量检测文科数学试题)

已知焦点在X轴上的双曲线F经过点加(跖应),可一23一卡).

(1)求双曲线「的标准方程;

⑵若直线/:y=冬-1与双曲线「交于AB两点，求弦长网

22

15.(山西省吕梁市2022届高三三模文科数学试题)已知椭圆C:「+4=l(a>b>0)

ab

的离心率为好，且过点A∣2,孝,

(1)求椭圆C的方程；

(2)斜率为-g的直线/交椭圆C于P,Q两点(不同于点A),记直线PAQA的斜率分别

为人&,证明：自上2为定值.

16.(山西省际名校2022届高三联考二(冲刺卷)文科数学试题)在平面直角坐标系XOy

中，椭圆C:=+==l(a>b>0)的右焦点为尸(忘0),离心率e=3.

a2b22

⑴求椭圆C的方程；

(2)若点。(L3)为椭圆外一点，过点。作两条斜率之和为1的直线，分别交椭圆于A,B

两点和P,。两点，线段A民尸Q的中点分别为M,N,试证直线MN过定点.

17.(山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学(文)试题)己知椭圆C：

*•+方=l(">6>0)过点A(2,l),过右焦点心作X轴的垂线交椭圆于“，N两点，且

IMNl=6

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵点p,Q在椭圆C上，且原片怎。=；.证明：直线PQ恒过定点.

18.(内蒙古赤峰市2023届高三下学期1月模拟考试文科数学试题)已知椭圆

⑴求椭圆C的方程；

⑵已知点A(α,O),B(0,⅛),直线/过坐标原点。交椭圆C于P,。两点(点A,B位于

直线/的两侧).设直线AP,AQ,BP,8。的斜率分别为勺，与，&，储，求证：+桃4

为定值.

19.(内蒙古自治区呼和浩特市2023届高三上学期质量普查调研考试文科数学试题)

已知椭圆C:5+A=l(a>6>0)的离心率为:，椭圆的右焦点尸与抛物线V=4x的

a~b~2

焦点重合.

(1)求椭圆C的方程；

(2)A、B是椭圆的左、右顶点，过点尸且斜率不为0的直线交椭圆C于点M、N,直线

AM与直线x=4交于点P.记PA、PF,BN的斜率分别为匕、k2,k3,六L是否为定值？

ZK2

并说明理由.

20.(四川省成都市第八中学校2022-2023学年高三上学期第二次模拟考试文科数学试

题)已知椭圆M：；+£=l(a>b>0)的左、右焦点分别为.J£="点在

(Tb-'a2k2；

(2)如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点尸，AO与椭圆M相切于点

E,BC与椭圆M相切于点GCD与椭圆M相切于点”，求矩形ABC。面积的取值

范围.

21.(江西省上饶市重点中学协作体2021-2022学年高二下学期期末联考数学(文)试

题)已知椭圆5+∕=1(4>b>0)的一个顶点为D(0,1),离心率为坐.

(1)求椭圆的方程：

(2)过椭圆右焦点且斜率为k(k*0)的直线机与椭圆相交于两点AB,y轴交于点E,线

段AB的中点为「，直线/过点E且垂直于。P(其中O为原点)，证明直线/过定点.

22.(江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学(文)试题)已知椭圆C：

2,.2

5r•+方=l(α>b>0)的左右焦点分别为K(-c,0),E(C,0),M,N分别为左右顶点,

直线/:x="+l与椭圆C交于A,5两点，当倾斜角为2宁兀时，A是椭圆的上顶点，且

△46月的周长为6.

(1)求椭圆C的方程；

⑵过点N作X轴的垂线4,。为右上异于点N的一点，以DN为直径作圆£.若过点G的

直线4（异于X轴）与圆E相切于点”，且4与直线DM相交于点尸，试判断归用+∣PH∣

是否为定值，并说明理由.

23.（江西省景德镇市2023届高三第一次质检试题数学（文）试题）已知椭圆

22

C:£+左=1（。>6>0）,长轴是短轴的2倍，点？（2网在椭圆C上，且点P在X轴上

的投影为点。.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设过点Q的且不与X轴垂直的直线/交椭圆于A、8两点，是否存点用&0）,使得直

线直线仞B与X轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数/的值；若不存在，

请说明理由.

24.（广西南宁市第二中学2023届高三上学期第一次综合质检数学（文）试题）已知

椭圆。:二+4=1（。〉匕〉0）,倾斜角为30。的直线过椭圆的左焦点G和上顶点8,且

a-b-

SAABK=I+与（其中A为右顶点）•

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若过点M（0,㈤的直线/与椭圆C交于不同的两点P,Q,且尸M=2MQ,求实数相

的取值范围.

25.（广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（文）试题）己知平面上动点Q（x,>'）

到F（0,1）的距离比Q（x,y）到直线/：y=-2的距离小1,记动点Q（x,y）的轨迹

为曲线C

（1）求曲线C的方程.

⑵设点P的坐标为（O,-D,过点P作曲线C的切线，切点为A,若过点P的直线，"

与曲线C交于M,N两点，证明：ZAFM=ZAFN.

26.（专题21圆锥曲线综合-2022年高考数学（文）母题题源解密）已知椭圆

Cl+g=l（α>6>0）的长轴长为4,且经过点P（√Σ,与.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/的斜率为3,且与椭圆交于A,5两点（异于点尸），过点P作/APB的角

平分线交椭圆于另一点Q.证明：直线PQ与坐标轴平行.

27.（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题）已

知椭圆C：5∙+g=l(4>6>0)的离心率为也，且过点P(2,2).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(T,0)作直线/与椭圆C交于4,B两点,且椭圆C的左、右焦点分别为Fl,F2,

耳Ag,KB6的面积分别为S∣,SA求B-Sj的最大值.

28.(河南省濮阳市2022-2023学年高三下学期第一次摸底考试文科数学试题)已知椭

，2

圆E:'+方=l(α>6>0)的离心率为3,点Pg)在短轴AB上，且P4P8=-2.

(1)求E的方程；

(2)若直线/：，=丘+a(m≠0)与E交于C,。两点，求OCD(点O为坐标原点)面积的

最大值.

29.(河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习(期末)数学(文科)

试题)已知椭圆J+%=l(α>6>0)的右顶点为A,上顶点为8,。为坐标原点，点。

到直线A8的距离为亚，O4β的面积为五.

32

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线/与椭圆交于CJD两点，若直线/“，直线A8,设直线AC,BO的斜率分别为K

证明：勺占为定值.

30.(安徽省黄山市2022届高三下学期第二次质量检测文科数学试题)如图，已知椭

圆C：*+2=1(4>%>0)经过点pa,#),A、A2为椭圆的左右顶点，尸为椭圆的

右焦点，FAiFA2=-I.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知经过右焦点F的直线A8(不经过点P)交椭圆C于A、3两点，交直线/：x=2

于点Q,若％+勺历=-2应，求直线P。的斜率.

专题10圆锥曲线(文科)解答题30题

1.(陕西省渭南市华阴市2022-2023学年高三上学期期末文科数学试题)已知椭圆

22

U*∙+*∙=l(a>8>0)的四个顶点构成的四边形的面积为45离心率为会

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为135°的直线/交椭圆C于M、N两点，求IMNl的值.

【答案】⑴三+二=1

43

【分析】(1)由题意列出方程组求出α,匕，c,即可得到椭圆C的标准方程；

(2)由题意可得直线/的方程为χ+y-1=0,联立椭圆方程，由韦达定理和弦长公式即可

得到PwM的值.

^∙2a∙2⅛=4√3

a=2

C1

【详解】(1)由题得­二一，解得，b=6,

a2

a1=b1+c2

•∙•椭圆C的标准方程为三+£=1.

43

(2)由(1)知椭圆C的右焦点坐标为(1,0),

则直线/的方程为χ+y-i=O,

设〃(百，乂)，刈秩必)，

ΞLZ=

联立,4+31,化简得7d-8x-8=(),

x+y-l=O

88

..Λ]÷Xj=—,&X)=.

2j

.∙.∖MN∖=∙J∖+k∣xl-x2∣=V∑∙J(Xl+⅛)'-4中2=~γ■

2.(云南省曲靖市罗平县第一中学2022-2023学年高三下学期见面考数学试题)已知抛物

线C：V=2px(p>0)上一点P(3,m)到焦点F的距离为4.

(1)求实数P的值；

(2)若直线/过C的焦点，与抛物线交于A,8两点，且IABI=8,求直线/的方程.

【答案】⑴P=2

⑵χ-y-l=O或x+y—l=0

【分析】(1)由抛物线的焦半径公式可知IPFI=3+5，由此即可求出答案；

(2)由(1)可知焦点坐标为(L0),则可设直线为x=(y+l,联立直线与抛物线，则可得

2

xl+x2=4t+2,再利用IABI=XI+Λ⅛+.=8,即可求出直线.

【详解】(1)由题意可知：∣PF∣=3+5=4,

解得：P=2.

(2)由(1)知抛物线C:y2=4x,则焦点坐标为(1,0),

由题意知直线/斜率不为0,设直线/为：x=(y+l,A(xl,yl),B(x2,y2)

联立直线与抛物线：fΓ0'+1,消X得：y2-4ty-4=0,

[y=4X

则乂+%=力,％为=-4，

则xl+x2=∕(y∣+丫2)+2=4厂+2

所以IABI=x∣+x>+p=4/+2+2=8,

解得f=±l,

所以直线/为：x-y-l=0或x+y-l=0

3.(云南巍山彝族回族自治县第二中学2022-2023学年高三下学期月考数学试题)椭圆C的

中心在坐标原点。，焦点在X轴上，椭圆C经过点(0,1)且长轴长为2√Σ∙

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点M(LO)且斜率为1的直线/与椭圆C交于A,8两点，求弦长IAB

【答案】(1)5+V=1

⑵逑

3

【分析】(I)先设出椭圆方程，然后由题意可得α=√∑S=l,从而可得椭圆方程，

(2)由题意可得直线/的方程为x=y+l,代入椭圆方程中，利用根与系数的关系，结合弦

长公式可求得结果.

22

【详解】(1)由题意设椭圆的方程为马•+与=l(a>b>O),

因为椭圆C经过点(0,1)且长轴长为2√∑,

所以Q=>∕2,b=lf

所以椭圆方程为］+y2=l,

(2)因为直线/过点M(LO)且斜率为1,

所以直线/的方程为y=χ-ι,

设A(XQI),B(w,%)，

将y=x-l代入鼻+/=1,得g+(χ-i)2=ι,

整理得3∕-4Λ∙=0,

4

xx

所以办+工2=-^∖2=O，

22

所以∖AB∖=^Ji+ky∣(xl+x2)-4xix2

4.（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）设中心在原

点。，匕、鸟为椭圆C的左、右焦点，离心率为正，短轴的一个端点和焦点的连线距离

2

为应.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/与椭圆C交于两点何、N,若直线/的斜率存在，线段MN的中点在直线X=上，

求直线/的斜率取值范围.

【答案】⑴，+y2=i；

【分析】（1）由题意求出“，结合离心率求出C,再由层=/一02求出/，从而可求出椭

圆方程；

（2）设直线/的方程为y=h+m,代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合判别式大于

零，及线段例N的中点在直线x=-g上，得到关于A的不等式，求解即可得答案.

【详解】（1）由题意得e=£=且，短轴的一个端点到焦点的距离为必T=“=拉，

a2

所以C=1,所以="—C'2=2—1=1,

所以椭圆的方程为,+y2=i,

(2)设直线/的方程为y=H+m,M(x1,y1),N(x2,y2),

由，2+),得(2Z2+l)χ2+4kzu+2〃22-2=0,

y=kx+nι

由△=16⅛-4(2⅛2+l)(2∕n2-2)>0,^2k2+↑-m2>0,

2

匚匚I、I-4km2m—2

所以"I+"?=环川=E∙'

因为线段MN的中点在直线x=-g上，

所以=T，所以4k"=2∕+l,

2⅛^+l

所以苏=纪要，

16Λ2

代入2公+l-∕√>o,得入—+If>o,

↑6k2

化简得14X-l>0,解得％<_巫或%>恒,

1414

即直线/的斜率取值范围为

5.（贵州省贵阳第一中学2023届高三高考适应性月考（三）数学（文）试题）已知椭圆

cι⅞+4≈ιω>⅛>0）.短轴长为26，过椭圆C的右焦点心且垂直于X轴的直线被截得

ab

的弦长为3.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点心的直线/与椭圆C交于£>,E两点，则在X轴上是否存在一个定点M,使得直线

MD,ME的斜率互为相反数？若存在，求出定点”的坐标；若不存在，也请说明理由.

22

【答案】⑴二+匕=1；

43

⑵存在，M（4,0）.

【分析】（1）根据已知条件，列出〃力满足的方程组，解得“涉，即可求得椭圆方程；

（2）讨论直线/的斜率是否存在，当斜率存在时，设出直线方程，联立幡圆方程，结合韦达

定理以及直线MQME的斜率互为相反数，即可求得结果.

2b=2√3,

工2y2A-

【详解】(1)对椭圆C:/+a=l(a>b>0),令x=c,解得y=士?，故可得-2b2

-----=3,

22

解得标=%序=3,所以椭圆C的标准方程为三+匕=1.

43

(2)据题设知点g(l,O),当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=-χ-l).

α

IZ

m£

l+(4⅛2+3)X2-8Λ2X+4⅛2-12=O.

3=b

4⅛2-12

设EQ,χ),D(X2,%)，则X+X=­ɔ——，X‰

1-7止+314Λ2+3"

设M(∕n,0),则右「瓷’小点

又因为直线Mr>,ME的斜率互为相反数,

所以"ME+&MD=台+瓷士)'|+3)'2-〃心'|+%)；0

(xl-m)(x2-m)

所以+不%-机(M+%)=°，

则x2k(xl-1)+Xlk(X2-Y)-m[k(xi-1)÷k(x2-1)]=O,

所以2例/一A(Xl+9)7W伙(斗+毛)-2Z]=O,

……4J12-12,8&2(8二C八八

加入4公+34公+3(4公+3)

所以上(机—4)=0.

若A(Zn-4)=0对任意A∈R恒成立，则加=4,

当直线/的斜率及不存在时，若加=4,则M(4,0)满足直线M£),ME的斜率互为相反数.

综上，在X轴上存在一个定点“(4,0),使得直线ME>,ME的斜率互为相反数.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中存在某点满足条件；第二问处

理的关键是合理使用韦达定理，结合斜率之和为0进行求解，属综合中档题.

6.(贵州省部分学校2023届高三上学期11月联考数学(文)试题)已知“，乃是椭圆E：

22

马+==1(a>⅛>0)的两个焦点，点A(l,-2)在E上，且AA6鸟的面积为遍.

ab

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点3(2,0)的直线/与椭圆E交于C,。两点，直线AC,AD分别与直线x=2交于M,

N两点,证明：∣M3∣=∣NB∣.

【答案】⑴!+《=1;

o2

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用代入法，结合三角形面积公式、。,仇。之间的关系进行求解即可;

（2）根据一元二次方程根与系数关系，利用代入法、分类讨论法进行求解即可.

【详解】（1）因为点41,-2）在E上，且“6月的面积为质,

41

AL

所以有<=>

^×2y∣a2-b2×1=∖[β

（2）当直线/不存在斜率时，显然此时该直线为x=2,这时与椭圆不相交，不符合题意;

当直线/存在斜率时，设为3方程为y=伙％-2）,与椭圆方程联立，得

y=k（x-2）

<22=>（⅛24）√-4⅛2X+4⅛2-8=O,

ʌv+-=1+

82

所以有A=（-442）2一4伏2+4）（422-8）>00一2<攵<2,

Λ.]ζ~4⅛2-8

设Ca,y∣),D(X2，必)，则有χ+χ=———,χχ

i2K十412〃+4

y+2_x-1

直线AC的方程为:

-2-yI-xl

令x=2,得y="^-2,即M(2,立1-2),同理可得：N(2,五1一2),

x}-1x1-1x2-ι

y+2y+2Ax+(2-2⅛)kx,+(2-2k)

---------Zπ-----2------Z=-----l-------------1---------------------4

---

X∣1J2-1XjIX2ɪ

2Axlx2+(xl+x2)(2-3⅛)+(4⅛-4)4

xyx2一(Xl+x2)+1

4&2AL2_Q

把％+/=半一，％%=Aq代入上式，得：

^Λ2+4⅛2+4

4女2_g4女2

2kk2+4+p74<2~3^+(4^~4)2⅛(4(12-8)+4⅛2(2-3⅛)+(4⅛-4)(4+⅛2)

2222

4⅛-8^^4p^^I—4⅛-8-4⅛+4+⅛

1¼4^^PT4+

4⅛2-16“C

=---------4=0,

⅛2-4

易知：B为M、N的中点，因此IMBI=IN81.

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.

7.（山东省多校2022-2023学年高二上学期期中联合调考数学试题）已知椭圆W：

[+∕=l（a>6>0）的离心率为半，左、右焦点分别为E,F2,过B且垂直于X轴的直

线被椭圆W所截得的线段长为平.

(1)求椭圆W的方程；

⑵直线y=米(&≠0)与椭圆W交于A,B两点,连接A6交椭圆W于点c,若SAABC=小，求

直线AC的方程.

【答案】(l)?+y2=i；

(2)X->f3y+2=O或X+73y,+2=0.

【分析】(I)根据题意可得从=岑”,结合离心率和笳="+¢2即可求解；

(2)根据题意可设直线AC的方程为x=9-2,A(x,,%),C(XQ°),联立椭圆方程，利用

韦达定理表示出弘+%、)。2,根据弦长公式求出|A。，利用点到直线的距离公式求出点。

到直线AC的距离，结合三角形面积公式计算求出f,即可求解.

22

【详解】(1)由题意知1,设过心且垂直于X轴的直线交椭圆于点P(c,m),则∙⅛+4=l,

ab~

解得相=士工，所以空=苇，所以〃=£“.

aa55

因为椭圆W的离心率e=£=2叵，所以

a55

O

因为/=从+C2,所以“2=5,廿=1,故椭圆卬的方程为1+V=1.

(2)由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为x=0-2,A(xl,γ,),C(x2,y2),

联立方程组CU:5消去X并整理得(*+5)/-40-1=0,

所以X+%=∙p±，弘必=一产三，

22

所以IAq=J(∕+l)(%f)2=^G+l)[(y2+J1)-4γ2y1]

2

因为点。到直线AC的距离d=ɪ=旦。是线段AB的中点,

所以点B到直线AC的距离为2d,

所以S-TAa∙2d=¾^χ舄4立而+1

*+5

由生毒亘=不，解得∕=3,所以r=±√L故直线AC的方程为x=±√Jy-2,

即X-∙∖∕Jy+2=O或X+>∕Jy+2=O.

8.(青海省海东市第一中学2022届高考模拟(一)数学(文)试题)已知动圆E过定点尸(2,0),

且y轴被圆E所截得的弦长恒为4.

(1)求圆心E的轨迹方程.

(2)过点P的直线/与E的轨迹交于A,B两点,M(-2,0),证明：点P到直线AM,的

距离相等.

【答案】⑴尸=4x

(2)证明见解析

【分析】(1)设E(χ,y),由圆的弦长公式列式可得；

(2)设Aa,χ),B(x2,y2),设Ly=%(x-2),直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理

得%+X2,xlx2,计算的,”+的“=0,得直线PM平分NAM8,从而得结论，再说明直线/斜

率不存在时也满足.

(1)

设E(X,y),圆E的半径r=5∕(χ-2)2+-,圆心E到)，轴的距离1=国，

由题意得/=磨+4,

化简得y=4x,经检验，符合题意.

(2)

当直线斜率存在时,设/：y=Mx-2),与E的方程联立,消去y得，ArV一(4公+4)x+4k2=0.

设A(XI,y),B(x2,y2),则卜十马"十小,

χχ4

[t2=

k,n_)1%_MXl_2)MX2_2)_Z(Xl-2)(々+2)+%(犬2-2)(西+2)..

amBM-^721^2~_α+2)(.+2),

Zr(x∣-2)(Λ2+2)+Z(X2-2)(]+2)=2HXIX2_4)=0,

kAM+kBM=0,则直线PM平分ZAMB,

当直线/与X轴垂直时，显然直线PM平分NAΛ43.

综上，点尸到直线AM,BM的距离相等.

9.(四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期第三次月考数学(文)试题)已知椭

圆C:/+S=I(a>6>0)经过点A(2,l),椭圆C的离心率e=*.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点8(3,0)且与X轴不重合的直线/与椭圆C交于不同的两点例，N,直线AM,AN

分别与直线》=-3分别交于尸，Q,记点P,。的纵坐标分别为p,q,求P+<7的值.

【答案】(1)4+二=1

63

⑵12

【分析】(D用待定系数法求出椭圆的方程；

(2)设直线7的方程为y=%(x-3),Ma,*),N(Λ2,%),用“设而不求法”得到

∖2k118F-6

士+"百"=不犷.

分别表示出P=4D+ι,^∑⅛∑l)+15得至"+4=吗D+ι+二⅛U+ι整

xl-2x2-2xl-2X2-2

理化简即可求得P+q=12.

41

T”一

【详解】(1)由题意可得：卜=£=4，解得：/=3,所以所求椭圆方程为，+5=1

a2,63

(2)直线/的斜率不存在时，直线与椭圆不相交.故斜率存在，设其为历设直线/的方程为

y=k(x-3),M(xl,yi),N(x2,y2),

z+z=1

联立方程63,消去y得：(1+2⅛2)X2-12⅛2X+18*2-6=0,

y=A（x-3）

所以4=（-12公）2-4（1+2公）（1弘2-6）=24（1-左2）>0,解得：一ιc

Uk218fc2-6

x1+x2

y一ɪP=D

直线AM方程为:>=ZIF（X-2）+1,令4一3解得:

X∣-Z

直线AN方程为：y=2y(x-2)+l,令广一3解得:11

X~-⅛÷

2

所以P+4=Ξ⅛11+I+0⅛^+I

>1~1>2~1

=-5l+2

g-2x2-2

k(^x—2)—Λ—1A(X,—2)—4一]

=-5------i------------------1------------------------+2

七一2X2—2

x+4

=-10⅛+5(⅛+l)∙∣¾-+2

''(-2)

Uk2.

1+2二-

=-10⅛+5(⅛+l)∙

↑+2k2[l+2k2)

4⅛2-4

=-10⅛+5(⅛+l)∙+2

2⅛2-2

=-10⅛+10⅛+10+2

=12

即p+g=12.

【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求法”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的

问题.

10.（安徽省安庆市怀宁县第二中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（文）试题）

22

椭圆E,示+讲=l（4>6>0）的左焦点为闩，右焦点为尸2离心率过B的直线交椭圆于

A,B两点，且ZL4BF2的周长为8.

（I）求椭圆E的方程；

（2）若直线AB的斜率为求/A8F2的面积.

【答案】（1）二+亡=1；（2）典

435

【分析】⑴利用椭圆的离心率以及AABF2的周长为8,求出小c",即可得到椭圆的方程;

（2）求出直线方程与椭圆方程联立，求出A,8坐标，然后求解三角形的面积即可.

【详解】（1）因为过B的直线交椭圆于4,8两点，且448尸2的周长为8,4α=8

所以4α=8,即α=2,

1c'

又椭圆离心率e=；,可得£=彳，

2a2

即c=l,

b2=a2-C2=3>

22

所以椭圆方程为：—+ɪ-ɪl.

43

（2）设直线方程为：y=6（χ+l）

y=√J(x+l)

由*y2得：5*+8x=0,

-卜--=1

43

Q

解得：X=O,”2=—《

,

所以y∣=有，y2=~~~

则SVA%=∣×2c∙∣yl-y2∣=^∙

【点睛】本题考查椭圆的方程的求法,椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应

用，属于中档题.

II.（高三上学期第一次质量检测数学（文）试题）已知直线，：x-y+l=O与焦点为尸的抛

物线。:>2=2°叱。>0）相切.

（I）求抛物线C的方程；

（H）过点F的直线，”与抛物线C交于A,B两点，求A,B两点到直线/的距离之和的最

小值.

【答案】（I）∕=4χ（II）跑

2

【分析】（I）联立/和C,利用A=O即可求得0,从而得到抛物线方程；（H）设直线机

为X=）+1,与抛物线联立后可利用韦达定理求得y+%=4f,进而得到为+%：由中点坐

标公式可求得AB中点/（2〃+l,2r）;利用点AB到/距离之和等于点M到/的距离的2倍,

可将所求距离变为关于/的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.

【详解】（I）将+1=。与抛物线C:尸=2px联立得：y^-2py+Ip=O

/与C相切.∙.A=4P2_8p=0,解得：p=2

，抛物线C的方程为：r=4x

（II）由题意知，直线〃，斜率不为0,可设直线〃?方程为：x=ty+∖

联立=4X得：/-4ι>-4=0

[x=∕y+l

设（∣,则）∣+x=ty（2

Ax,yJ,B（¾,J2）>+>2=4r.∙.x12l+l+y2+l=4∕+2

••・线段AB中点M（2产+1,2，）

设A,8,M到直线/距离分别为心,(MW

则dA+dB=2⅛=2∙I"宏斗=2√2p-r+l∣=2√2^-l∫+∣

•••AB两点到直线/的距离之和的最小值为：2√∑χ3=述

42

【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解

抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转

变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求

得结果.

12.(陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测(I)文科数学试题)“工艺折纸''是

一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的

数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸(如图)

步骤1：设圆心是£,在圆内异于圆心处取一点，标记为尸；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点尸；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.

已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点F到圆心E的距

离为4,按上述方法折纸.

(1)以点尸、E所在的直线为X轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；

(2)若过点Q(LO)且不与V轴垂直的直线/与椭圆C交于Λ7,N两点，在X轴的正半轴上是

否存在定点T(f,0),使得直线TM,TTV斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若

不存在，请说明理由.

【答案】(I)E+工=1

95

(2)存在点7(3,0),使得直线TM与力V斜率之积为定值-t.

【分析】(1)根据椭圆的定义对照折纸的方法求出c;

(2)设直线/的方程，与椭圆方程联立，再根据斜率的定义求解即可.

【详解】(1)如图，以EE所在的直线为X轴，EE的中点。为原点建立平面直角坐标系

设M(X,y)为椭圆上一点，由题意可知，∣Mq+1网=IA国=6>|£F|=4,

所以M点轨迹是以P,E为焦点，长轴长加=6的椭圆，

因为2τ=4,2a=6,所以c=2,α=3,

由己知：直线/过Q(1,O),设/的方程为X=Wy+1,由题意，〃必定是存在的,

联立两个方程得彳95^,消去X得(5∕√+9)y2+10my-40=0,

X=/WV÷1

△=100>+160(5/+9)>0得〃?€1<,

设Ma,乂)，N(X2,%)，则，母％=‹¥。(*)，

jnι+9jm+9

k.k=工.总_=_______2V⅛_______

tn

7"xχ-tx2-t+1-t)^my2+1-f)

=____________y1y1____________

/％%+机(IT)(y+%)+(iτ)2'

—40

将⑴代入上式，可得上式=5(*_9)*+9(IT)2,

要使a∙%为定值，贝IJ有9"=o,r=9,

10

又∙.∙∕>o,=3,此时％//=一

9

∙∙.存在点T(3,0),使得直线TM与TTV斜率之积为定值；

综上，椭圆的标准方程为/+1=1,存在点7(3,0),使得直线TM与77V斜率之积为定值

_10

^^9^'

13.(陕西省宝鸡市2023届高三上学期一模文科数学试题)已知点以为,-2)在抛物线

UV=2pχ(p>0)上，且A到C的焦点E的距离与到X轴的距离之差为1

(1)求C的方程；

(2)当p<2时，ΛΛN是C上不同于点A的两个动点，且直线AM,4V的斜率之积为

-2,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点E,